Упражнение 950 к § 90

По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), \(|\overrightarrow{AC}| = a\).

1. Достроим треугольник до параллелограмма (ромба) \(ABDC\). По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\).
2. Диагонали ромба точкой \(O\) делятся пополам, \(O\) — середина \(BC\), и \(AO\) — медиана, она же высота треугольника: \(AO = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
3. \(AD = 2AO = a\sqrt{3}\).

1. \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}\), поэтому \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = -(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\). Противоположные векторы имеют равные длины.
2. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\) — диагональ ромба, построенного на сторонах \(BA\) и \(BC\). Как в пункте б), она вдвое длиннее высоты треугольника: \(2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\).

Векторы выходят из точки \(B\), разность идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого: \(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\), \(|\overrightarrow{CA}| = a\).

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\), \(|\overrightarrow{CB}| = a\).