Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 90

Упражнение 951 к § 90

§ 90. Вычитание векторов · тема: Вычитание векторов

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите |BA| − |BC| и |BA − BC|.

Решение

Дано

$$AB = 6$$
$$BC = 8$$
$\angle B = 90^\circ$

Найти

$|\overrightarrow{BA}| - |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}|$

$|\overrightarrow{BA}| - |\overrightarrow{BC}| = 6 - 8 = -2$ — это разность чисел.
$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$ . По теореме Пифагора $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

Ответ

−2 и 10

Почему так

Разность длин — число, а длина разности векторов — длина отрезка CA.

Подробнее — в теме «Вычитание векторов».

Задача 2

Условие (кратко)

В треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите |AB| + |BC| и |AB + BC|.

Решение

Дано

$$AB = 6$$
$$BC = 8$$
$\angle B = 90^\circ$

Найти

$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|$

$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = 6 + 8 = 14$ .
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ , $AC = \sqrt{36 + 64} = 10$ .

Ответ

14 и 10

Почему так

Длина суммы неколлинеарных векторов меньше суммы их длин.

Подробнее — в теме «Сложение векторов».

Задача 3

Условие (кратко)

В треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите |BA| + |BC| и |BA + BC|.

Решение

Дано

$$AB = 6$$
$$BC = 8$$
$\angle B = 90^\circ$

Найти

$|\overrightarrow{BA}| + |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}|$

$|\overrightarrow{BA}| + |\overrightarrow{BC}| = 6 + 8 = 14$ .
По правилу параллелограмма $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$ , где $$ABCD$$ — прямоугольник. Его диагонали равны, $BD = AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

Ответ

14 и 10

Почему так

Сумма векторов с общим началом — диагональ параллелограмма, здесь прямоугольника.

Подробнее — в теме «Сложение векторов».

Задача 4

Условие (кратко)

В треугольнике ABC AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите |AB| − |BC| и |AB − BC|.

Решение

Дано

$$AB = 6$$
$$BC = 8$$
$\angle B = 90^\circ$

Найти

$|\overrightarrow{AB}| - |\overrightarrow{BC}|$ и $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|$

$|\overrightarrow{AB}| - |\overrightarrow{BC}| = 6 - 8 = -2$ .
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ . Вектор $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ , поэтому $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = -(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$ — противоположен диагонали $\overrightarrow{BD}$ прямоугольника $$ABCD$$ . Его длина $$BD = AC = 10$$ .

Ответ

−2 и 10

Почему так

Вектор AB − BC противоположен сумме BA + BC, поэтому их длины равны.

Подробнее — в теме «Вычитание векторов».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки