(Повышенной трудности.) Докажите, что уравнение Ax + By + C = 0, где A и B одновременно не равны нулю, является уравнением прямой.
Решение
Дано: уравнение \(Ax + By + C = 0\), числа \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно; \(L\) — множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. Доказать: \(L\) — прямая.
У уравнения есть решение: если \(B \ne 0\), подходит точка \(\left(0; -\dfrac{C}{B}\right)\), если \(B = 0\), то \(A \ne 0\) и подходит точка \(\left(-\dfrac{C}{A}; 0\right)\). Пусть \(M_0(x_0; y_0)\) — точка из \(L\); тогда \(Ax_0 + By_0 + C = 0\), то есть \(C = -Ax_0 - By_0\).
Возьмём точки \(M_1(x_0 - A; y_0 - B)\) и \(M_2(x_0 + A; y_0 + B)\). Они различны, так как \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно. Серединный перпендикуляр к отрезку \(M_1M_2\) — это множество точек \(M(x; y)\), для которых \(MM_1 = MM_2\), то есть \(MM_1^2 = MM_2^2\):
Раскроем скобки по формуле \((p + q)^2 - (p - q)^2 = 4pq\), перенеся всё в левую часть:
\[4A(x - x_0) + 4B(y - y_0) = 0 \iff Ax + By - Ax_0 - By_0 = 0 \iff Ax + By + C = 0.\]
Значит, точка \(M\) удовлетворяет данному уравнению тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к \(M_1M_2\). Множество \(L\) совпадает с этой прямой, то есть \(Ax + By + C = 0\) — уравнение прямой.
Ответ
Утверждение доказано: множество решений совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку с концами (x₀ − A; y₀ − B) и (x₀ + A; y₀ + B)
Почему так
Серединный перпендикуляр к отрезку M₁M₂ задаётся условием MM₁² = MM₂², которое после раскрытия скобок даёт именно уравнение Ax + By + C = 0.
(Повышенной трудности.) Докажите, что уравнение x² − xy − 2 = 0 не является уравнением окружности.
Решение
Дано: уравнение \(x^2 - xy - 2 = 0\); \(L\) — множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. Доказать: \(L\) — не окружность.
Идея: уравнение любой окружности \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) после раскрытия скобок не содержит слагаемого вида \(kxy\) с \(k \ne 0\). Но разные по виду уравнения могут задавать одно и то же множество точек, поэтому докажем, что \(L\) — не окружность, по самому множеству.
При \(x = t \ne 0\) из уравнения \(t^2 - ty - 2 = 0\) находим \(y = t - \dfrac{2}{t}\). Значит, при любом \(t \ne 0\) точка \(P_t\left(t; t - \dfrac{2}{t}\right)\) лежит на \(L\).
Расстояние от начала координат \(O\) до \(P_t\) не меньше модуля абсциссы: \(OP_t = \sqrt{t^2 + \left(t - \frac{2}{t}\right)^2} \ge |t|\). Беря \(t\) сколь угодно большим, получаем точки \(L\) сколь угодно далеко от \(O\).
Все точки окружности с центром \(Q(a; b)\) и радиусом \(r\) удалены от \(O\) не больше чем на \(OQ + r\) (неравенство треугольника: \(OP \le OQ + QP = OQ + r\)). Значит, никакая окружность не содержит точку \(P_t\) при \(t > OQ + r\), и \(L\) не может быть окружностью.
Ответ
Утверждение доказано: на линии есть точки (t; t − 2/t) сколь угодно далеко от начала координат, а окружность — ограниченная фигура
Почему так
Окружность целиком лежит в ограниченной части плоскости, а линия x² − xy − 2 = 0 уходит в бесконечность.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).