Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 1385

Задача 1

Условие (кратко)

Даны точки A, B, C и числа α, β, γ, причём α + β + γ ≠ 0. Найдите множество точек M, для которых сумма αAM² + βBM² + γCM² постоянна.

Решение

Дано

точки $$A(x_1; y_1)$$
$$B(x_2; y_2)$$
$$C(x_3; y_3)$$
числа $\alpha$
$\beta$
$\gamma$
$s = \alpha + \beta + \gamma \ne 0$
число $$k$$

Найти

множество точек $$M(x; y)$$
для которых $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$

По формуле расстояния между точками $$AM^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = x^2 + y^2 - 2x_1 x - 2y_1 y + x_1^2 + y_1^2$$ , и так же для $$BM^2$$ , $$CM^2$$ .
Сложим с коэффициентами. Обозначим $P = \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3$ , $Q = \alpha y_1 + \beta y_2 + \gamma y_3$ , $T = \alpha(x_1^2 + y_1^2) + \beta(x_2^2 + y_2^2) + \gamma(x_3^2 + y_3^2)$ . Условие принимает вид
$\[s(x^2 + y^2) - 2Px - 2Qy + T = k.\]$
Разделим на $s \ne 0$ и положим $x_0 = \dfrac{P}{s}$ , $y_0 = \dfrac{Q}{s}$ :
$x^2 - 2x_0 x + y^2 - 2y_0 y = \dfrac{k - T}{s}.$ Выделим полные квадраты: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = d, \quad d = x_0^2 + y_0^2 + \dfrac{k - T}{s}.$ Каждый шаг обратим, поэтому точка $$M$$ удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют этому уравнению.
Расстояние от $$M$$ до точки $$M_0(x_0; y_0)$$ в квадрате равно $$d$$ . Если $$d > 0$$ , искомое множество — окружность с центром $$M_0$$ радиуса $\sqrt{d}$ ; если $$d = 0$$ — одна точка $$M_0$$ ; если $$d < 0$$ — пустое множество (квадрат расстояния не бывает отрицательным).

Ответ

Окружность с центром в точке ((αx₁+βx₂+γx₃)/s; (αy₁+βy₂+γy₃)/s), s = α+β+γ, либо одна эта точка, либо пустое множество — в зависимости от значения суммы

Почему так

Сумма квадратов расстояний с коэффициентами в координатах даёт уравнение вида (x − x₀)² + (y − y₀)² = d.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

Даны точки A, B, C и числа α, β, γ, причём α + β + γ = 0. Найдите множество точек M, для которых сумма αAM² + βBM² + γCM² постоянна.

Решение

Дано

точки $$A(x_1; y_1)$$
$$B(x_2; y_2)$$
$$C(x_3; y_3)$$
числа $\alpha$
$\beta$
$\gamma$
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
число $$k$$

Найти

множество точек $$M(x; y)$$
для которых $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$

Как в пункте а), раскроем квадраты расстояний и сложим с коэффициентами ( $$P$$ , $$Q$$ , $$T$$ — те же суммы):
$(\alpha + \beta + \gamma)(x^2 + y^2) - 2Px - 2Qy + T = k.$
Так как $\alpha + \beta + \gamma = 0$ , слагаемые с $$x^2 + y^2$$ пропадают, и условие равносильно уравнению
$\[2Px + 2Qy + (k - T) = 0.\]$
Если $$P$$ и $$Q$$ не равны нулю одновременно, это уравнение вида $$ax + by + c = 0$$ — уравнение прямой. Искомое множество — прямая (она перпендикулярна вектору $\{P; Q\}$ ).
Если $$P = Q = 0$$ , уравнение превращается в числовое равенство $$k - T = 0$$ . При $$k = T$$ ему удовлетворяют координаты любой точки — искомое множество есть вся плоскость; при $k \ne T$ — ни одной, множество пустое.

Ответ

Прямая; в особом случае (αx₁+βx₂+γx₃ = 0 и αy₁+βy₂+γy₃ = 0) — вся плоскость или пустое множество

Почему так

При α + β + γ = 0 квадраты координат в уравнении сокращаются и остаётся уравнение первой степени — уравнение прямой.

Подробнее — в теме «Уравнение прямой».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-1385/