Упражнение 4.351 к § 35

Модуль положительного числа и нуля равен самому числу: \(|5| = 5\), \(|0| = 0\). Модуль отрицательного числа равен противоположному числу, а не самому числу: \(|-5| = 5 \ne -5\).

Равенство верно при \(a \ge 0\), то есть при всех неотрицательных \(a\).

\(-a\) — число, противоположное \(a\). Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: \(|-5| = 5 = -(-5)\). Для нуля тоже верно: \(|0| = 0 = -0\). Для положительного числа нет: \(|5| = 5 \ne -5\).

Равенство верно при \(a \le 0\).

Противоположные числа имеют равные модули: \(|-a| = |a|\). Значит, равенство то же, что \(|a| = a\), а оно верно при \(a \ge 0\).

Проверка: \(|-4| = 4\) — верно при \(a = 4\); при \(a = -4\) получаем \(|4| = 4 \ne -4\).

\(|-a|\) — модуль числа \(-a\); он равен самому этому числу, когда \(-a \ge 0\), то есть когда \(a \le 0\).

Проверка: при \(a = -4\) получаем \(|4| = 4 = -(-4)\) — верно; при \(a = 4\) получаем \(|-4| = 4 \ne -4\).

Число равно противоположному себе, только если оно не положительное и не отрицательное: у положительного числа противоположное отрицательно, и наоборот. Число 0 противоположно самому себе: \(-0 = 0\).

Равенство верно только при \(a = 0\).

\(|a| + a = 0\) означает, что \(|a| = -a\) (сумма противоположных чисел равна нулю). Это верно при \(a \le 0\).

Проверка: \(|-3| + (-3) = 0\); \(|0| + 0 = 0\); но \(|3| + 3 = 6 \ne 0\).

Так как \(2a = a + a\), равенство означает \(|a| + a = a + a\), то есть \(|a| = a\). Это верно при \(a \ge 0\).

Проверка: \(|3| + 3 = 6 = 2 \cdot 3\); при \(a = -3\) получаем \(|-3| + (-3) = 0 \ne -6\).

Так как \(2a = a + a\), равенство означает \(a - |a| = a + a\), то есть \(-|a| = a\), или \(|a| = -a\). Это верно при \(a \le 0\).

Проверка: если \(a = -3\), то \(-3 - 3 = -6 = 2 \cdot (-3)\); если \(a = 3\), то \(3 - 3 = 0 \ne 6\).