Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Модуль числа — это расстояние в единичных отрезках от начала отсчёта до точки с этой координатой. Модуль положительного числа равен самому числу, модуль нуля равен нулю, модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
Подробное объяснение
Одинаково далеко, но в разные стороны
Школа стоит на прямой улице. Петя живёт в 400 м от школы на восток, Аня — в 400 м на запад. Если школу принять за начало отсчёта, а восток — за положительное направление, то дом Пети имеет координату 400, а дом Ани — координату −400. Координаты разные, но идти до школы обоим одинаково: 400 м. Расстояние не зависит от того, в какую сторону идти.
Именно это расстояние до начала отсчёта и называют модулем числа.
Правило
Модулем числа называют расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки с этой координатой. Модуль числа \(n\) обозначают вертикальными чертами: \(|n|\). Запись \(|-5| = 5\) читают: «модуль минус пяти равен пяти».
Как найти модуль:
- модуль положительного числа равен самому числу: \(|9| = 9\), \(|2{,}7| = 2{,}7\);
- модуль нуля равен нулю: \(|0| = 0\), ведь точка с координатой 0 и есть начало отсчёта;
- модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: \(|-3| = 3\), \(|-\dfrac{4}{7}| = \dfrac{4}{7}\).
Коротко то же самое записывают так: \(|n| = n\), если \(n > 0\); \(|n| = 0\), если \(n = 0\); \(|n| = -n\), если \(n < 0\). Последняя строчка не означает, что модуль отрицателен. Если \(n = -3\), то \(-n = 3\) — число, противоположное \(-3\).
Главные свойства
Модуль — это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным. Поэтому модуль любого числа, кроме нуля, — положительное число. Модуль нуля равен нулю, и только у нуля модуль равен нулю.
Противоположные числа лежат по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии от него. Поэтому модули противоположных чисел равны: \(|-a| = |a|\). Например, \(|-12| = |12| = 12\).
Отсюда следует важная вещь: если известен модуль, само число может быть одним из двух. Модуль 6 имеют числа 6 и −6. Модуль 0 имеет только число 0. А числа с модулем −6 нет вовсе: расстояние не может быть отрицательным.
Модуль в вычислениях
Если в выражении есть модули, сначала находят их значения, а потом выполняют действия с полученными числами. Например, \(|-7| - |-6| = 7 - 6 = 1\), \(|-10| \cdot |3| = 10 \cdot 3 = 30\). После того как модули найдены, остаются обычные положительные числа или нули, и считать с ними можно так же, как в 5 классе.
Знак «минус» перед модулем стоит снаружи и к модулю не относится: \(-|-3|\) — это число, противоположное \(|-3| = 3\), то есть \(-3\).
Как решать задачи
- Посмотрите на число под знаком модуля: положительное оно, отрицательное или ноль.
- Если число положительное или ноль, модуль равен самому числу.
- Если число отрицательное, отбросьте знак «минус» — получится противоположное число, это и есть модуль.
- В выражении сначала найдите все модули, затем выполняйте действия по обычному порядку. Знак «минус» перед чертами модуля сохраните.
- Если известен модуль, а нужно найти число, вспомните про две точки: \(|x| = a\) при \(a > 0\) даёт \(x = a\) или \(x = -a\); при \(a = 0\) — только \(x = 0\); при отрицательном \(a\) таких чисел нет.
- Проверьте ответ: модуль не может получиться отрицательным.
Разобранные примеры
Модули разных чисел
Найдите модули чисел \(-17\); \(0{,}35\); \(-3\dfrac{2}{7}\); \(0\).
Число \(-17\) отрицательное, его модуль — противоположное число: \(|-17| = 17\).
Число \(0{,}35\) положительное: \(|0{,}35| = 0{,}35\).
Число \(-3\dfrac{2}{7}\) отрицательное: \(|-3\dfrac{2}{7}| = 3\dfrac{2}{7}\).
Модуль нуля равен нулю: \(|0| = 0\).
Выражение с модулями
Вычислите \(|-4{,}8| + |-1{,}2|\) и \(|-3\dfrac{3}{4}| : |1\dfrac{1}{4}|\).
- \(|-4{,}8| = 4{,}8\), \(|-1{,}2| = 1{,}2\), поэтому
- \(|-3\dfrac{3}{4}| = 3\dfrac{3}{4}\), \(|1\dfrac{1}{4}| = 1\dfrac{1}{4}\), поэтому
Число по его модулю
Найдите все числа \(x\), для которых: а) \(|x| = 7\); б) \(|x| = 0\); в) \(|x| = -7\).
а) Нужны точки, удалённые от начала отсчёта на 7 единичных отрезков. Их две: правее нуля и левее нуля. Значит, \(x = 7\) или \(x = -7\).
б) Расстояние 0 означает, что точка совпадает с началом отсчёта. Значит, \(x = 0\).
в) Модуль — расстояние, он не бывает отрицательным. Ни одно число не имеет модуль \(-7\).
Типичные ошибки
Ученик запомнил, что \(|-5| = 5\), и решил, что модуль просто переворачивает знак. Тогда у него получается \(|5| = -5\). Но модуль — расстояние, а расстояние от нуля до точки 5 равно 5, а не минус пяти.
Модуль убирает только знак «минус». Положительное число и ноль под знаком модуля не меняются: \(|5| = 5\), \(|0| = 0\). Модуль никогда не бывает отрицательным.
На вопрос «Какое число имеет модуль 6?» ученик отвечает «6» и останавливается. Но точку на расстоянии 6 от нуля можно отметить и справа, и слева, поэтому подходит и число \(-6\).
Нарисуйте координатную прямую и отложите расстояние в обе стороны от нуля: \(|x| = 6\) при \(x = 6\) и при \(x = -6\). Одно число получается только при \(|x| = 0\).
Выражение \(-|-8|\) ученик считает равным 8: «модуль убирает минус». Но модуль убирает только минус, который стоит внутри черт. Минус перед чертами остаётся.
Сначала найдите модуль: \(|-8| = 8\). Затем учтите минус снаружи: \(-|-8| = -8\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равен модуль числа −9?
Показать ответ
Ответ: Б) \(9\)
Точка с координатой −9 удалена от начала отсчёта на 9 единичных отрезков, поэтому \(|-9| = 9\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Модуль числа не бывает отрицательным; В) Модули противоположных чисел равны; Г) Модуль нуля равен нулю
Модуль — это расстояние, поэтому он положителен или равен нулю (только у нуля); у противоположных чисел, например 5 и −5, модули равны, хотя сами числа разные.
-
Вычислите |−15| − |−7|.
Показать ответ
Ответ: 8
\(|-15| = 15\), \(|-7| = 7\), поэтому \(15 - 7 = 8\).
-
Сколько существует чисел, модуль которых равен 4?
Показать ответ
Ответ: В) Два
На расстоянии 4 от начала отсчёта лежат две точки — с координатами 4 и −4.
-
Вычислите |−2,5| · |−4|.
Показать ответ
Ответ: 10
\(|-2{,}5| \cdot |-4| = 2{,}5 \cdot 4 = 10\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите модули чисел −14; 0,9; −6,25; 0.
Подсказка
Модуль — расстояние от нуля до точки. Расстояние не бывает отрицательным.
Решение
Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному числу, модуль нуля — нулю:
\(|-14| = 14\), \(|0{,}9| = 0{,}9\), \(|-6{,}25| = 6{,}25\), \(|0| = 0\).
Ответ
Вычислите |−8| + |5| и |−4,5| · |−2|.
Подсказка
Сначала найдите каждый модуль, потом выполните действие.
Решение
-
\(|-8| = 8\), \(|5| = 5\), поэтому \(|-8| + |5| = 8 + 5 = 13\).
-
\(|-4{,}5| = 4{,}5\), \(|-2| = 2\), поэтому \(|-4{,}5| \cdot |-2| = 4{,}5 \cdot 2 = 9\).
Ответ
Вычислите |−2 1/3| + |1 1/2|.
Подсказка
Модули обоих чисел — положительные числа. Сложите смешанные числа, приведя дроби к общему знаменателю.
Решение
\(|-2\dfrac{1}{3}| = 2\dfrac{1}{3}\), \(|1\dfrac{1}{2}| = 1\dfrac{1}{2}\).
Ответ
Найдите все числа x, для которых |x| = 6,5.
Подсказка
На каком расстоянии от начала отсчёта лежит точка? Сколько таких точек на прямой?
Решение
Нужны точки, удалённые от начала отсчёта на 6,5 единичного отрезка. Таких точек две: одна правее нуля, другая левее. Их координаты 6,5 и −6,5.
Проверка: \(|6{,}5| = 6{,}5\) и \(|-6{,}5| = 6{,}5\).
Ответ
Сколько существует целых чисел, модуль которых меньше 4? Перечислите их.
Подсказка
Отметьте на координатной прямой точки, удалённые от нуля меньше чем на 4 единицы.
Решение
Модуль меньше 4 значит, что точка удалена от начала отсчёта меньше чем на 4 единичных отрезка.
Правее нуля подходят 1, 2, 3; левее нуля — противоположные им −1, −2, −3; ещё сам 0, у него модуль 0.
Число 4 и число −4 не подходят: их модуль равен 4, а не меньше 4.
Всего \(3 + 3 + 1 = 7\) чисел.
Ответ
На координатной прямой отмечены две разные точки A и B. Модуль координаты каждой из них равен 3,8. Найдите длину отрезка AB в единичных отрезках.
Подсказка
Если точки разные, а модули координат равны, то где они лежат относительно нуля?
Решение
Модуль 3,8 имеют только два числа: 3,8 и −3,8. Раз точки разные, одна из них \(A(3{,}8)\), другая \(B(-3{,}8)\) (или наоборот).
Точки лежат по разные стороны от начала отсчёта, каждая на расстоянии 3,8. Значит, отрезок AB проходит через точку O и состоит из двух частей по 3,8:
\(3{,}8 + 3{,}8 = 7{,}6\) (единичного отрезка).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листке прямую с нулём посередине и отметками от −6 до 6, или возьмите линейку. Поставьте на ноль игрушку-«домик» и спросите: «Сколько шагов от домика до точки 4? А до точки −4?» Ребёнок увидит, что шагов одинаково — 4. Это и есть модуль: сколько шагов до нуля, не важно, в какую сторону. Потом спросите, сколько шагов до самого нуля, — ноль.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равны \(|-11|\), \(|11|\) и \(|0|\)? 2) Может ли модуль числа быть равен \(-2\)? Почему? 3) Назовите все числа, модуль которых равен 3.
На что обратить внимание. Модуль — это расстояние, поэтому он всегда положительный или ноль. Частые ошибки: «модуль положительного числа отрицателен», забытое второе число в задачах вида \(|x| = 6\) и путаница с минусом перед знаком модуля.