Какие утверждения верны?

Число, противоположное отрицательному числу, положительно

У каждого числа ровно одно противоположное число

Противоположные числа лежат на одинаковом расстоянии от начала отсчёта

Запись −a всегда обозначает отрицательное число

Противоположные числа — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

Коротко о главном

Два числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными: 7 и −7, 2,3 и −2,3. Число, противоположное числу $$n$$ , обозначают $$-n$$ ; нуль противоположен самому себе. Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и нуль — это целые числа.

\[-(-n) = n\]

Подробное объяснение

Шаг вправо, шаг влево

Вы стоите у подъезда и идёте 5 шагов направо, к магазину. Друг стоит там же и идёт 5 шагов налево, к остановке. Вы прошли одинаково, но в противоположных направлениях. Если подъезд — начало отсчёта, а направо — положительное направление, то вы окажетесь в точке 5, а друг — в точке −5.

Координатная прямая от −6 до 6. Точки A(−4) и B(4) отмечены по разные стороны от начала отсчёта O; стрелки от O к ним одинаковой длины — 4 единицы влево и 4 единицы вправо. — Противоположные числа отстоят от начала отсчёта на одинаковое расстояние, но в разные стороны — они расположены симметрично относительно точки O.

Числа 5 и −5 называют противоположными. На координатной прямой они лежат на одинаковом расстоянии от начала отсчёта O, но по разные стороны от него — симметрично относительно точки O.

Правило

Два числа, отличающиеся только знаками, называют противоположными числами.

Примеры пар: 18 и −18; 0,6 и −0,6; $\dfrac{2}{7}$ и $-\dfrac{2}{7}$ ; $3\dfrac{1}{4}$ и $-3\dfrac{1}{4}$ .

Важные свойства:

у каждого числа есть ровно одно противоположное;
нуль противоположен самому себе — и это единственное такое число;
если число положительное, противоположное ему отрицательное, и наоборот.

Что значит знак «минус» перед буквой

Число, противоположное числу $$n$$ , записывают так: $$-n$$ . Читают «минус эн» или «число, противоположное эн».

Здесь легко ошибиться: $$-n$$ не обязательно отрицательное число. Всё зависит от того, чему равно $$n$$ :

если $$n = 6$$ , то $$-n = -6$$ ;
если $$n = -2{,}5$$ , то $$-n = 2{,}5$$ — положительное число;
если $$n = 0$$ , то $$-n = 0$$ .

А что такое $$-(-4)$$ ? Это число, противоположное числу $$-4$$ , то есть $$4$$ . Если дважды поменять знак, вернёмся к исходному числу:

\[-(-n) = n.\]

Можно представить разворот: один минус — повернуться кругом, второй — ещё раз кругом. После двух разворотов вы смотрите туда же, куда и в начале. Поэтому чётное число минусов перед числом даёт само число, а нечётное — противоположное ему.

Целые числа

Натуральные числа 1, 2, 3, … мы знаем давно. Если к ним добавить противоположные им числа −1, −2, −3, … и нуль, получатся целые числа:

\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots

Натуральные числа — это целые положительные числа. Нуль — целое число, но ни положительным, ни отрицательным он не является. А числа 0,5; −1,7 или $-\dfrac{3}{4}$ целыми не являются: это дробные числа.

На координатной прямой целые числа стоят ровно на делениях с шагом в один единичный отрезок. Между соседними целыми, например между −3 и −2, других целых чисел нет.

Как решать задачи

Чтобы найти число, противоположное данному, поменяйте знак: «плюс» на «минус», «минус» на «плюс». Нуль оставьте нулём.
Если в записи стоит буква со знаком минус ( $$-a$$ ), подставьте значение буквы в скобках: при $$a = -7$$ получаем $$-a = -(-7)$$ .
Сосчитайте минусы перед числом: чётное число минусов — ответ равен самому числу, нечётное — противоположному.
В уравнении вида $$-x = 5$$ рассуждайте так: если число, противоположное $$x$$ , равно 5, то $$x$$ противоположен числу 5, то есть $$x = -5$$ . Сделайте проверку подстановкой.
Чтобы решить, целое ли число, посмотрите, есть ли у него дробная часть: у целого её нет.

Разобранные примеры

База

Противоположные числа

Условие

Запишите числа, противоположные числам 41; −3,9; $\dfrac{5}{8}$ .

Решение

Меняем знак у каждого числа:

числу $$41$$ противоположно $$-41$$ ;
числу $$-3{,}9$$ противоположно $$3{,}9$$ ;
числу $\dfrac{5}{8}$ противоположно $-\dfrac{5}{8}$ .

Ответ:

\(-41\)

;

\(3{,}9\)

;

-\dfrac{5}{8}

.

Средний

Значение выражения с буквой

Условие

Найдите значение выражения $$-(-m)$$ при $$m = -1{,}6$$ .

Решение

Подставим значение $$m$$ в скобках: $$-(-m) = -(-(-1{,}6))$$ .

Внутреннее выражение $$-(-1{,}6)$$ равно $$1{,}6$$ — это число, противоположное $$-1{,}6$$ .

Остаётся $$-1{,}6$$ . Короче: $$-(-m) = m$$ , а $$m = -1{,}6$$ .

Ответ:

\(-1{,}6\)

.

Сложный

Целые числа на отрезке

Условие

Выпишите все целые числа $$x$$ , для которых и $$x$$ , и $$-x$$ лежат на координатной прямой между −3,5 и 2,5.

Решение

Целые числа между −3,5 и 2,5: $-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ .

Проверим для каждого, попадает ли противоположное число в тот же промежуток:

при $$x = -3$$ число $$-x = 3$$ , а 3 правее 2,5 — не подходит;
при $$x = -2$$ число $$-x = 2$$ — подходит;
при $$x = -1$$ число $$-x = 1$$ — подходит;
при $$x = 0$$ число $$-x = 0$$ — подходит;
при $$x = 1$$ число $$-x = -1$$ — подходит;
при $$x = 2$$ число $$-x = -2$$ — подходит.

Ответ: −2, −1, 0, 1, 2.

Типичные ошибки

Считают, что −a — всегда отрицательное число

Почему неверно

Ученик видит минус перед буквой и сразу пишет «отрицательное». Но $$-a$$ означает «число, противоположное $$a$$ ». Если $$a = -9$$ , то $$-a = 9$$ — число положительное.

Как правильно

Сначала узнайте, чему равна буква, и подставьте её значение в скобках: $$-a = -(-9) = 9$$ . Знак результата зависит от знака самой буквы.

Путают противоположное число с обратным

Почему неверно

На вопрос «какое число противоположно числу 4?» ученик отвечает $\dfrac{1}{4}$ . Но $\dfrac{1}{4}$ — число, обратное числу 4: их произведение равно 1. Противоположное же число отличается только знаком.

Как правильно

Противоположное к 4 — это −4: меняется только знак. Обратное — «переворачивается» дробь. Это разные понятия.

Не считают нуль целым числом

Почему неверно

Выписывая целые числа между −3 и 3, ученик пропускает 0: «он же ни положительный, ни отрицательный». Но в определение целых чисел нуль входит отдельно.

Как правильно

Целые числа — натуральные, противоположные им и нуль. Между −3 и 3 лежат пять целых чисел: −2, −1, 0, 1, 2.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Запишите числа, противоположные числам 12; −0,8; $-2\dfrac{3}{7}$ ; 0.

Подсказка

Поменяйте знак числа на другой, а само число без знака оставьте прежним.

Решение

Противоположное число отличается от данного только знаком:

числу $$12$$ противоположно $$-12$$ ;
числу $$-0{,}8$$ противоположно $$0{,}8$$ ;
числу $-2\dfrac{3}{7}$ противоположно $2\dfrac{3}{7}$ ;
числу $$0$$ противоположен сам нуль.

Ответ

\(-12\)

;

\(0{,}8\)

;

2\dfrac{3}{7}

;

\(0\)

База Задача 2

Найдите значение выражения $$-x$$ при $$x = -15$$ и при $$x = 6{,}4$$ .

Подсказка

Запись $$-x$$ означает число, противоположное числу $$x$$ .

Решение

Если $$x = -15$$ , то $$-x = -(-15) = 15$$ .

Если $$x = 6{,}4$$ , то $$-x = -6{,}4$$ .

Ответ

15; −6,4

Средний Задача 3

Найдите значение выражения $$-(-(-(-9)))$$ .

Подсказка

Раскрывайте по одной паре минусов изнутри наружу.

Решение

Самое внутреннее выражение $$-(-9)$$ — число, противоположное $$-9$$ , оно равно $$9$$ .

Тогда $$-(-(-(-9))) = -(-9) = 9$$ .

Можно и по-другому: перед числом 9 стоят четыре минуса. Каждые два минуса «гасят» друг друга, четыре — это две пары, поэтому знак остаётся плюсом.

Ответ

9

Средний Задача 4

Найдите корень уравнения: а) $$-y = -27$$ ; б) $$-z = 4{,}5$$ .

Подсказка

Если число, противоположное $$y$$ , равно $$-27$$ , то сам $$y$$ — число, противоположное $$-27$$ .

Решение

а) $$-y = -27$$ , значит, $$y$$ — число, противоположное $$-27$$ : $$y = 27$$ . Проверка: $$-27 = -27$$ .

б) $$-z = 4{,}5$$ , значит, $$z$$ — число, противоположное $$4{,}5$$ : $$z = -4{,}5$$ . Проверка: $$-(-4{,}5) = 4{,}5$$ .

Ответ

а)

\(y = 27\)

; б)

\(z = -4{,}5\)

Сложный Задача 5

Сколько целых чисел лежит на координатной прямой строго между числами −6 и 4? Выпишите их.

Подсказка

Выпишите подряд целые числа, начиная с ближайшего к −6 справа.

Решение

Целые числа идут подряд с шагом 1. Строго между $$-6$$ и $$4$$ (сами $$-6$$ и $$4$$ не берём) лежат:

$-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$ .

Отрицательных — 5, положительных — 3, и ещё нуль: $$5 + 3 + 1 = 9$$ чисел.

Ответ

9 чисел: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Сложный Задача 6

Координаты точек A и B — противоположные числа, точка A лежит левее точки B, а расстояние между точками равно 15 единичным отрезкам. Найдите координаты точек.

Подсказка

Противоположные числа стоят на одинаковом расстоянии от начала отсчёта, значит, точка O — середина отрезка AB.

Решение

Дано

координаты A и B противоположны
A левее B
$$AB = 15$$ единичных отрезков

Найти

координаты A и B

Противоположные числа расположены симметрично относительно точки O, поэтому O — середина отрезка AB.
$$15 : 2 = 7{,}5$$ — расстояние от O до каждой точки.
Точка B правее, её координата положительная: $$7{,}5$$ . Точка A левее O, её координата — противоположное число $$-7{,}5$$ .

Ответ

\(A(-7{,}5)\)

,

\(B(7{,}5)\)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на полу или на листе прямую, отметьте середину нулём и поставьте игрушку на 3 клетки вправо. Попросите ребёнка поставить вторую игрушку «так же далеко, но в другую сторону» — это и есть −3, противоположное число. Потом поиграйте в «развороты»: «минус» — повернись кругом. Два «минуса» подряд — снова смотришь вперёд: $$-(-3) = 3$$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Какое число противоположно числу −12? А нулю? 2) Может ли выражение $$-a$$ быть положительным? Приведите пример. 3) Целое ли число нуль? А число −4,5?

На что обратить внимание. Главная ловушка темы — привычка читать $$-a$$ как «отрицательное число». Просите ребёнка всегда подставлять значение буквы в скобках. Ещё следите, чтобы он не путал противоположные числа (4 и −4) с обратными (4 и $\dfrac{1}{4}$ ).

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 25	4.38, 4.39, 4.40, 4.41, 4.42, 4.43, 4.44, 4.45, 4.46, 4.47, 4.48, 4.49, 4.50, 4.51, 4.52, 4.53, 4.54, 4.55, 4.56, 4.57, 4.58, 4.59, 4.60, 4.61