Алгебра, 9 класс · Неравенства с двумя переменными и их системы

Проверь себя по разделу

15 вопросов по 3 темам раздела «Неравенства с двумя переменными и их системы». Отвечай по порядку — после каждого ответа будет пояснение, в конце — результат и список тем, которые стоит повторить.

  1. Неравенства с двумя переменными

    Какая пара чисел является решением неравенства \(y > x^2\)?

    Показать ответ

    Ответ: В) (−1; 2)

    При \(x = -1\) имеем \(x^2 = 1\), и \(2 > 1\). У \((1;\ 1)\) и \((0;\ 0)\) получается равенство, а у \((2;\ 3)\) — \(3 < 4\).

  2. Неравенства с двумя переменными

    Как изображают границу множества решений неравенства \(x + y < 5\)?

    Показать ответ

    Ответ: Б) Пунктирной линией

    Знак строгий, точки прямой \(x + y = 5\) решениями не являются — прямую рисуют пунктиром.

  3. Неравенства с двумя переменными

    Какие точки принадлежат множеству решений неравенства \(x^2 + y^2 < 25\)?

    Правильных ответов несколько.

    Показать ответ

    Ответ: Б) (0; 0); В) (−2; 4)

    \(0 < 25\) и \(4 + 16 = 20 < 25\) — подходят. Точка \((3;\ 4)\) лежит на окружности (\(9 + 16 = 25\)), а \((5;\ 1)\) — вне круга (\(26 > 25\)).

  4. Неравенства с двумя переменными

    Сколько точек с целыми координатами на оси \(y\) (при \(x = 0\)) удовлетворяют неравенству \(x^2 + y^2 \leqslant 4\)?

    Показать ответ

    Ответ: 5

    При \(x = 0\) нужно \(y^2 \leqslant 4\), то есть \(-2 \leqslant y \leqslant 2\) — целых значений пять.

  5. Неравенства с двумя переменными

    Какое множество точек задаёт неравенство \(y \geqslant x^2 + 1\)?

    Показать ответ

    Ответ: А) Точки параболы y = x² + 1 и точки выше неё

    Точки выше параболы дают \(y > x^2 + 1\), точки на параболе — равенство; знак нестрогий, поэтому подходят и те и другие.

  6. Системы неравенств с двумя переменными

    Что является множеством решений системы неравенств с двумя переменными?

    Показать ответ

    Ответ: Б) Пересечение множеств решений неравенств

    Решение системы удовлетворяет каждому неравенству, то есть принадлежит всем их множествам решений одновременно.

  7. Системы неравенств с двумя переменными

    Какую фигуру задаёт система \(\begin{cases} y \leqslant 3x + 1, \\ y \geqslant 3x - 2? \end{cases}\)

    Показать ответ

    Ответ: В) Полосу

    Прямые \(y = 3x + 1\) и \(y = 3x - 2\) параллельны, точки ниже верхней и выше нижней образуют полосу.

  8. Системы неравенств с двумя переменными

    Какие пары чисел — решения системы \(\begin{cases} x + y > 2, \\ x - y < 1? \end{cases}\)

    Правильных ответов несколько.

    Показать ответ

    Ответ: Б) (1; 2); В) (3; 3)

    Для \((2;\ 1)\) второе неравенство даёт \(1 < 1\) — неверно; для \((0;\ 0)\) неверно первое; \((1;\ 2)\) и \((3;\ 3)\) подходят к обоим.

  9. Системы неравенств с двумя переменными

    Сколько точек с целыми координатами удовлетворяют системе \(x \geqslant 0\), \(y \geqslant 0\), \(x + y \leqslant 2\)?

    Показать ответ

    Ответ: 6

    Подходят \((0;\ 0)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 1)\), \((0;\ 2)\) — всего 6 точек.

  10. Системы неравенств с двумя переменными

    Какую фигуру задаёт система \(\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 9, \\ x^2 + y^2 \geqslant 4? \end{cases}\)

    Показать ответ

    Ответ: Б) Кольцо между окружностями радиусов 2 и 3

    Первое неравенство — круг радиусом 3, второе — точки вне круга радиусом 2 (и на его границе); общая часть — кольцо.

  11. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

    Какую замену удобнее всего сделать в системе \(x^2 + y^2 = 20\), \(x + y = 6\)?

    Показать ответ

    Ответ: А) $u = x + y$, $v = xy$

    Система симметричная — при перестановке \(x\) и \(y\) не меняется. Для таких систем удобны новые переменные \(u = x + y\) и \(v = xy\), а \(x^2 + y^2 = u^2 - 2v\). Подстановка тоже сработает, но длиннее.

  12. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

    Какие системы симметричные (не меняются, если поменять \(x\) и \(y\) местами)?

    Правильных ответов несколько.

    Показать ответ

    Ответ: А) $x^2 + y^2 = 5$, $xy = 2$; Б) $x + y + xy = 7$, $x^2 + y^2 = 10$; Г) $x^2 + 2y = 6$, $y^2 + 2x = 6$

    В третьей системе \(x^2 - y^2\) превращается в \(y^2 - x^2\) — другое уравнение. В четвёртой уравнения меняются местами, а сама система остаётся той же.

  13. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

    Как выразить \(x^2 + y^2\) через \(u = x + y\) и \(v = xy\)?

    Показать ответ

    Ответ: А) $u^2 - 2v$

    \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), поэтому \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v\).

  14. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

    Известно, что \(x + y = 5\) и \(xy = 4\). Найдите \(x^2 + y^2\).

    Показать ответ

    Ответ: 17

    \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 25 - 8 = 17\).

  15. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

    Решая систему с уравнением \(x^2 - 5xy + 6y^2 = 0\), его делят на \(y^2\). Что обязательно сделать отдельно?

    Показать ответ

    Ответ: А) Проверить, нет ли решений с $y = 0$

    На ноль делить нельзя. При \(y = 0\) уравнение даёт \(x = 0\), и пару \((0;\ 0)\) нужно отдельно подставить во второе уравнение системы — иначе можно потерять решение.

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.