Какому неравенству равносильно 3 - x/x + 1 > 0?

Неравенству 3 − x > 0

Проверь себя: Неравенства с одной переменной

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Каково множество решений неравенства $$x^2 - 9 < 0$$ ?

А)(−3; 3)
Б)(−∞; −3) ∪ (3; +∞)
В)(−∞; 3)
Г)Решений нет

Показать ответ

Ответ: А) (−3; 3)

Нули $$-3$$ и $$3$$ , ветви вверх — ниже оси парабола между нулями.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Какие неравенства верны при любом значении $$x$$ ?

А)Неравенство x² + 1 > 0
Б)Неравенство x² − 2x + 1 > 0
В)Неравенство −x² − 4 < 0
Г)Неравенство x² + x + 1 ≥ 0

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Неравенство x² + 1 > 0; В) Неравенство −x² − 4 < 0; Г) Неравенство x² + x + 1 ≥ 0

$$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ равно нулю при $$x = 1$$ , поэтому строгое неравенство там не выполнено. У $$x^2 + x + 1$$ дискриминант $$D = -3 < 0$$ и $$a > 0$$ — значения всегда положительны.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Сколько целых решений имеет неравенство $x^2 - 5x + 4 \leqslant 0$ ?

Показать ответ

Ответ: 4

Корни 1 и 4, решения — отрезок $[1;\ 4]$ , в нём целые 1, 2, 3, 4.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

У трёхчлена $$ax^2 + bx + c$$ коэффициент $$a < 0$$ и $$D < 0$$ . Каково множество решений неравенства $$ax^2 + bx + c < 0$$ ?

А)Любое число
Б)Решений нет
В)Промежуток между корнями
Г)Только x = 0

Показать ответ

Ответ: А) Любое число

Ветви вниз и общих точек с осью нет — вся парабола ниже оси $$x$$ , трёхчлен отрицателен при любом $$x$$ .

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Найдите наибольшее целое решение неравенства $$2x^2 - 7x - 4 < 0$$ .

Показать ответ

Ответ: 3

$$D = 49 + 32 = 81$$ , корни $-\dfrac12$ и $$4$$ . Решения — $\left(-\dfrac12;\ 4\right)$ , число 4 не входит, наибольшее целое — 3.

Решение неравенств методом интервалов

Какой знак имеет произведение $$(x - 2)(x + 1)(x - 5)$$ на самом правом промежутке $(5;\ +\infty)$ ?

А)Плюс
Б)Минус
В)Зависит от знака неравенства
Г)Произведение там равно нулю

Показать ответ

Ответ: А) Плюс

При $$x > 5$$ все три множителя положительны, значит, и произведение положительно.

Решение неравенств методом интервалов

Какие числа входят в множество решений неравенства $\dfrac{(x + 4)(x - 1)}{x - 3} \ge 0$ ?

А)Число −4
Б)Число 1
В)Число 3
Г)Число 0

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Число −4; Б) Число 1; Г) Число 0

При $$x = -4$$ и $$x = 1$$ дробь равна нулю — подходит; при $$x = 3$$ знаменатель обращается в нуль; при $$x = 0$$ дробь равна $\dfrac{4}{3} > 0$ .

Решение неравенств методом интервалов

Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству $$(x + 2)(x - 3) < 0$$ ?

Показать ответ

Ответ: 4

Решение — промежуток $(-2;\ 3)$ , в нём целые числа $$-1$$ , $$0$$ , $$1$$ , $$2$$ .

Решение неравенств методом интервалов

Что происходит со знаком выражения $$(x - 2)^2(x + 1)$$ при переходе через $$x = 2$$ ?

А)Знак меняется на противоположный
Б)Знак не меняется
В)Знак меняется, только если неравенство строгое
Г)Выражение не определено при x = 2

Показать ответ

Ответ: Б) Знак не меняется

Множитель $$(x - 2)^2$$ положителен по обе стороны от $$2$$ , поэтому знак всего выражения сохраняется — это корень чётной кратности.

Решение неравенств методом интервалов

Какому неравенству равносильно $\dfrac{3 - x}{x + 1} > 0$ ?

А)Неравенству (x − 3)(x + 1) > 0
Б)Неравенству (x − 3)(x + 1) < 0
В)Неравенству 3 − x > 0
Г)Неравенству (x − 3)/(x + 1) > 0

Показать ответ

Ответ: Б) Неравенству (x − 3)(x + 1) < 0

Знак дроби совпадает со знаком произведения $$(3 - x)(x + 1)$$ , а после умножения на $$-1$$ получаем $$(x - 3)(x + 1) < 0$$ . Решение у обоих — $(-1;\ 3)$ .

Некоторые приёмы решения целых уравнений

Среди каких чисел нужно искать целые корни уравнения $$x^3 - 5x^2 + 2x + 6 = 0$$ ?

А)Среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6
Б)Среди всех целых чисел от −6 до 6
В)Среди делителей числа 5
Г)Только среди положительных делителей числа 6

Показать ответ

Ответ: А) Среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6

По теореме о целых корнях целый корень уравнения с целыми коэффициентами — делитель свободного члена, здесь числа $$6$$ , причём делители берут с обоими знаками.

Некоторые приёмы решения целых уравнений

Один из корней уравнения $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$$ равен 1. Найдите сумму двух других корней.

Показать ответ

Ответ: 5

Деление на $$x - 1$$ даёт $$x^2 - 5x + 6$$ . По теореме Виета сумма его корней равна $$5$$ (это корни $$2$$ и $$3$$ ).

Некоторые приёмы решения целых уравнений

Какие из уравнений возвратные?

А)$2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$
Б)$x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$
В)$x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0$
Г)$3x^4 - x^3 + 2x^2 + x + 3 = 0$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$; Б) $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$

В возвратном уравнении коэффициенты, одинаково удалённые от начала и конца, равны. В третьем уравнении $1 \ne -1$ у крайних членов, в четвёртом $-1 \ne 1$ у второго и четвёртого.

Некоторые приёмы решения целых уравнений

Пусть $y = x + \dfrac{1}{x}$ . Чему равно $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ ?

А)$y^2$
Б)$y^2 + 2$
В)$y^2 - 2$
Г)$2y$

Показать ответ

Ответ: В) $y^2 - 2$

$y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ , откуда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ .

Некоторые приёмы решения целых уравнений

Сколько корней у уравнения $$x^5 + 3x - 4 = 0$$ ?

А)Ни одного
Б)Ровно один
В)Два
Г)Пять

Показать ответ

Ответ: Б) Ровно один

Число $$1$$ — корень. Уравнение равносильно $$x^5 = 4 - 3x$$ , где слева возрастающая функция, а справа убывающая, поэтому других корней нет.