Проверь себя: Уравнения с одной переменной

Целое уравнение и его корни

Какое из уравнений является целым?

А)$\dfrac{x}{x - 1} = 2$
Б)$\dfrac{x - 2}{5} = x^3$
В)$\dfrac{1}{x} + x = 2$
Г)$\dfrac{3}{x^2} = 1$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{x - 2}{5} = x^3$

В целом уравнении нет деления на выражение с переменной; деление на число 5 допускается.

Целое уравнение и его корни

Какова степень уравнения (x³ + 1)(x² − 2) = x⁵?

Показать ответ

Ответ: 3

Раскроем скобки — $$x^5 - 2x^3 + x^2 - 2 = x^5$$ , после переноса получится $$-2x^3 + x^2 - 2 = 0$$ , старшая степень 3.

Целое уравнение и его корни

Сколько корней может иметь уравнение четвёртой степени?

А)Ровно четыре
Б)Не более четырёх
В)Не менее четырёх
Г)Всегда хотя бы один

Показать ответ

Ответ: Б) Не более четырёх

Уравнение $$n$$ -й степени имеет не более $$n$$ корней; например, $$x^4 + 1 = 0$$ корней не имеет вовсе.

Целое уравнение и его корни

Какие утверждения об уравнении x⁴ − 5x² − 36 = 0 верны?

А)Это биквадратное уравнение
Б)Заменой y = x² оно сводится к y² − 5y − 36 = 0
В)Оно имеет четыре корня
Г)Значение y = −4 даёт корни x = ±2

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Это биквадратное уравнение; Б) Заменой y = x² оно сводится к y² − 5y − 36 = 0

Корни $$y^2 - 5y - 36 = 0$$ — это $$9$$ и $$-4$$ . $$x^2 = 9$$ даёт $\pm 3$ , а $$x^2 = -4$$ корней не имеет, поэтому корней два.

Целое уравнение и его корни

Сколько корней имеет уравнение x³ − x = 0?

Показать ответ

Ответ: 3

$$x(x - 1)(x + 1) = 0$$ , корни $$-1$$ , $$0$$ и $$1$$ .

Дробные рациональные уравнения

Какое из чисел точно не может быть корнем уравнения $\dfrac{x + 1}{x - 4} = \dfrac{2}{x + 5}$ ?

А)−1
Б)1
В)4
Г)2

Показать ответ

Ответ: В) 4

При $$x = 4$$ знаменатель $$x - 4$$ равен нулю, дробь не имеет смысла, поэтому $$4$$ не входит в ОДЗ.

Дробные рациональные уравнения

Какие значения $$x$$ не входят в область допустимых значений уравнения $\dfrac{3}{x^2 - 9} = \dfrac{1}{x}$ ?

А)−3
Б)0
В)3
Г)9

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) −3; Б) 0; В) 3

Знаменатели $$x^2 - 9$$ и $$x$$ равны нулю при $x = \pm 3$ и $$x = 0$$ . Число $$9$$ допустимо.

Дробные рациональные уравнения

Найдите корень уравнения $\dfrac{x^2 - 16}{x + 4} = 0$ .

Показать ответ

Ответ: 4

Числитель равен нулю при $x = \pm 4$ , но при $$x = -4$$ знаменатель тоже равен нулю. Остаётся $$x = 4$$ .

Дробные рациональные уравнения

Зачем после умножения на общий знаменатель проверять найденные корни?

А)Могли появиться посторонние корни, обращающие знаменатель в нуль
Б)Могли потеряться корни исходного уравнения
В)У целого уравнения корней всегда больше, чем у дробного
Г)Проверка нужна только для красоты записи

Показать ответ

Ответ: А) Могли появиться посторонние корни, обращающие знаменатель в нуль

Умножение на выражение с переменной может добавить корни, при которых это выражение равно нулю; их надо отбросить.

Дробные рациональные уравнения

Сколько корней имеет уравнение $\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0$ ?

Показать ответ

Ответ: 1

Числитель равен нулю при $$x = 1$$ и $$x = 4$$ , но $$x = 1$$ обращает знаменатель в нуль. Корень один — $$x = 4$$ .

Решение задач с помощью уравнений

Собственная скорость лодки $$v$$ км/ч, скорость течения 2 км/ч. С какой скоростью лодка плывёт против течения?

А)Равна v + 2 км/ч
Б)Равна v − 2 км/ч
В)Равна v км/ч
Г)Равна 2 км/ч

Показать ответ

Ответ: Б) Равна v − 2 км/ч

Против течения река «тормозит» лодку, поэтому скорость течения вычитают из собственной, $$v - 2$$ .

Решение задач с помощью уравнений

Грузовик проезжает 100 км на полчаса дольше, чем легковой автомобиль, скорость которого на 10 км/ч больше. Скорость грузовика $$x$$ км/ч. Какое уравнение верное?

А)100/x − 100/(x + 10) = 1/2
Б)100/(x + 10) − 100/x = 1/2
В)100/x − 100/(x + 10) = 30
Г)100x − 100(x + 10) = 1/2

Показать ответ

Ответ: А) 100/x − 100/(x + 10) = 1/2

Время грузовика $\dfrac{100}{x}$ больше времени легковой $\dfrac{100}{x + 10}$ ; разность — полчаса, то есть $\dfrac{1}{2}$ ч, а не 30.

Решение задач с помощью уравнений

Уравнение в задаче на движение дало корни. Какие из них нужно отбросить, если $$x$$ — скорость катера в стоячей воде, а скорость течения 4 км/ч?

А)Корень x = −18
Б)Корень x = 3
В)Корень x = 16
Г)Корень x = 0

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Корень x = −18; Б) Корень x = 3; Г) Корень x = 0

Скорость катера должна быть положительной и больше скорости течения, иначе он не поплывёт против течения. Подходит только $$x = 16$$ .

Решение задач с помощью уравнений

Первая труба наполняет бак за 3 ч, вторая — за 6 ч. За сколько часов они наполнят бак, работая вместе?

Показать ответ

Ответ: 2

За час вместе они наполняют $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$ бака, значит, весь бак — за 2 ч.

Решение задач с помощью уравнений

Товар стоил 200 р. Цену дважды повысили на 10 %. Сколько рублей стал стоить товар?

Показать ответ

Ответ: 242

Каждое повышение умножает цену на 1,1, поэтому $200 \cdot 1{,}1^2 = 242$ р. Это не 240 р., потому что второй раз 10 % берут от уже выросшей цены.