Тело брошено вертикально вверх. Какова его скорость в самой верхней точке подъёма?

Наибольшая за всё движение

Равна начальной скорости

Какие утверждения о теле, брошенном вертикально вверх, верны (сопротивление воздуха не учитываем)?

Ускорение при подъёме и при спуске одно и то же — 9,8 м/с² вниз

При подъёме скорость и ускорение направлены в противоположные стороны

Время подъёма равно времени спуска до той же высоты

В верхней точке ускорение тела равно нулю

Динамометр с подвешенным грузом свободно падает. Что он показывает во время падения?

Вес груза, как в покое

Вдвое больший вес

Вес зависит от высоты падения

Тело, брошенное вертикально вверх. Невесомость

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Свободное падение тел

Коротко о главном

Тело, брошенное вертикально вверх, движется равноускоренно: на него действует только сила тяжести, поэтому ускорение всё время равно $$g = 9{,}8$$ м/с² и направлено вниз. При подъёме скорость каждую секунду уменьшается на 9,8 м/с, в верхней точке становится нулевой, а затем тело падает, разгоняясь. Если ось $$Y$$ направить вверх:

v_y = v_0 - g t, \qquad h = v_0 t - \frac{g t^2}{2}

Тело, которое движется только под действием силы тяжести, ничего не давит на опору и не тянет подвес — оно находится в состоянии невесомости.

Подробное объяснение

Что происходит с подброшенным мячом

Подбросьте мяч вверх и присмотритесь. Сразу после броска он летит быстро, потом всё медленнее, на мгновение замирает в верхней точке и падает обратно, набирая скорость. Замедление на подъёме и разгон на спуске делает одна и та же сила — сила тяжести. Она всегда направлена вниз, и, пока мяч в полёте, других сил на него не действует (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Значит, ускорение мяча и на подъёме, и на спуске одно и то же: ускорение свободного падения $$g = 9{,}8$$ м/с², направленное вниз. Разница только в том, куда смотрит скорость. При подъёме она направлена вверх, против ускорения, — и модуль скорости каждую секунду уменьшается на 9,8 м/с. При спуске скорость и ускорение направлены в одну сторону — модуль скорости каждую секунду растёт на те же 9,8 м/с.

Шарик, брошенный вверх. При подъёме скорость v направлена вверх, ускорение g вниз — скорость убывает. В верхней точке v = 0, но g по-прежнему вниз. При спуске v и g направлены вниз — скорость растёт. — Ускорение g всё время направлено вниз: при подъёме оно против скорости и тормозит тело, в верхней точке скорость нулевая, а ускорение нет, при спуске скорость и ускорение направлены в одну сторону.

Формулы

Ничего нового выводить не нужно. Это то же прямолинейное равноускоренное движение с начальной скоростью, только вместо $$a_x$$ стоит $$g_x$$ :

v_x = v_{0x} + g_x t, \qquad s_x = v_{0x} t + \frac{g_x t^2}{2}

Главное — правильно расставить знаки. Направим ось $$Y$$ вертикально вверх, по начальной скорости. Тогда $v_{0y} = v_0 > 0$ , а ускорение направлено против оси: $g_y = -g = -9{,}8$ м/с². Формулы принимают вид

v_y = v_0 - g t, \qquad h = v_0 t - \frac{g t^2}{2}

Здесь $$v_0$$ — модуль начальной скорости (м/с), $$t$$ — время после броска (с), $$v_y$$ — проекция скорости в момент $$t$$ , $$h$$ — высота над точкой броска (м). Пока $$v_y > 0$$ , тело поднимается; когда проекция стала отрицательной — тело уже падает. Если ось направить вниз, знаки поменяются: $v_{0y} = -v_0$ , $$g_y = +g$$ . Ответ от выбора оси не зависит, но знаки проекций скорости и ускорения при подъёме всегда разные.

Верхняя точка

В верхней точке скорость равна нулю. Подставим $$v_y = 0$$ в формулу скорости и получим время подъёма:

t_{\text{под}} = \frac{v_0}{g}

Подставим это время в формулу высоты — получим наибольшую высоту:

h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}

Обратите внимание: в верхней точке скорость нулевая, а ускорение — нет. Оно по-прежнему равно $$g$$ , именно поэтому тело не зависает, а тут же начинает падать. Спуск до точки броска занимает столько же времени, сколько подъём, и тело возвращается с той же по модулю скоростью, с какой его бросили.

Невесомость

Вес — это сила, с которой тело давит на опору или тянет подвес. Подвесьте гирю на динамометр: пружина растянута, стрелка показывает вес. Теперь отпустите динамометр вместе с гирей. Оба падают с одинаковым ускорением $$g$$ , гиря не отстаёт от пружины и не тянет её — стрелка на нуле. Вес гири равен нулю, хотя сила тяжести никуда не делась: она и разгоняет гирю.

Так ведёт себя любое тело, которое движется только под действием силы тяжести, — падает, летит вверх после броска или по дуге. Это состояние называют невесомостью. Начальная скорость не важна: подброшенный вверх мяч невесом и на подъёме, и на спуске. Невесомы и космонавты на орбите: станция вместе с ними всё время «падает» на Землю, просто не долетает из-за большой скорости.

Как решать задачи

Нарисуйте ось $$Y$$ и выберите её направление (обычно вверх, по начальной скорости). Отметьте точку броска как начало отсчёта.
Запишите проекции: при оси вверх $v_{0y} = v_0$ , $g_y = -9{,}8$ м/с².
Подставьте проекции в $v_y = v_{0y} + g_y t$ и $s_y = v_{0y} t + \dfrac{g_y t^2}{2}$ .
Переведите условие на язык формул: «в верхней точке» — $$v_y = 0$$ ; «вернулось в точку броска» — $$s_y = 0$$ ; «на высоте $$h$$ » — $$s_y = h$$ .
Решите уравнение и проверьте смысл: время положительное, высота не больше $\dfrac{v_0^2}{2g}$ , знак $$v_y$$ говорит, вверх или вниз движется тело.

Разобранные примеры

База

Скорость через секунду и через три

Условие

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 19,6 м/с. Найдите его скорость через 1 с и через 3 с после броска.

Дано

$v_0 = 19{,}6$ м/с
$$t_1 = 1$$ с
$$t_2 = 3$$ с
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$v_1$$
$$v_2$$

Решение

Ось $$Y$$ направим вверх: $$v_y = v_0 - g t$$ .

Через 1 с: $v_y = 19{,}6 - 9{,}8 \cdot 1 = 9{,}8$ м/с. Проекция положительна — камень ещё летит вверх.

Через 3 с: $v_y = 19{,}6 - 9{,}8 \cdot 3 = -9{,}8$ м/с. Проекция отрицательна — камень уже падает со скоростью 9,8 м/с. Он развернулся при $$t = 2$$ с.

Ответ: 9,8 м/с вверх; 9,8 м/с вниз

Средний

Время подъёма и наибольшая высота

Условие

Волейбольный мяч подбросили вертикально вверх со скоростью 14,7 м/с. Сколько времени он поднимался и на какую высоту?

Дано

$v_0 = 14{,}7$ м/с
$$g = 9{,}8$$ м/с²
$$v = 0$$ в верхней точке

Найти

$$t$$
$$h$$

Решение

Ось $$Y$$ вверх. В верхней точке скорость равна нулю, $$v_y = 0$$ , поэтому $$0 = v_0 - g t$$ , откуда $t = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{14{,}7}{9{,}8} = 1{,}5$ с.

Высота за это время: $h = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2} = 14{,}7 \cdot 1{,}5 - \dfrac{9{,}8 \cdot 1{,}5^2}{2} = 22{,}05 - 11{,}025 \approx 11$ м.

Проверим по формуле без времени: $h = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{14{,}7^2}{19{,}6} \approx 11$ м. Сошлось.

Ответ: 1,5 с; около 11 м

Сложный

Начальная скорость по высоте в заданный момент

Условие

Мяч бросили вертикально вверх. Через 3 с он оказался на высоте 14,7 м над точкой броска и двигался вниз. С какой скоростью бросили мяч? На какую наибольшую высоту он поднялся?

Дано

$$t = 3$$ с
$$h = 14{,}7$$ м
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$v_0$$
$h_{\max}$

Решение

Ось $$Y$$ вверх. Высота в момент $$t$$ : $h = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2}$ . Подставим числа: $14{,}7 = 3 v_0 - \dfrac{9{,}8 \cdot 9}{2} = 3 v_0 - 44{,}1$ .

Отсюда $3 v_0 = 58{,}8$ , $v_0 = 19{,}6$ м/с.

Проверим, что мяч в этот момент действительно двигался вниз: $v_y = 19{,}6 - 9{,}8 \cdot 3 = -9{,}8$ м/с — проекция отрицательна, всё верно.

Наибольшая высота: $h_{\max} = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{19{,}6^2}{2 \cdot 9{,}8} = 19{,}6$ м. Мяч достиг её при $$t = 2$$ с, а к третьей секунде опустился до 14,7 м.

Ответ: 19,6 м/с; 19,6 м

Типичные ошибки

Складывают начальную скорость с $g t$ при подъёме

Почему неверно

Ученик пишет $$v = v_0 + g t$$ и получает, что мяч разгоняется, летя вверх. Но при подъёме ускорение направлено против скорости: если ось смотрит вверх, проекция ускорения равна $$-9{,}8$$ м/с², а не $$+9{,}8$$ .

Как правильно

Сначала выбрать ось, потом записать знаки проекций и только затем подставлять: при оси вверх $$v_y = v_0 - g t$$ , $h = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2}$ . Знаки проекций скорости и ускорения при подъёме всегда противоположны.

Считают, что в верхней точке ускорение равно нулю

Почему неверно

Скорость в верхней точке действительно нулевая, но ускорение — нет. Сила тяжести действует на тело всё время полёта, поэтому ускорение равно $$g$$ и в верхней точке, и в любой другой. Если бы ускорение стало нулевым, тело зависло бы в воздухе.

Как правильно

Разделять скорость и ускорение: скорость показывает, как быстро тело движется сейчас, ускорение — как скорость меняется. В верхней точке $$v = 0$$ , $$a = g = 9{,}8$$ м/с², и направлено ускорение вниз.

Путают невесомость с отсутствием силы тяжести

Почему неверно

Слышат «невесомость» и решают, что на тело перестала действовать сила тяжести. На самом деле в свободном падении сила тяжести никуда не делась — она и разгоняет тело. Исчез вес, то есть давление тела на опору или натяжение подвеса.

Как правильно

Невесомость — это состояние, когда тело движется только под действием силы тяжести и потому не давит на опору. Сила тяжести есть, веса нет. Проверка: падающий динамометр с грузом показывает ноль, но и падает он именно из-за силы тяжести.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 14,7 м/с. Через сколько секунд он окажется в верхней точке? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Подсказка

В верхней точке скорость равна нулю.

Решение

Дано

$v_0 = 14{,}7$ м/с
$$v = 0$$
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$t$$

Ось $$Y$$ направим вверх: $$v_y = v_0 - g t$$ . В верхней точке $$v_y = 0$$ , откуда $t = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{14{,}7}{9{,}8} = 1{,}5$ с.

Ответ

1,5 с

База Задача 2

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 19,6 м/с. Какой будет его скорость через 1 с после броска?

Подсказка

Каждую секунду подъёма скорость уменьшается на 9,8 м/с.

Решение

Дано

$v_0 = 19{,}6$ м/с
$$t = 1$$ с
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$v$$

Ось $$Y$$ вверх: $v_y = v_0 - g t = 19{,}6 - 9{,}8 \cdot 1 = 9{,}8$ м/с. Проекция положительна — камень ещё поднимается.

Ответ

9,8 м/с

Средний Задача 3

Стрелу выпустили из лука вертикально вверх со скоростью 29,4 м/с. На какую наибольшую высоту она поднимется? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Подсказка

Найдите время подъёма, а потом перемещение за это время. Или воспользуйтесь формулой без времени.

Решение

Дано

$v_0 = 29{,}4$ м/с
$$v = 0$$
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$h$$

Время подъёма: $t = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{29{,}4}{9{,}8} = 3$ с.

Высота: $h = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2} = 29{,}4 \cdot 3 - \dfrac{9{,}8 \cdot 9}{2} = 88{,}2 - 44{,}1 = 44{,}1$ м.

Проверка по формуле без времени: $h = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{29{,}4^2}{2 \cdot 9{,}8} = \dfrac{864{,}36}{19{,}6} = 44{,}1$ м.

Ответ

44,1 м

Средний Задача 4

Жонглёр подбрасывает шарик вертикально вверх со скоростью 4,9 м/с и ловит его на той же высоте. Сколько времени шарик находится в воздухе?

Подсказка

Время спуска до той же высоты равно времени подъёма.

Решение

Дано

$v_0 = 4{,}9$ м/с
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$t_{\text{полн}}$

Время подъёма: $t_1 = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{4{,}9}{9{,}8} = 0{,}5$ с.

Спуск до той же высоты занимает столько же, поэтому $t_{\text{полн}} = 2 t_1 = 1$ с.

Проверка: за 1 с перемещение $s_y = 4{,}9 \cdot 1 - \dfrac{9{,}8 \cdot 1}{2} = 0$ — шарик вернулся в исходную точку.

Ответ

1 с

Сложный Задача 5

Мяч подбросили вертикально вверх, и он поднялся на 19,6 м над точкой броска. С какой скоростью его бросили и через какое время он вернулся в точку броска?

Подсказка

В верхней точке скорость равна нулю. Выразите время подъёма через начальную скорость и подставьте в формулу высоты.

Решение

Дано

$$h = 19{,}6$$ м
$$g = 9{,}8$$ м/с²

Найти

$$v_0$$
$t_{\text{полн}}$

Время подъёма $t_1 = \dfrac{v_0}{g}$ . Подставим в формулу высоты: $h = v_0 t_1 - \dfrac{g t_1^2}{2} = \dfrac{v_0^2}{g} - \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{v_0^2}{2g}$ .

Отсюда $v_0 = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 19{,}6} = \sqrt{384{,}16} = 19{,}6$ м/с.

Подъём длится $t_1 = \dfrac{19{,}6}{9{,}8} = 2$ с, спуск — столько же: $t_{\text{полн}} = 4$ с.

Ответ

19,6 м/с; 4 с

Сложный Задача 6

К пружинным весам подвесили гирю и отпустили весы вместе с гирей — они свободно падают. Что покажут весы во время падения? Изменилась ли при этом сила тяжести, действующая на гирю?

Подсказка

Вес — это сила, с которой гиря тянет пружину. Растянет ли гиря пружину, если обе падают с одинаковым ускорением?

Решение

Весы и гиря падают с одним и тем же ускорением $$g$$ , поэтому гиря не отстаёт от пружины и не тянет её: пружина не растянута, весы показывают ноль. Гиря находится в состоянии невесомости.

Сила тяжести при этом никуда не делась: она по-прежнему равна $$mg$$ и как раз сообщает гире ускорение $$g$$ . Исчез только вес — сила, с которой гиря действовала на подвес.

Ответ

Весы покажут ноль; сила тяжести не изменилась

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Подбросьте монетку или мячик и попросите ребёнка описать, что он видит: сначала быстро, потом медленнее, замер, полетел вниз всё быстрее. Спросите, что тянет мячик вниз на всём пути, — сила тяжести. Отсюда главное: и на подъёме, и на спуске ускорение одно и то же, 9,8 м/с² вниз. Формулы — те же, что для равноускоренного движения, только вместо $$a$$ стоит $$g$$ с минусом, если ось направлена вверх. Для невесомости возьмите пластиковую бутылку, проколите сбоку дырку, налейте воду: пока держите — вода льётся, а если отпустить бутылку, в полёте струйка исчезает: вода и бутылка падают вместе, вода ни на что не давит.

Вопросы для проверки понимания:

Куда направлено ускорение мяча, пока он летит вверх? А в верхней точке?
Мяч бросили вверх со скоростью 9,8 м/с. Через сколько секунд он остановится, а через сколько вернётся в руку?
Действует ли на космонавта на орбите сила тяжести? Почему тогда он невесом?

На что обратить внимание. Самая частая беда — знаки: ребёнок подставляет $$g$$ с плюсом и получает, что мяч на подъёме разгоняется. Пусть каждый раз рисует ось и пишет проекции, прежде чем считать. Второе — не смешивать «скорость равна нулю» и «ускорение равно нулю»: в верхней точке верно только первое.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 14	14