Какие утверждения верны для прямолинейного равномерного движения?

Проекция перемещения численно равна площади под графиком проекции скорости с учётом знака

Векторы скорости и перемещения направлены одинаково

Модуль перемещения всегда равен пути при любом движении

График модуля скорости может лежать ниже оси времени

Перемещение при равномерном движении — 9 класс, физика: теория, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Определение координаты движущегося тела

Коротко о главном

При прямолинейном равномерном движении перемещение равно произведению скорости на время. Для расчётов используют проекцию на ось: $$s_x = v_x t$$ , а если направление не важно — модули: $$s = vt$$ . На графике проекции скорости перемещение — это площадь под графиком, взятая со знаком.

\vec{s} = \vec{v}\,t, \qquad s_x = v_x t

Подробное объяснение

Зачем нужна ещё одна формула

Представьте: вы едете на электросамокате по прямой набережной, скорость на экране держится ровно 18 км/ч. Спрашивают: где вы окажетесь через 10 минут? Чтобы ответить, надо знать перемещение. В прошлых параграфах перемещение всегда было задано. Теперь научимся его вычислять — пока для самого простого движения.

Движение называют прямолинейным равномерным, если тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. Скорость такого движения — постоянный вектор: он не меняется ни по модулю, ни по направлению.

Главная формула

По определению скорость равномерного движения равна отношению перемещения к промежутку времени:

\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}

Отсюда перемещение:

\vec{s} = \vec{v}\,t

Время $$t$$ — число положительное, поэтому вектор $\vec{s}$ направлен туда же, куда и $\vec{v}$ . Это удобно запомнить: куда едешь — туда и переместился.

Смысл величин:

$\vec{s}$ — перемещение, вектор из начальной точки в конечную, измеряется в метрах;
$\vec{v}$ — скорость, вектор, в метрах в секунду (м/с);
$$t$$ — промежуток времени, в секундах.

Если скорость дана в км/ч, а время — в минутах, перед подстановкой переведите всё в одну систему: либо м/с и секунды, либо км/ч и часы.

Проекции: формула для расчёта

Векторы удобно рисовать, но считать с ними неудобно. Поэтому выбирают ось Ox и переходят к проекциям:

\[s_x = v_x t\]

Знак проекции подсказывает направление. Если тело движется по оси, $$v_x > 0$$ и $$s_x > 0$$ . Если против оси — обе проекции отрицательны. Дальше координату находят по знакомой формуле $$x = x_0 + s_x$$ .

Когда направление не важно и нужен только «размер» перемещения, пишут через модули:

\[s = vt\]

Перемещение и путь — не одно и то же

В 7 классе буквой $$s$$ обозначали путь. Здесь $$s$$ — модуль перемещения. Почему можно пользоваться той же формулой? Потому что при движении в одну сторону путь и модуль перемещения совпадают: тело нигде не разворачивалось, и длина траектории равна расстоянию между начальной и конечной точками.

Как только тело повернуло назад или пошло по кривой, путь становится больше модуля перемещения. Съездили в магазин и вернулись — путь равен удвоенной дороге, а перемещение равно нулю.

График скорости и площадь

График зависимости $$v_x$$ от времени при равномерном движении — горизонтальная прямая. Отметим момент $$t_1$$ и посмотрим на прямоугольник между графиком, осью $$t$$ и вертикалью через $$t_1$$ . Его стороны — $$v_x$$ и $$t_1$$ , а площадь равна $$v_x t_1$$ , то есть в точности $$s_x$$ .

График проекции скорости от времени. Две горизонтальные прямые — одна выше оси t, другая ниже. От начала отсчёта до момента t1 области между прямыми и осью закрашены прямоугольниками. Верхний, синий, подписан s1x = v1x t1 больше нуля; нижний, красный, подписан s2x = v2x t1 меньше нуля. — Проекция перемещения численно равна площади прямоугольника под графиком проекции скорости. Площадь над осью t положительна, под осью — отрицательна.

Если график лежит выше оси, площадь считают положительной, если ниже — отрицательной. Так знак проекции перемещения читается прямо с рисунка. Это правило пригодится и для неравномерного движения, когда график перестанет быть прямой.

График модуля скорости ниже оси времени лежать не может: модуль вектора — величина неотрицательная. А график проекции может, и это означает движение против выбранной оси.

Как решать задачи

Нарисуйте ось Ox. Обычно её направляют по движению тела или, если тел несколько, по движению одного из них.
Запишите проекции скоростей с учётом знаков: по оси — плюс, против — минус.
Приведите единицы к одной системе.
Найдите проекцию перемещения: $$s_x = v_x t$$ . Если нужна координата, добавьте её к начальной: $$x = x_0 + s_x$$ .
Проверьте знак и порядок величины: не может пешеход за минуту переместиться на километр.

Разобранные примеры

База

Перемещение пешехода

Условие

Пешеход идёт по прямой аллее равномерно со скоростью 1,5 м/с. Какое перемещение он совершит за 4 мин?

Дано

$$v = 1{,}5$$ м/с
$$t = 4$$ мин $$= 240$$ с

Найти

$$s$$

Решение

Движение в одну сторону, направление не спрашивают — используем модули:

s = vt = 1{,}5 \cdot 240 = 360 \text{ м}

Ответ: 360 м

Средний

Координата при движении против оси

Условие

Автомобиль едет по прямому шоссе равномерно со скоростью 20 м/с в сторону, противоположную оси Ox. В начальный момент его координата 300 м. Найдите координату автомобиля через 25 с и его путь за это время.

Дано

$$v = 20$$ м/с
$$x_0 = 300$$ м
$$t = 25$$ с

Найти

$$x$$
$$l$$

Решение

Автомобиль движется против оси, поэтому $$v_x = -20$$ м/с.

s_x = v_x t = -20 \cdot 25 = -500 \text{ м}

x = x_0 + s_x = 300 - 500 = -200 \text{ м}

Направление не менялось, поэтому путь равен модулю перемещения: $$l = 500$$ м.

Ответ: −200 м; 500 м

Сложный

Путь и перемещение по графику скорости

Условие

Первые 20 с проекция скорости тела на ось Ox была равна 6 м/с, следующие 30 с — равна −2 м/с. Найдите путь тела и проекцию его перемещения за 50 с.

Дано

$v_{1x} = 6$ м/с
$$t_1 = 20$$ с
$v_{2x} = -2$ м/с
$$t_2 = 30$$ с

Найти

$$l$$
$$s_x$$

Решение

На каждом участке движение равномерное, считаем площади под графиком.

Первый участок — прямоугольник над осью:

s_{1x} = v_{1x} t_1 = 6 \cdot 20 = 120 \text{ м}

Второй участок — прямоугольник под осью:

s_{2x} = v_{2x} t_2 = -2 \cdot 30 = -60 \text{ м}

Проекция полного перемещения — сумма с учётом знаков:

s_x = 120 + (-60) = 60 \text{ м}

Путь — сумма длин участков без знаков:

l = 120 + 60 = 180 \text{ м}

Тело ушло на 120 м вперёд, вернулось на 60 м и оказалось в 60 м от старта, пройдя при этом 180 м.

Ответ: путь 180 м; проекция перемещения 60 м

Типичные ошибки

Подставляют модуль скорости вместо проекции

Почему неверно

Тело едет против оси, а в формулу $$s_x = v_x t$$ подставляют положительную скорость. Проекция перемещения выходит положительной, координата растёт, хотя тело движется в сторону уменьшения координаты. Ответ получается с неверным знаком.

Как правильно

Сначала сравните направление скорости с направлением оси. Против оси — ставьте минус: $$v_x = -20$$ м/с. Тогда и $$s_x$$ выйдет отрицательной, и координата уменьшится.

Считают путь равным перемещению, когда тело разворачивалось

Почему неверно

Формула $$s = vt$$ даёт модуль перемещения, равный пути только при движении в одну сторону. Если тело сходило туда и обратно, путь складывается из длин всех участков, а перемещение — из проекций со знаками. Складывая всё без знаков, получают путь и выдают его за перемещение.

Как правильно

Разбейте движение на участки. Для пути сложите длины участков. Для перемещения сложите проекции с учётом знаков или найдите площадь под графиком, считая площадь под осью отрицательной.

Не переводят единицы перед подстановкой

Почему неверно

Скорость 18 км/ч умножают на 10 мин и получают «180» непонятно чего. Километры в час и минуты не сочетаются: результат не имеет смысла.

Как правильно

Переведите всё в СИ: $$18$$ км/ч $$= 5$$ м/с, $$10$$ мин $$= 600$$ с, тогда $s = 5 \cdot 600 = 3000$ м. Или работайте в километрах и часах: $$10$$ мин $= \dfrac{1}{6}$ ч, $s = 18 \cdot \dfrac{1}{6} = 3$ км.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Велосипедист едет по прямой дороге равномерно со скоростью 5 м/с. Какое перемещение он совершит за 40 с?

Подсказка

При равномерном движении модуль перемещения равен произведению скорости на время.

Решение

$s = vt = 5 \cdot 40 = 200$ м.

Ответ

200 м

База Задача 2

Электричка прошла между двумя станциями 36 км за 30 мин, двигаясь прямолинейно и равномерно. Чему равна её скорость в км/ч?

Подсказка

Переведите минуты в часы, затем разделите перемещение на время.

Решение

$$t = 30$$ мин $$= 0{,}5$$ ч.

$v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{36}{0{,}5} = 72$ км/ч.

Ответ

72 км/ч

Средний Задача 3

Лодка движется вдоль оси Ox равномерно, проекция её скорости $$v_x = -3$$ м/с. В начальный момент координата лодки $$x_0 = 50$$ м. Найдите координату лодки через 25 с.

Подсказка

Сначала найдите проекцию перемещения, затем прибавьте её к начальной координате — с учётом знака.

Решение

$s_x = v_x t = -3 \cdot 25 = -75$ м.

$$x = x_0 + s_x = 50 + (-75) = -25$$ м.

Ответ

−25 м

Средний Задача 4

Два пешехода идут навстречу друг другу по прямой дорожке. Скорость первого 1,2 м/с, второго 1,8 м/с, расстояние между ними в начале 90 м. Через сколько секунд они встретятся и какое перемещение к этому моменту совершит первый пешеход?

Подсказка

За каждую секунду расстояние между пешеходами сокращается на сумму их скоростей.

Решение

За 1 с расстояние сокращается на $$1{,}2 + 1{,}8 = 3$$ м, поэтому $t = \dfrac{90}{3} = 30$ с.

Перемещение первого: $s_1 = v_1 t = 1{,}2 \cdot 30 = 36$ м.

Ответ

30 с; 36 м

Сложный Задача 5

Катер 30 с шёл вдоль оси Ox с проекцией скорости $$v_x = 4$$ м/с, а затем 50 с — с проекцией скорости $$v_x = -4$$ м/с. Найдите путь катера и проекцию его перемещения за все 80 с.

Подсказка

Путь складывается из длин обоих участков, а проекции перемещений складываются с учётом знака.

Решение

Первый участок: $s_{1x} = 4 \cdot 30 = 120$ м. Второй: $s_{2x} = -4 \cdot 50 = -200$ м.

Путь: $$l = 120 + 200 = 320$$ м. Проекция перемещения: $$s_x = 120 + (-200) = -80$$ м.

Ответ

путь 320 м; проекция перемещения −80 м

Сложный Задача 6

Два тела движутся равномерно вдоль оси Ox. Графики проекций их скоростей — горизонтальные прямые, одна на уровне +2 м/с, другая на уровне −2 м/с. Что общего у этих движений и чем они отличаются? Одинаковы ли пути тел за одно и то же время? А перемещения?

Решение

Модули скоростей одинаковы — по 2 м/с, поэтому за равное время тела проходят одинаковый путь. Отличаются направления: первое тело движется по оси Ox, второе — против. Проекции перемещений равны по модулю, но противоположны по знаку, а значит, векторы перемещений противоположно направлены и не равны.

Ответ

Пути одинаковы, перемещения равны по модулю, но направлены противоположно

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите линейку и монетку. Двигайте монетку по линейке равномерно: скажем, «одно деление в секунду». Спросите: где она будет через 5 секунд? Через 8? Ребёнок быстро увидит, что перемещение — это скорость, умноженная на время. Потом двиньте монетку назад: «минус одно деление в секунду». Обсудите, что знак минус говорит о направлении, а не о «плохой» скорости. В конце пройдите 6 делений вперёд и 4 назад: путь — 10 делений, перемещение — 2 деления.

Вопросы для проверки понимания: 1. Чем отличается путь от перемещения, если тело сходило туда и обратно? 2. Что означает отрицательная проекция скорости? 3. Почему площадь под графиком скорости равна перемещению?

На что обратить внимание. Главная трудность — знаки. Ребёнок должен каждый раз сознательно выбирать ось и сравнивать с ней направление движения. Вторая трудность — единицы: км/ч и секунды в одной формуле дают бессмыслицу. Попросите ребёнка перед подстановкой чисел проговорить, в каких единицах каждая величина.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 4	4