Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости

Что происходит с машиной на светофоре

Загорелся зелёный, машина трогается. Через секунду её скорость 2 м/с, через две — 4 м/с, через три — 6 м/с. Каждую секунду скорость прибавляет одно и то же: 2 м/с. Это и есть равноускоренное движение, а прибавка за секунду — ускорение, здесь \(a = 2\) м/с².

Дальше рассуждение простое. Если за одну секунду скорость растёт на \(a\), то за \(t\) секунд она вырастет на \(a t\). Прибавляем это к тому, что было в начале, — и получаем скорость в нужный момент.

Формула скорости

В прошлой теме ускорение определяли так:

Умножим обе части на \(t\) и выразим \(v_x\):

Здесь \(v_{0x}\) — проекция начальной скорости (какой она была в момент \(t = 0\)), \(a_x\) — проекция ускорения, \(t\) — время от начала отсчёта, \(v_x\) — проекция скорости в момент \(t\). Скорости измеряют в метрах в секунду, ускорение — в метрах в секунду за секунду (м/с²), время — в секундах.

Если тело трогается с места, то \(v_{0x} = 0\), и формула становится совсем короткой: \(v_x = a_x t\).

Зачем нужны знаки

Обратите внимание: в формуле стоят не модули, а проекции на ось \(X\). Обычно ось направляют туда, куда движется тело, тогда \(v_{0x} > 0\). А вот знак \(a_x\) зависит от того, что происходит со скоростью:

• тело разгоняется — ускорение направлено по скорости, \(a_x > 0\), скорость растёт;
• тело тормозит — ускорение направлено против скорости, \(a_x < 0\), скорость убывает.

Например, поезд идёт со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением 0,5 м/с². Тогда \(a_x = -0{,}5\) м/с², и через 10 с получим \(v_x = 20 - 0{,}5 \cdot 10 = 15\) м/с. Если бы мы забыли про минус, вышло бы 25 м/с — поезд у нас ускорился бы, хотя он тормозит.

График скорости

Формула \(v_x = v_{0x} + a_x t\) — это линейная функция \(y = kx + b\) из алгебры, только вместо \(x\) стоит время \(t\), вместо \(k\) — ускорение \(a_x\), а вместо \(b\) — начальная скорость \(v_{0x}\). График линейной функции — прямая. Значит, и график скорости при равноускоренном движении — прямая линия.

Две вещи на этом графике нужно уметь читать сразу:

1. Где прямая пересекает ось скорости. Это точка \(t = 0\), значит, отсечённый отрезок равен \(v_{0x}\). Если тело стартовало с места, прямая проходит через начало координат.
2. Как прямая наклонена. Наклон — это ускорение. Прямая идёт вверх — \(a_x > 0\), тело разгоняется. Прямая идёт вниз — \(a_x < 0\), тело тормозит. Чем круче прямая, тем ускорение больше. Горизонтальная прямая — ускорение ноль, движение равномерное.

Чтобы найти ускорение по готовому графику, берут две любые точки прямой и делят изменение скорости на прошедшее время: \(a_x = \dfrac{v_{2x} - v_{1x}}{t_2 - t_1}\). Так на графике выше для нижней наклонной прямой: за 4 с скорость выросла на 2 м/с, значит \(a_x = 0{,}5\) м/с². А убывающая прямая доходит до нуля — это момент остановки тела. Если продолжить её ниже оси, проекция скорости станет отрицательной: тело поехало обратно.

Чтобы построить график, достаточно двух точек. Первую всегда даёт условие: при \(t = 0\) скорость равна \(v_{0x}\). Вторую считают по формуле для любого удобного \(t\). Через две точки проводят прямую.

Как решать задачи

1. Направьте ось \(X\) по начальной скорости тела (если тело покоилось — в сторону будущего движения).
2. Запишите проекции: \(v_{0x}\) — обычно с плюсом; \(a_x\) — с плюсом при разгоне и с минусом при торможении.
3. Переведите все величины в СИ: км/ч в м/с (делить на 3,6), минуты в секунды.
4. Запишите \(v_x = v_{0x} + a_x t\) и выразите из неё то, что спрашивают: скорость, ускорение или время.
5. Подставьте числа, посчитайте, проверьте знак и здравый смысл: при торможении скорость должна получиться меньше начальной, время остановки — положительным.
6. Если задача про график — отметьте точку \(v_{0x}\) на оси скорости, посчитайте скорость ещё в один момент времени и проведите прямую.