Проверь себя: Преобразование подобия. Подобие фигур

Подобные многоугольники

Какие две фигуры подобны всегда, при любых размерах?

А)Два прямоугольника
Б)Два ромба
В)Два квадрата
Г)Два пятиугольника

Показать ответ

Ответ: В) Два квадрата

У двух квадратов все углы по $90^\circ$ , а отношение любой пары сторон одно и то же. У прямоугольников могут не совпадать пропорции, у ромбов — углы.

Подобные многоугольники

Многоугольник $$F_1$$ подобен многоугольнику $$F$$ с коэффициентом 3. Периметр $$F$$ равен 7 см. Найдите периметр $$F_1$$ в сантиметрах.

Показать ответ

Ответ: 21

Периметры подобных многоугольников относятся как $$k$$ , $P_1 = 3 \cdot 7 = 21$ см.

Подобные многоугольники

Все стороны многоугольника увеличили в 4 раза, сохранив углы. Во сколько раз увеличилась площадь?

Показать ответ

Ответ: 16

Получился подобный многоугольник с $$k = 4$$ , площади относятся как $$k^2 = 16$$ .

Подобные многоугольники

Многоугольник $$F_1$$ подобен многоугольнику $$F$$ с коэффициентом $$k$$ . Какие утверждения верны?

А)Углы F₁ соответственно равны углам F
Б)Каждая сторона F₁ в k раз больше сходственной стороны F
В)Площадь F₁ в k раз больше площади F
Г)F подобен F₁ с коэффициентом 1/k

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Углы F₁ соответственно равны углам F; Б) Каждая сторона F₁ в k раз больше сходственной стороны F; Г) F подобен F₁ с коэффициентом 1/k

Углы равны, стороны отличаются в $$k$$ раз, а площади — в $$k^2$$ раз. Обратный коэффициент равен $\dfrac{1}{k}$ .

Гомотетия

Каким преобразованием является гомотетия с коэффициентом $$k = -1$$ ?

А)Осевой симметрией
Б)Центральной симметрией относительно центра гомотетии
В)Параллельным переносом
Г)Тождественным преобразованием: все точки остаются на месте

Показать ответ

Ответ: Б) Центральной симметрией относительно центра гомотетии

При $$k = -1$$ точка $$M_1$$ лежит на продолжении луча $$OM$$ за точку $$O$$ и $$OM_1 = OM$$ , то есть $$M_1$$ симметрична $$M$$ относительно $$O$$ .

Гомотетия

Отрезок длиной 6 см подвергли гомотетии с коэффициентом $$k = -0{,}5$$ . Какова длина образа в сантиметрах?

Показать ответ

Ответ: 3

Длина умножается на $$|k|$$ , $0{,}5 \cdot 6 = 3$ см. Знак коэффициента на длину не влияет.

Гомотетия

Какие утверждения верны для гомотетии с коэффициентом $k \ne 1$ ?

А)Прямая, проходящая через центр, переходит в себя
Б)Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую
В)Угол переходит в равный ему угол
Г)Длина любого отрезка не меняется

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Прямая, проходящая через центр, переходит в себя; Б) Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую; В) Угол переходит в равный ему угол

Это свойства гомотетии из п. 134. Длины отрезков умножаются на $$|k|$$ , поэтому при $|k| \ne 1$ они меняются.

Гомотетия

Где лежит образ $$M_1$$ точки $$M$$ при гомотетии с центром $$O$$ и отрицательным коэффициентом?

А)На луче OM
Б)На продолжении луча OM за точку O
В)На перпендикуляре к OM в точке O
Г)В самой точке O

Показать ответ

Ответ: Б) На продолжении луча OM за точку O

При $$k < 0$$ точка $$M_1$$ лежит на продолжении луча $$OM$$ , то есть по другую сторону от центра; при $$k > 0$$ — на самом луче $$OM$$ .

Подобие произвольных фигур

Какая фигура подобна углу в $50^\circ$ ?

А)Угол в 50°
Б)Угол, в k раз больший
В)Треугольник с углом 50°
Г)Любой острый угол

Показать ответ

Ответ: А) Угол в 50°

При гомотетии угол переходит в равный угол, при движении — тоже. Поэтому фигура, подобная углу, — равный ему угол.

Подобие произвольных фигур

Какие пары фигур всегда подобны?

А)Две окружности
Б)Два квадрата
В)Два прямоугольника
Г)Два отрезка

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Две окружности; Б) Два квадрата; Г) Два отрезка

Окружности, квадраты и отрезки отличаются только размером, коэффициент — отношение радиусов, сторон или длин. У прямоугольников может различаться отношение сторон.

Подобие произвольных фигур

Фигура $$F_1$$ подобна фигуре $$F$$ с коэффициентом 2. С каким коэффициентом $$F$$ подобна $$F_1$$ ?

Показать ответ

Ответ: 0,5

Если $F_1 \sim F$ с коэффициентом $$k$$ , то $F \sim F_1$ с коэффициентом $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{2}$ .

Подобие произвольных фигур

Фигура $$F_2$$ подобна $$F_1$$ с коэффициентом 3, а $$F_1$$ подобна $$F$$ с коэффициентом 4. С каким коэффициентом $$F_2$$ подобна $$F$$ ?

Показать ответ

Ответ: 12

Коэффициенты перемножаются, $3 \cdot 4 = 12$ .

Применение подобия фигур к доказательствам и задачам

Хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$ , $$MA = 2$$ , $$MB = 6$$ , $$MC = 3$$ . Найдите $$MD$$ .

Показать ответ

Ответ: 4

$MA \cdot MB = MC \cdot MD$ , $2 \cdot 6 = 3 \cdot MD$ , $$MD = 4$$ .

Применение подобия фигур к доказательствам и задачам

Из точки $$M$$ проведены касательная $$MK$$ и секущая, пересекающая окружность в точках $$A$$ и $$B$$ ( $$A$$ ближе к $$M$$ ). Какое равенство верно?

А) $MK = MA \cdot MB$
Б) $MK^2 = MA \cdot AB$
В) $MK^2 = MA \cdot MB$
Г) $$MK^2 = MA^2 + AB^2$$

Показать ответ

Ответ: В) $MK^2 = MA \cdot MB$

Треугольники $$MKA$$ и $$MBK$$ подобны, отсюда $\dfrac{MK}{MB} = \dfrac{MA}{MK}$ , то есть $MK^2 = MA \cdot MB$ . Берётся вся секущая $$MB$$ , а не хорда $$AB$$ .

Применение подобия фигур к доказательствам и задачам

Какие утверждения доказываются через подобие треугольников с общей вершиной в точке $$M$$ ?

А)Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны
Б)Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей
В)Сумма углов треугольника равна 180°
Г)Произведения отрезков двух секущих из одной точки равны

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны; Б) Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей; Г) Произведения отрезков двух секущих из одной точки равны

Все три теоремы об отрезках получаются из подобия треугольников по двум углам. Сумма углов треугольника доказывается через параллельные прямые.