Проверь себя: Уравнения с двумя переменными и их системы

Уравнение с двумя переменными и его график

Какая пара чисел является решением уравнения $$x + 2y = 7$$ ?

А)(1; 2)
Б)(3; 2)
В)(2; 3)
Г)(7; 1)

Показать ответ

Ответ: Б) (3; 2)

При $$x = 3$$ , $$y = 2$$ получаем $$3 + 4 = 7$$ — верное равенство. У остальных пар сумма равна 5, 8 и 9.

Уравнение с двумя переменными и его график

Какие из уравнений задают окружность?

А)$x^2 + y^2 = 9$
Б)$x^2 + y = 9$
В)$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$
Г)$x^2 + y^2 = -4$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $x^2 + y^2 = 9$; В) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

Окружность — это $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$ с положительной правой частью. $$x^2 + y = 9$$ — парабола, а у $$x^2 + y^2 = -4$$ решений нет вовсе.

Уравнение с двумя переменными и его график

Чему равен радиус окружности $$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 36$$ ?

Показать ответ

Ответ: 6

Справа стоит квадрат радиуса, $$r^2 = 36$$ , поэтому $$r = 6$$ .

Уравнение с двумя переменными и его график

Что является графиком уравнения $$xy = -5$$ ?

А)Прямая
Б)Парабола
В)Гипербола с ветвями во II и IV четвертях
Г)Гипербола с ветвями в I и III четвертях

Показать ответ

Ответ: В) Гипербола с ветвями во II и IV четвертях

Уравнение $$xy = k$$ задаёт гиперболу; при $$k < 0$$ числа $$x$$ и $$y$$ разных знаков, поэтому ветви лежат во II и IV четвертях.

Решение систем уравнений с двумя переменными

Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?

А)Значение x, при котором верно первое уравнение
Б)Пару значений x и y, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы
В)Пару значений, которая подходит хотя бы к одному уравнению
Г)Точку пересечения графика с осью x

Показать ответ

Ответ: Б) Пару значений x и y, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы

Решение системы — пара чисел, подходящая сразу ко всем её уравнениям.

Решение систем уравнений с двумя переменными

Какие пары являются решениями системы $$x + y = 5$$ , $$xy = 4$$ ?

А)(1; 4)
Б)(4; 1)
В)(2; 3)
Г)(−1; −4)

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) (1; 4); Б) (4; 1)

Для $(1;\ 4)$ и $(4;\ 1)$ сумма равна $$5$$ , произведение $$4$$ . У $(2;\ 3)$ произведение $$6$$ , у $(-1;\ -4)$ сумма $$-5$$ .

Решение систем уравнений с двумя переменными

Графики уравнений системы — окружность и прямая, которая её касается. Сколько решений у системы?

А)Ни одного
Б)Одно
В)Два
Г)Бесконечно много

Показать ответ

Ответ: Б) Одно

Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, значит, у системы одно решение.

Решение систем уравнений с двумя переменными

Сколько решений имеет система $$x^2 + y^2 = 25$$ , $$x^2 - y^2 = 7$$ ?

Показать ответ

Ответ: 4

Сложив уравнения, получим $$x^2 = 16$$ , вычтя — $$y^2 = 9$$ . Пары $(\pm 4;\ \pm 3)$ — всего четыре решения.

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Система $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет единственное решение, если…

А)Отношения a₁/a₂ и b₁/b₂ не равны
Б)Все три отношения a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ равны
В)Отношения a₁/a₂ и b₁/b₂ равны, а c₁/c₂ — нет
Г)Свободные члены c₁ и c₂ не равны

Показать ответ

Ответ: А) Отношения a₁/a₂ и b₁/b₂ не равны

Если коэффициенты при переменных не пропорциональны, прямые имеют разный наклон и пересекаются в одной точке.

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Как расположены прямые — графики уравнений системы, которая не имеет решений?

А)Пересекаются
Б)Параллельны
В)Совпадают
Г)Перпендикулярны

Показать ответ

Ответ: Б) Параллельны

Нет решений — нет общих точек у прямых, значит, они параллельны.

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Какие системы имеют бесконечно много решений?

А)Система $x + y = 2$, $2x + 2y = 4$
Б)Система $x - 3y = 1$, $-2x + 6y = -2$
В)Система $x + y = 2$, $x + y = 3$
Г)Система $2x - y = 0$, $x + 2y = 0$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Система $x + y = 2$, $2x + 2y = 4$; Б) Система $x - 3y = 1$, $-2x + 6y = -2$

В первых двух системах второе уравнение получается из первого умножением на $$2$$ и на $$-2$$ ; в третьей прямые параллельны, в четвёртой пересекаются.

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

При каком k система $$kx + 3y = 1$$ , $$4x + 6y = 5$$ не имеет решений?

Показать ответ

Ответ: 2

Нужно $\dfrac{k}{4} = \dfrac{3}{6}$ , отсюда $$k = 2$$ ; при этом $\dfrac{1}{5} \ne \dfrac{1}{2}$ .

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

В задаче ввели две неизвестные x и y. Сколько уравнений нужно составить по условию, чтобы их найти?

А)Одно
Б)Два
В)Три
Г)Столько, сколько чисел в условии

Показать ответ

Ответ: Б) Два

Две неизвестные находят из системы двух уравнений — в условии нужно найти две независимые связи между ними.

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Система для задачи о скорости x км/ч и времени y ч дала пары (6; 4) и (−8; −3). Что верно?

А)Ответ задачи — только пара (6; 4)
Б)Пару (−8; −3) отбрасывают, потому что скорость и время положительны
В)Задача имеет два ответа
Г)Пару (−8; −3) нужно проверить по условию, она тоже может подойти

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Ответ задачи — только пара (6; 4); Б) Пару (−8; −3) отбрасывают, потому что скорость и время положительны

Решение системы — ещё не ответ задачи. Отрицательные скорость и время по смыслу невозможны, поэтому остаётся одна пара.

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Сумма двух чисел равна 10, а их произведение равно 21. Найдите большее из чисел.

Показать ответ

Ответ: 7

Числа — корни уравнения $$t^2 - 10t + 21 = 0$$ , то есть 3 и 7.