Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Колебательный контур — это конденсатор, замкнутый на катушку. Если зарядить конденсатор и соединить его с катушкой, в цепи возникнут электромагнитные колебания: заряд и ток периодически меняются. Период этих колебаний находят по формуле Томсона.
Подробное объяснение
Вспомните качели. Отвели их в сторону и отпустили — они качаются сами, пока трение не погасит движение. Энергия всё время переходит из одной формы в другую: из потенциальной в кинетическую и обратно. В колебательном контуре происходит то же самое, только «качаются» заряд и ток.
Что такое колебательный контур
Колебательный контур — это замкнутая цепь из конденсатора ёмкостью \(C\) и катушки индуктивностью \(L\). В нём могут существовать свободные электромагнитные колебания — те, что идут только за счёт начального запаса энергии.
Как идут колебания
- Сначала конденсатор заряжают от источника. Между его пластинами есть напряжение и электрическое поле — в нём запасена энергия.
- Конденсатор замыкают на катушку. Он начинает разряжаться, по цепи идёт ток. Ток растёт не мгновенно: в катушке возникает ток самоиндукции, который мешает нарастанию.
- Через четверть периода конденсатор разряжен. Заряд и напряжение равны нулю, зато ток наибольший. Энергия электрического поля полностью перешла в энергию магнитного поля катушки.
- Ток начинает уменьшаться, но самоиндукция теперь поддерживает его в прежнем направлении. Заряды продолжают перетекать, и к половине периода конденсатор снова заряжен — но с обратными знаками на пластинах.
- Дальше всё повторяется в обратную сторону. Через целый период \(T\) конденсатор возвращается в начальное состояние.
Катушка здесь играет роль «инерции»: она не даёт току ни мгновенно появиться, ни мгновенно исчезнуть.
Формула Томсона
Английский физик Уильям Томсон в 1853 году получил формулу для периода свободных колебаний в контуре:
- \(T\) — период, в секундах (с);
- \(L\) — индуктивность катушки, в генри (Гн);
- \(C\) — ёмкость конденсатора, в фарадах (Ф).
Частота колебаний \(\nu = \dfrac{1}{T}\) измеряется в герцах (Гц). Чем больше \(L\) и \(C\), тем медленнее колебания. Уменьшили ёмкость или индуктивность — период уменьшился, частота выросла. Так настраивают радиоприёмник: поворот ручки меняет ёмкость конденсатора, и контур настраивается на нужную станцию.
Почему колебания затухают
Провода контура имеют сопротивление. Каждый период часть энергии уходит в теплоту, и амплитуда тока постепенно падает. Чтобы колебания не затухали, контур надо периодически подпитывать энергией от источника. В генераторе радиопередатчика это делается автоматически. Такие генераторы нужны потому, что антенна хорошо излучает электромагнитные волны только при высокой частоте — не меньше 0,1 МГц.
Как решать задачи
- Выпишите \(L\) и \(C\) и переведите в СИ: 1 мГн \(= 10^{-3}\) Гн, 1 мкФ \(= 10^{-6}\) Ф, 1 нФ \(= 10^{-9}\) Ф, 1 пФ \(= 10^{-12}\) Ф.
- Найдите произведение \(LC\) и извлеките корень.
- Умножьте на \(2\pi\) — получится период \(T\). Если нужна частота, найдите \(\nu = 1/T\).
- Если неизвестны \(L\) или \(C\), сначала возведите формулу в квадрат: \(T^2 = 4\pi^2 LC\), а потом выражайте.
- В задачах «во сколько раз» помните: период меняется как корень из изменения \(L\) или \(C\).
Разобранные примеры
Период и частота контура
В контуре катушка индуктивностью 0,2 Гн и конденсатор ёмкостью 20 мкФ. Найдите период и частоту колебаний.
- \(L = 0{,}2\) Гн
- \(C = 20\) мкФ \(= 2 \cdot 10^{-5}\) Ф
- \(T\)
- \(\nu\)
\(LC = 0{,}2 \cdot 2 \cdot 10^{-5} = 4 \cdot 10^{-6}\) с², \(\sqrt{LC} = 2 \cdot 10^{-3}\) с.
\(T = 2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-3} \approx 1{,}26 \cdot 10^{-2}\) с.
\(\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}0126} \approx 80\) Гц.
Когда конденсатор разряжен
Период колебаний в контуре 0,8 мс. В момент \(t = 0\) конденсатор полностью заряжен. Через какое время он впервые разрядится? Через какое время он впервые снова будет полностью заряжен?
- \(T = 0{,}8\) мс
- \(t_1\)
- \(t_2\)
Конденсатор разряжается полностью за четверть периода: \(t_1 = \dfrac{T}{4} = \dfrac{0{,}8}{4} = 0{,}2\) мс.
Снова полностью заряжен (с обратной полярностью) он будет через половину периода: \(t_2 = \dfrac{T}{2} = 0{,}4\) мс.
Настройка приёмника
Катушка приёмника имеет индуктивность 25 мкГн. Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы контур был настроен на частоту 1 МГц?
- \(L = 25\) мкГн \(= 2{,}5 \cdot 10^{-5}\) Гн
- \(\nu = 1\) МГц \(= 10^{6}\) Гц
- \(C\)
Период \(T = \dfrac{1}{\nu} = 10^{-6}\) с.
Из \(T^2 = 4\pi^2 LC\): \(C = \dfrac{T^2}{4\pi^2 L} = \dfrac{10^{-12}}{39{,}48 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-5}} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-9}\) Ф.
Типичные ошибки
Ученик рассуждает: ёмкость выросла в 4 раза — значит, и период вырос в 4 раза. Но в формуле Томсона \(C\) стоит под корнем.
Период меняется в \(\sqrt{4} = 2\) раза. Сначала найдите, во сколько раз изменилось произведение \(LC\), затем извлеките корень.
Если подставить \(C = 4\) вместо \(4 \cdot 10^{-6}\) Ф, ответ получится в тысячи раз больше настоящего.
Перед подстановкой переведите всё в генри и фарады. Приставки: милли — \(10^{-3}\), микро — \(10^{-6}\), нано — \(10^{-9}\), пико — \(10^{-12}\).
Кажется, что раз заряда на пластинах нет, то и двигаться нечему. На самом деле в этот момент вся энергия сосредоточена в магнитном поле катушки.
Когда конденсатор разряжен, ток в контуре максимален. Самоиндукция поддерживает ток, и конденсатор перезаряжается.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Из чего состоит простейший колебательный контур?
Показать ответ
Ответ: Б) Из конденсатора и катушки
В колебательном контуре конденсатор замкнут на катушку — между ними и происходит обмен энергией.
-
Конденсатор в контуре полностью разрядился. Что происходит с током в этот момент?
Показать ответ
Ответ: Б) Ток максимален
Вся энергия электрического поля конденсатора перешла в энергию магнитного поля катушки, поэтому сила тока наибольшая.
-
Какие изменения уменьшат период колебаний в контуре?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Уменьшить ёмкость конденсатора; В) Уменьшить индуктивность катушки
По формуле Томсона \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) период уменьшается, когда уменьшается \(L\) или \(C\).
-
Ёмкость конденсатора контура уменьшили в 4 раза. Во сколько раз увеличилась частота колебаний?
Показать ответ
Ответ: 2
Период пропорционален \(\sqrt{C}\), он уменьшился в \(\sqrt{4} = 2\) раза, значит частота выросла в 2 раза.
-
Почему свободные колебания в реальном контуре постепенно затухают?
Показать ответ
Ответ: Б) Энергия уходит на нагревание проводов
У проводов есть сопротивление, и часть энергии каждый период превращается в теплоту, поэтому амплитуда уменьшается.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,25 Гн и конденсатора ёмкостью 4 мкФ. Найдите период свободных колебаний в контуре.
Подсказка
Переведите микрофарады в фарады и подставьте в формулу Томсона.
Решение
- \(L = 0{,}25\) Гн
- \(C = 4\) мкФ \(= 4 \cdot 10^{-6}\) Ф
- \(T\)
\(LC = 0{,}25 \cdot 4 \cdot 10^{-6} = 10^{-6}\) с², \(\sqrt{LC} = 10^{-3}\) с.
\(T = 2\pi\sqrt{LC} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-3} \approx 6{,}3 \cdot 10^{-3}\) с \(= 6{,}3\) мс.
Ответ
Период колебаний в контуре равен 5 мкс. Какова частота этих колебаний?
Решение
- \(T = 5\) мкс \(= 5 \cdot 10^{-6}\) с
- \(\nu\)
\(\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{5 \cdot 10^{-6}} = 2 \cdot 10^{5}\) Гц \(= 200\) кГц.
Ответ
Ёмкость конденсатора в колебательном контуре увеличили в 9 раз, катушку оставили прежней. Во сколько раз изменился период колебаний?
Подсказка
Период пропорционален корню из ёмкости.
Решение
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2\pi\sqrt{L \cdot 9C}}{2\pi\sqrt{LC}} = \sqrt{9} = 3\).
Период увеличился в 3 раза.
Ответ
Контур содержит катушку индуктивностью 10 мГн и конденсатор ёмкостью 100 пФ. На какую частоту настроен контур? Ответ дайте в килогерцах.
Подсказка
1 пФ = 10⁻¹² Ф. Сначала найдите период, затем частоту.
Решение
- \(L = 10\) мГн \(= 10^{-2}\) Гн
- \(C = 100\) пФ \(= 10^{-10}\) Ф
- \(\nu\)
\(\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-2} \cdot 10^{-10}} = 10^{-6}\) с.
\(T = 2\pi \cdot 10^{-6} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-6}\) с.
\(\nu = \dfrac{1}{T} \approx 1{,}59 \cdot 10^{5}\) Гц \(\approx 159\) кГц.
Ответ
Какой ёмкости конденсатор нужно подключить к катушке индуктивностью 0,5 Гн, чтобы период колебаний в контуре был 1 мс? Ответ дайте в нанофарадах.
Подсказка
Возведите формулу Томсона в квадрат и выразите C.
Решение
- \(L = 0{,}5\) Гн
- \(T = 1\) мс \(= 10^{-3}\) с
- \(C\)
Из \(T = 2\pi\sqrt{LC}\) получаем \(T^2 = 4\pi^2 LC\), откуда \(C = \dfrac{T^2}{4\pi^2 L}\).
\(C = \dfrac{10^{-6}}{4 \cdot 9{,}87 \cdot 0{,}5} = \dfrac{10^{-6}}{19{,}74} \approx 5{,}1 \cdot 10^{-8}\) Ф \(\approx 51\) нФ.
Ответ
Индуктивность катушки контура увеличили в 2 раза, а ёмкость конденсатора уменьшили в 8 раз. Как изменилась частота колебаний?
Подсказка
Частота обратно пропорциональна корню из произведения LC.
Решение
Новое произведение: \(L_2C_2 = 2L \cdot \dfrac{C}{8} = \dfrac{LC}{4}\).
Период \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{LC}{4}} = \dfrac{T_1}{2}\) — уменьшился в 2 раза.
Частота \(\nu = 1/T\) поэтому увеличилась в 2 раза.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Подвесьте груз на нитке и толкните — это маятник. Скажите: в колебательном контуре конденсатор похож на отведённый груз (запас энергии), а катушка — на его инерцию, которая «проносит» груз через нижнюю точку. Энергия перетекает туда и обратно, пока трение (у контура — нагрев проводов) её не съест. Период зависит от \(L\) и \(C\): чем они больше, тем медленнее колебания.
Вопросы для проверки понимания:
- Где запасена энергия, когда конденсатор полностью заряжен, а где — когда он разряжен?
- Как изменится период, если ёмкость конденсатора увеличить в 4 раза?
- Почему колебания в реальном контуре затухают?
На что обратить внимание. Ребёнок должен помнить, что \(L\) и \(C\) стоят под корнем, и уверенно переводить приставки милли-, микро-, нано- и пико- в степени десяти.