Плот плывёт по реке. Чему равна его скорость относительно воды?

Скорости течения

Удвоенной скорости течения

Зависит от ширины реки

В какой системе мира Солнце считается центром, вокруг которого обращаются планеты?

В гелиоцентрической системе Коперника

В геоцентрической системе Птолемея

Относительность движения — 9 класс, физика: объяснение и задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Скорость, траектория и путь тела зависят от того, относительно чего мы их измеряем, — от системы отсчёта. Одно и то же движение в разных системах отсчёта выглядит по-разному. Если известно, как тело движется относительно подвижной системы (например, вагона) и как сама эта система движется относительно неподвижной (земли), скорости складываются как векторы:

\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2

Здесь $\vec{v}_1$ — скорость тела относительно подвижной системы отсчёта, $\vec{v}_2$ — скорость подвижной системы относительно неподвижной, $\vec{v}$ — скорость тела относительно неподвижной системы.

Подробное объяснение

С какой скоростью вы сейчас движетесь

Вы сидите в кресле электрички и читаете. Относительно вагона ваша скорость равна нулю. Относительно платформы, мимо которой идёт поезд, — 20 м/с. А относительно центра Земли вы вместе с вагоном, платформой и целым городом несётесь со скоростью несколько сотен метров в секунду из-за суточного вращения планеты. Какой из ответов «правильный»? Все три. Просто каждый дан в своей системе отсчёта.

Система отсчёта — это тело, относительно которого мы наблюдаем движение, плюс связанные с ним система координат и часы. Пока мы не назвали тело отсчёта, вопрос «с какой скоростью движется тело?» не имеет смысла.

Что именно относительно

Скорость. Проводник идёт по вагону против хода поезда со скоростью 1 м/с. Поезд идёт со скоростью 20 м/с. За одну секунду вагон уносит проводника на 20 м вперёд, а сам он отходит на 1 м назад — итого относительно земли он сместился на 19 м вперёд. Относительно вагона проводник движется назад со скоростью 1 м/с, относительно земли — вперёд со скоростью 19 м/с. Разным оказалось и число, и направление.

Траектория. Точка на лопасти винта вертолёта, который вертикально садится, относительно вертолёта описывает окружность. Относительно земли та же точка движется по винтовой линии — окружность растягивается в спираль. Форма траектории зависит от системы отсчёта.

Путь. Пассажир, спящий в поезде, относительно вагона не сдвинулся ни на метр — его путь равен нулю. Относительно земли он проехал 300 км. Раз путь — это длина траектории, а траектории разные, то и путь разный.

Итак, относительность движения проявляется в том, что скорость, траектория, путь и некоторые другие характеристики движения различны в разных системах отсчёта.

Как складываются скорости

Пусть тело движется относительно подвижной системы отсчёта (вагона, воды, эскалатора) со скоростью $\vec{v}_1$ , а сама подвижная система движется относительно неподвижной (земли, берега) со скоростью $\vec{v}_2$ . Тогда скорость тела относительно неподвижной системы

\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2.

Это векторная сумма. В школьных задачах чаще всего скорости направлены вдоль одной прямой, и тогда всё просто:

скорости сонаправлены — модули складываются: лодка по течению, человек по ходу поезда;
скорости противоположны — из большего модуля вычитается меньший, направление совпадает с направлением большей скорости: лодка против течения, человек против хода поезда.

Лодка на реке, течение вправо. По течению: скорость лодки относительно воды 5 м/с и течения 2 м/с складываются — 7 м/с относительно берега. Против течения: 5 − 2 = 3 м/с. — Скорость лодки относительно берега — сумма её скорости относительно воды и скорости течения. По течению модули складываются, против течения — вычитаются, а направление совпадает с большей скоростью.

Если скорости перпендикулярны (лодка переправляется поперёк реки, дождь и идущий поезд), модуль суммы находят по теореме Пифагора: $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ .

Единицы измерения обычные — метры в секунду; километры в час перед расчётом переводят в СИ: $$1$$ км/ч $= \dfrac{1000}{3600}$ м/с, то есть делят на 3,6.

Земля в центре или Солнце

Идея относительности движения изменила представления о Вселенной. Из окна видно, что Солнце и звёзды за сутки описывают дуги по небу с востока на запад. Проще всего решить, что Земля неподвижна, а всё небо вращается вокруг неё, — это геоцентрическая система мира, которую во II веке подробно разработал Клавдий Птолемей. Она неплохо предсказывала затмения, но с ростом точности наблюдений расхождения между расчётом и реальностью пришлось «латать» всё более сложными поправками.

В XVI веке Николай Коперник предложил гелиоцентрическую систему: в центре — Солнце, планеты обращаются вокруг него и одновременно вращаются вокруг своих осей. Суточное движение Солнца и звёзд при этом — всего лишь результат вращения Земли с запада на восток: наблюдатель на поверхности вращается вместе с планетой, не чувствует этого и видит, как Солнце «поднимается» утром на востоке и «уходит» вечером за горизонт на западе. Время одного оборота Земли называется сутками.

Обе системы описывают одни и те же наблюдения, просто в разных телах отсчёта. Но гелиоцентрическая оказалась гораздо проще и удобнее и в итоге позволила открыть законы, объясняющие движение тел в Солнечной системе.

Как решать задачи

Выпишите все скорости из условия и для каждой запишите, относительно чего она дана: «лодка относительно воды», «вода относительно берега».
Определите, какую скорость требуется найти и относительно какой системы отсчёта.
Переведите все скорости в одни единицы, лучше в м/с.
Нарисуйте стрелки скоростей и сложите их как векторы. Вдоль одной прямой — складывайте или вычитайте модули, при перпендикулярных скоростях — теорема Пифагора.
Если нужны путь или время, считайте их в той системе отсчёта, о которой спрашивают: путь — это скорость относительно этой системы, умноженная на время.
Проверьте направление ответа: если вычитали, ответ направлен туда же, куда большая из скоростей.

Разобранные примеры

База

Пассажир на движущейся дорожке

Условие

В аэропорту дорожка-траволатор движется со скоростью 0,8 м/с. Пассажир идёт по ней со скоростью 1,2 м/с относительно ленты. С какой скоростью относительно пола аэропорта он движется, если идёт по ходу ленты? А если ошибся и пошёл против её хода?

Дано

$v_1 = 1{,}2$ м/с
$v_2 = 0{,}8$ м/с

Найти

$$v$$ в обоих случаях

Решение

По ходу ленты скорости сонаправлены: $v = v_1 + v_2 = 1{,}2 + 0{,}8 = 2$ м/с.

Против хода ленты скорости противоположны, пассажир быстрее ленты: $v = v_1 - v_2 = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4$ м/с, направление — туда, куда идёт пассажир.

Ответ: 2 м/с по ходу ленты; 0,4 м/с против хода ленты

Средний

Два автомобиля навстречу

Условие

По прямому шоссе навстречу друг другу едут автомобили со скоростями 72 км/ч и 90 км/ч. Расстояние между ними 900 м. С какой скоростью второй автомобиль приближается к первому с точки зрения водителя первого? Через какое время они поравняются?

Дано

$$v_1 = 72$$ км/ч $$= 20$$ м/с
$$v_2 = 90$$ км/ч $$= 25$$ м/с
$$s = 900$$ м

Найти

$$v$$
$$t$$

Решение

Перейдём в систему отсчёта первого автомобиля. В ней он неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью, равной сумме модулей (машины едут навстречу): $$v = v_1 + v_2 = 20 + 25 = 45$$ м/с.

В этой системе отсчёта второму автомобилю нужно преодолеть все 900 м:

t = \frac{s}{v} = \frac{900}{45} = 20 \text{ с}.

Проверка: за 20 с первый автомобиль проедет 400 м, второй — 500 м, вместе 900 м.

Ответ: 45 м/с; через 20 с

Сложный

Переправа через реку

Условие

Лодка переправляется через реку шириной 120 м, держа нос перпендикулярно берегу. Скорость лодки относительно воды 2 м/с, скорость течения 1,5 м/с. С какой скоростью лодка движется относительно берега? На сколько метров её снесёт течением за время переправы?

Дано

$$d = 120$$ м
$$v_1 = 2$$ м/с (поперёк реки)
$v_2 = 1{,}5$ м/с (вдоль берега)

Найти

$$v$$
$$x$$

Решение

Скорости перпендикулярны, поэтому модуль скорости относительно берега

v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{4 + 2{,}25} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \text{ м/с}.

Поперёк реки лодку двигает только её собственная скорость $$v_1$$ , течение поперёк не действует. Время переправы $t = \dfrac{d}{v_1} = \dfrac{120}{2} = 60$ с.

За это время вдоль берега лодку сносит течение: $x = v_2 t = 1{,}5 \cdot 60 = 90$ м.

Заметьте: относительно воды лодка прошла 120 м, а относительно берега — $2{,}5 \cdot 60 = 150$ м. Путь тоже оказался относительным.

Ответ: 2,5 м/с; снесёт на 90 м

Типичные ошибки

Складывают скорости, не глядя на направления

Почему неверно

Скорость — вектор. Если пловец плывёт против течения со скоростью 1,5 м/с при течении 0,5 м/с, его скорость относительно берега не 2 м/с, а 1 м/с. Механическое сложение чисел даёт правильный результат только тогда, когда скорости направлены в одну сторону.

Как правильно

Нарисуйте стрелки. Сонаправленные — складывайте, противоположные — вычитайте, перпендикулярные — теорема Пифагора. Ответ всегда сопровождайте направлением.

Ищут «настоящую» скорость среди нескольких

Почему неверно

Ученики часто считают, что скорость относительно земли «правильная», а относительно вагона — «ненастоящая». На самом деле обе одинаково реальны: для пассажира, который переливает чай, важна именно скорость относительно вагона, для диспетчера — относительно земли. Вопрос «какая скорость на самом деле» без указания системы отсчёта бессмыслен.

Как правильно

В каждой задаче сначала находите, относительно чего дана скорость и относительно чего её спрашивают. Именно эту пару и связывает правило сложения скоростей.

Путают, относительно чего считают путь

Почему неверно

Если человек 30 с идёт по вагону против хода поезда со скоростью 1 м/с, его путь относительно вагона — 30 м, но относительно земли — не 30 м и не нуль, а $(20 - 1) \cdot 30 = 570$ м при скорости поезда 20 м/с. Путь, как и скорость, зависит от системы отсчёта, и подставлять в формулу $$l = vt$$ нужно скорость относительно той же системы, в которой ищут путь.

Как правильно

Перед расчётом пути спросите себя: «относительно чего?» — и возьмите скорость тела именно относительно этого тела отсчёта.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Эскалатор метро поднимается со скоростью 0,75 м/с. Пассажир идёт по нему вверх со скоростью 0,5 м/с относительно ступеней. С какой скоростью пассажир движется относительно стен станции?

Подсказка

Скорости направлены в одну сторону — их модули складываются.

Решение

Дано

$v_1 = 0{,}5$ м/с (пассажир относительно эскалатора)
$v_2 = 0{,}75$ м/с (эскалатор относительно станции)

Найти

$$v$$

Обе скорости направлены вверх, поэтому скорость пассажира относительно станции равна их сумме: $v = v_1 + v_2 = 0{,}5 + 0{,}75 = 1{,}25$ м/с.

Ответ

1,25 м/с

База Задача 2

Моторная лодка движется относительно воды со скоростью 5 м/с. Скорость течения реки 2 м/с. Найдите скорость лодки относительно берега, когда она идёт по течению и когда — против течения.

Подсказка

По течению скорости складываются, против течения — вычитаются.

Решение

Дано

$$v_1 = 5$$ м/с (лодка относительно воды)
$$v_2 = 2$$ м/с (течение относительно берега)

Найти

$v_{\text{по}}$
$v_{\text{пр}}$

По течению обе скорости направлены в одну сторону: $v_{\text{по}} = v_1 + v_2 = 5 + 2 = 7$ м/с.

Против течения они направлены навстречу: $v_{\text{пр}} = v_1 - v_2 = 5 - 2 = 3$ м/с.

Ответ

7 м/с по течению, 3 м/с против течения

Средний Задача 3

Два поезда идут навстречу друг другу по параллельным путям со скоростями 20 м/с и 15 м/с. Длина второго поезда 350 м. Сколько времени второй поезд будет проезжать мимо пассажира, сидящего у окна первого поезда?

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта первого поезда и найдите, с какой скоростью в ней движется второй.

Решение

Дано

$$v_1 = 20$$ м/с
$$v_2 = 15$$ м/с
$$l = 350$$ м

Найти

$$t$$

В системе отсчёта первого поезда пассажир неподвижен, а встречный поезд приближается со скоростью, равной сумме модулей: $$v = v_1 + v_2 = 20 + 15 = 35$$ м/с.

Чтобы весь второй поезд прошёл мимо пассажира, ему нужно переместиться на свою длину: $t = \dfrac{l}{v} = \dfrac{350}{35} = 10$ с.

Ответ

10 с

Средний Задача 4

Пассажир равномерно движущегося поезда уронил телефон. Какова траектория телефона относительно вагона? Относительно платформы, мимо которой проходит поезд? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Подсказка

Относительно вагона у телефона нет горизонтальной скорости, относительно платформы — есть.

Решение

Относительно вагона телефон в момент отпускания покоится, а затем падает под действием силы тяжести — его траектория в системе отсчёта вагона — вертикальный отрезок прямой.

Относительно платформы телефон в момент отпускания уже имеет горизонтальную скорость, равную скорости поезда, и сохраняет её во время падения, одновременно набирая скорость вниз. Поэтому траектория в системе отсчёта платформы — кривая (ветвь параболы), наклонённая по ходу поезда.

Траектория одного и того же движения в разных системах отсчёта различна — в этом проявляется относительность движения.

Ответ

относительно вагона — вертикальная прямая, относительно платформы — кривая (парабола)

Сложный Задача 5

Катер, скорость которого относительно воды 6 м/с, проходит по реке от пристани до посёлка, расположенного в 1,2 км ниже по течению, и сразу возвращается. Скорость течения 2 м/с. Сколько времени займёт весь рейс? На сколько он дольше рейса по озеру с той же длиной пути?

Подсказка

Скорость относительно берега разная в ту и другую сторону, поэтому время туда и обратно считайте отдельно.

Решение

Дано

$$v_1 = 6$$ м/с
$$v_2 = 2$$ м/с
$$s = 1{,}2$$ км $$= 1200$$ м

Найти

$$t$$
$\Delta t$

По течению скорость относительно берега $$v_1 + v_2 = 8$$ м/с, время $t_{\text{по}} = \dfrac{1200}{8} = 150$ с.

Против течения $$v_1 - v_2 = 4$$ м/с, время $t_{\text{пр}} = \dfrac{1200}{4} = 300$ с.

Весь рейс: $$t = 150 + 300 = 450$$ с $$= 7{,}5$$ мин.

По озеру (стоячая вода) катер идёт со скоростью 6 м/с в обе стороны: $t_0 = \dfrac{2 \cdot 1200}{6} = 400$ с. Разница $\Delta t = 450 - 400 = 50$ с.

Течение не «компенсируется»: против него катер идёт медленнее дольше, чем быстрее — по течению.

Ответ

450 с (7,5 мин); на 50 с дольше

Сложный Задача 6

В безветренную погоду капли дождя падают вертикально со скоростью 6 м/с. Поезд идёт со скоростью 8 м/с. С какой скоростью капли движутся относительно пассажира поезда? Под каким углом к вертикали расположены следы капель на боковом стекле вагона?

Подсказка

Относительно поезда капля, кроме вертикальной скорости, имеет горизонтальную, равную по модулю скорости поезда и направленную назад. Сложите их по правилу прямоугольного треугольника.

Решение

Дано

$$v_1 = 6$$ м/с (капля относительно земли
вниз)
$$v_2 = 8$$ м/с (поезд относительно земли)

Найти

$$v$$
угол $\alpha$ с вертикалью

Относительно поезда капля движется вниз со скоростью 6 м/с и одновременно назад (навстречу ходу поезда) со скоростью 8 м/с. Эти скорости перпендикулярны, поэтому модуль результирующей скорости находим по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ м/с.

Угол с вертикалью: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{8}{6} \approx 1{,}33$ , откуда $\alpha \approx 53^\circ$ . Именно под таким углом вытянуты следы капель на стекле.

Ответ

10 м/с; около 53° к вертикали

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и положите на него монетку. Медленно тяните лист по столу, а монетку в это время сдвигайте пальцем по листу в противоположную сторону. Спросите: куда движется монетка относительно листа? А относительно стола? Пусть ребёнок сам заметит, что ответы разные, а «настоящего» из них нет. Потом сдвигайте монетку в ту же сторону, куда тянете лист, — относительно стола она поедет быстрее. Это и есть сложение скоростей. Для разговора о Копернике достаточно вспомнить поезд на соседнем пути: когда он трогается, часто кажется, что поехали вы, — так же людям казалось, что Солнце ходит вокруг Земли.

Вопросы для проверки понимания: 1. Ты сидишь в автобусе: какая у тебя скорость относительно кресла и относительно остановки? 2. Лодка плывёт по течению со скоростью 3 м/с относительно воды, течение 1 м/с — какая скорость относительно берега? А против течения? 3. Почему нам кажется, что Солнце движется по небу, если на самом деле вращается Земля?

На что обратить внимание. Главный признак понимания — ребёнок, называя скорость, добавляет «относительно чего». Если он утверждает, что у неподвижного пассажира скорость «нулевая и всё», попросите посмотреть на него «с платформы». Вторая частая проблема — вычитание: при движении против течения ребёнок должен вычитать меньшую скорость из большей и направлять ответ в сторону большей скорости.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 9	9