Какие утверждения верны?

Величина угла в 1 радиан не зависит от радиуса окружности

Прямой угол равен π/2 рад

Длина дуги равна произведению радиуса на радианную меру дуги

Угол в 1 радиан больше угла в 60°

Радианная мера угла — 9 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Длина окружности

Коротко о главном

Угол в 1 радиан — центральный угол, который опирается на дугу длиной в радиус. Развёрнутый угол равен $\pi$ радиан, отсюда правила перевода и формула длины дуги:

180^\circ = \pi \text{ рад}, \qquad \varphi = \frac{\pi}{180}\,\alpha, \qquad \alpha = \frac{180}{\pi}\,\varphi, \qquad l = R\varphi

Подробное объяснение

Расстояние можно мерить в метрах или в вёрстах, массу — в килограммах или в фунтах. С углами так же: кроме привычных градусов есть ещё одна единица — радиан. Она удобна тем, что связана с самой окружностью, а не с договорённостью «делить круг на 360 частей».

Что такое радиан

Отложим на окружности радиуса $$R$$ дугу $$AB$$ , длина которой равна радиусу. По формуле длины дуги $l = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha$ при $$l = R$$ получаем $R = \dfrac{\pi R}{180} \cdot \alpha$ , откуда

\alpha = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ17'44''.

Окружность с центром O радиуса R. Дуга AB выделена цветом, её длина равна радиусу R. Центральный угол AOB отмечен и подписан «1 рад», это около 57°. — Центральный угол, опирающийся на дугу длиной в радиус, равен 1 радиану, около 57°17′44″.

Радиус сократился — значит, градусная мера такой дуги одна и та же для любой окружности. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, тоже около 57°. Его и берут за единицу измерения: это угол в 1 радиан, или просто радиан.

Радианная мера угла — число $\varphi$ , которое показывает, сколько раз радиан и его части укладываются в этом угле. Пишут: $\varphi$ рад. Слово «рад» часто опускают: «угол $\dfrac{\pi}{3}$ » означает $\dfrac{\pi}{3}$ радиан.

Перевод градусов в радианы и обратно

Ключевое равенство: развёрнутому углу 180° соответствует $\pi$ радиан. Отсюда:

1° $= \dfrac{\pi}{180}$ рад, поэтому угол в $\alpha^\circ$ равен $\dfrac{\pi}{180}\,\alpha$ рад;
1 рад $= \dfrac{180^\circ}{\pi}$ , поэтому угол в $\varphi$ рад равен $\dfrac{180^\circ}{\pi}\,\varphi$ .

Удобно помнить несколько значений: $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ , $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ , $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ , $180^\circ = \pi$ . Перевести «красивую» радианную меру в градусы проще всего так: заменить $\pi$ на 180°. Например, $\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ$ .

Угол в геометрии не больше 180°, поэтому его радианная мера не больше $\pi$ . А дуга может быть и больше полуокружности: дуга в 240° имеет радианную меру $\dfrac{\pi}{180} \cdot 240 = \dfrac{4\pi}{3}$ , а вся окружность — $2\pi$ .

Длина дуги в радианах

Радианной мере $\varphi$ соответствует градусная мера $\dfrac{180}{\pi}\,\varphi$ . Подставим её в формулу длины дуги:

l = \frac{\pi R}{180} \cdot \frac{180}{\pi}\,\varphi = R\varphi.

Формула стала совсем простой: длина дуги равна радиусу, умноженному на радианную меру. Отсюда и смысл радиана: $\varphi = \dfrac{l}{R}$ — сколько радиусов уложится вдоль дуги. Для всей окружности $\varphi = 2\pi$ и $l = 2\pi R$ , как и должно быть.

Радианы особенно удобны в тригонометрии и физике. Например, для очень малых углов (меньше 0,01 рад) можно считать $\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi \approx \varphi$ .

Как решать задачи

Градусы в радианы — умножьте на $\dfrac{\pi}{180}$ и сократите дробь.
Радианы в градусы — умножьте на $\dfrac{180^\circ}{\pi}$ ; если в записи есть $\pi$ , просто замените его на 180°.
Длина дуги по радианной мере — $l = R\varphi$ ; радианная мера по длине дуги — $\varphi = \dfrac{l}{R}$ .
Ответ в радианах обычно оставляют с $\pi$ ( $\dfrac{\pi}{4}$ ), а приближённо пишут со знаком $\approx$ .

Разобранные примеры

База

Перевод градусов в радианы

Условие

Выразите в радианах углы 36° и 150°.

Дано

$\alpha_1 = 36^\circ$
$\alpha_2 = 150^\circ$

Найти

$\varphi_1$
$\varphi_2$

Решение

$\varphi_1 = \dfrac{\pi}{180} \cdot 36 = \dfrac{\pi}{5}$ рад.

$\varphi_2 = \dfrac{\pi}{180} \cdot 150 = \dfrac{5\pi}{6}$ рад.

Ответ: π/5 рад и 5π/6 рад

Средний

Радианы в градусы

Условие

Выразите в градусах углы $\dfrac{7\pi}{12}$ рад и 2 рад (второй — с точностью до градуса).

Дано

$\varphi_1 = \dfrac{7\pi}{12}$
$\varphi_2 = 2$

Найти

$\alpha_1$
$\alpha_2$

Решение

В первом угле заменяем $\pi$ на 180°: $\dfrac{7 \cdot 180^\circ}{12} = 105^\circ$ .
Во втором $\pi$ нет, поэтому умножаем на $\dfrac{180^\circ}{\pi}$ и получаем $2 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{360^\circ}{\pi} \approx 114{,}6^\circ$ , то есть около 115°.

Ответ: 105° и около 115°

Сложный

Длина дуги и радиус

Условие

Колесо радиусом 30 см повернулось на угол $\dfrac{3\pi}{2}$ рад. Какой путь прошла точка обода? На какой угол в радианах нужно повернуть колесо радиусом 20 см, чтобы точка его обода прошла такой же путь?

Дано

$$R_1 = 30$$ см
$\varphi_1 = \dfrac{3\pi}{2}$
$$R_2 = 20$$ см

Найти

$$l$$
$\varphi_2$

Решение

Точка обода движется по дуге: $l = R_1\varphi_1 = 30 \cdot \dfrac{3\pi}{2} = 45\pi \approx 141{,}4$ см.
Для второго колеса $\varphi_2 = \dfrac{l}{R_2} = \dfrac{45\pi}{20} = \dfrac{9\pi}{4}$ рад — больше полного оборота $2\pi$ , это оборот и ещё четверть.

Ответ: 45π см ≈ 141,4 см; 9π/4 рад

Типичные ошибки

Думают, что π — это 180

Почему неверно

$\pi \approx 3{,}14$ — число. Равенство « $\pi = 180^\circ$ » — сокращённая запись « $\pi$ радиан = 180°». Если в формулу длины дуги $l = R\varphi$ вместо $\varphi = \pi$ подставить 180, получится огромный неверный ответ.

Как правильно

Заменять $\pi$ на 180° можно только при переводе радианной меры в градусы. В вычислениях длин $\pi \approx 3{,}14$ .

Подставляют в l = Rφ градусы

Почему неверно

Формула $l = R\varphi$ верна только для радианной меры. Для дуги в 60° радиуса 3 см « $l = 3 \cdot 60 = 180$ см» — бессмыслица: дуга длиннее всей окружности.

Как правильно

Сначала переведите угол в радианы: $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ , затем $l = 3 \cdot \dfrac{\pi}{3} = \pi \approx 3{,}14$ см. Или пользуйтесь градусной формулой $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180}$ .

Путают направление перевода

Почему неверно

Множители $\dfrac{\pi}{180}$ и $\dfrac{180}{\pi}$ легко перепутать. Тогда 90° превращается в $\dfrac{180 \cdot 90}{\pi} \approx 5157$ «радиан» — больше, чем десятки оборотов.

Как правильно

Проверяйте порядок величины: радианная мера угла не больше $\pi \approx 3{,}14$ , а 1 рад — около 57°. Из градусов в радианы число уменьшается, из радиан в градусы — растёт.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выразите в радианах угол 45°.

Подсказка

Углу в 180° соответствует $\pi$ радиан.

Решение

$\varphi = \dfrac{\pi}{180} \cdot 45 = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ рад.

Ответ

π/4 рад ≈ 0,785 рад

База Задача 2

Выразите в градусах угол $\dfrac{2\pi}{3}$ рад.

Подсказка

Замените $\pi$ на 180°.

Решение

$\dfrac{2\pi}{3}$ рад $= \dfrac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ$ .

Ответ

120°

Средний Задача 3

Радиус окружности 6 см, радианная мера дуги 1,5 рад. Найдите длину дуги.

Подсказка

Длина дуги равна радиусу, умноженному на радианную меру, $l = R\varphi$ .

Решение

$l = R\varphi = 6 \cdot 1{,}5 = 9$ см.

Ответ

9 см

Средний Задача 4

Дуга окружности радиуса 4 см имеет длину 10 см. Найдите радианную и градусную меру этой дуги (градусы — с точностью до десятых).

Подсказка

Из $l = R\varphi$ найдите $\varphi$ , потом умножьте на $\dfrac{180^\circ}{\pi}$ .

Решение

$\varphi = \dfrac{l}{R} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ рад.

$\alpha = \dfrac{180^\circ}{\pi} \cdot 2{,}5 = \dfrac{450^\circ}{\pi} \approx 143{,}2^\circ$ .

Ответ

2,5 рад ≈ 143,2°

Сложный Задача 5

Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите их радианные меры.

Подсказка

Сумма углов треугольника — 180°, то есть $\pi$ радиан.

Решение

Пусть углы равны $$x$$ , $$2x$$ , $$3x$$ радиан. Сумма углов треугольника $\pi$ рад, поэтому $6x = \pi$ , $x = \dfrac{\pi}{6}$ .

Углы: $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{3}$ , $\dfrac{\pi}{2}$ рад (это 30°, 60°, 90°).

Ответ

π/6, π/3, π/2 рад

Сложный Задача 6

Минутная стрелка часов имеет длину 12 см. На какой угол в радианах она поворачивается за 20 минут и какой путь проходит за это время её конец?

Подсказка

За 60 минут стрелка делает полный оборот — $2\pi$ радиан.

Решение

За 20 минут стрелка проходит треть оборота, то есть поворачивается на $\dfrac{2\pi}{3}$ рад (120°).

Конец стрелки движется по дуге окружности радиуса 12 см: $l = R\varphi = 12 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 8\pi \approx 25{,}1$ см.

Ответ

2π/3 рад; 8π см ≈ 25,1 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте циркулем окружность, отмерьте ниткой длину радиуса и уложите нитку вдоль окружности. Соедините концы нитки с центром — получился угол в 1 радиан, около 57°. Спросите, сколько таких «радиусов» уложится в половину окружности: чуть больше трёх, ровно $\pi$ . Значит, 180° = $\pi$ радиан.

Вопросы для проверки понимания: 1) Что такое угол в 1 радиан? 2) Сколько радиан в прямом угле? 3) Как найти длину дуги, если известны радиус и радианная мера?

На что обратить внимание. Главное — равенство 180° = $\pi$ рад, из него выводится всё остальное. Следите, чтобы ребёнок не подставлял градусы в формулу $l = R\varphi$ и понимал, что $\pi$ — число около 3,14, а не 180.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 119	1203, 1204