Какие утверждения о повороте вокруг точки O на угол α, 0^\circ < α < 180^\circ, верны?

Неподвижных точек нет совсем

Проверь себя: Преобразования плоскости. Движения

Понятие движения

Какое преобразование плоскости называют движением?

А)Любое преобразование, при котором фигура меняет положение
Б)Преобразование, сохраняющее расстояния между точками
В)Преобразование, у которого есть неподвижная точка
Г)Преобразование, при котором прямая переходит в прямую

Показать ответ

Ответ: Б) Преобразование, сохраняющее расстояния между точками

Движение — преобразование плоскости, при котором для любых точек $$M$$ и $$N$$ и их образов $$M_1N_1 = MN$$ .

Понятие движения

Что верно для любого движения?

А)Отрезок переходит в равный ему отрезок
Б)Угол переходит в равный ему угол
В)Каждая точка остаётся на месте
Г)Треугольник переходит в равный ему треугольник

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Отрезок переходит в равный ему отрезок; Б) Угол переходит в равный ему угол; Г) Треугольник переходит в равный ему треугольник

Движение сохраняет расстояния, поэтому отрезки, углы и треугольники переходят в равные. Неподвижной каждая точка бывает только у тождественного преобразования.

Понятие движения

При центральной симметрии с центром $$O$$ точка $$A$$ перешла в $$A_1$$ , $$OA = 2{,}5$$ см. Найдите $$AA_1$$ в сантиметрах.

Показать ответ

Ответ: 5

Центр $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$ , поэтому $AA_1 = 2 \cdot 2{,}5 = 5$ см.

Параллельный перенос

Сколько неподвижных точек у параллельного переноса на ненулевой вектор?

А)Ни одной
Б)Одна — начало вектора
В)Две
Г)Бесконечно много

Показать ответ

Ответ: А) Ни одной

Каждая точка сдвигается на ненулевой вектор $\vec{a}$ , поэтому ни одна не остаётся на месте.

Параллельный перенос

Какие утверждения о параллельном переносе верны?

А)Он сохраняет расстояния между точками
Б)Прямую он отображает на параллельную ей прямую или на неё саму
В)Окружность он отображает на окружность большего радиуса
Г)Он является движением

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Он сохраняет расстояния между точками; Б) Прямую он отображает на параллельную ей прямую или на неё саму; Г) Он является движением

Перенос — движение, он сохраняет расстояния, поэтому радиус окружности не меняется.

Параллельный перенос

При переносе на вектор $\vec{a}\{2; -3\}$ точка $$M(5; 4)$$ переходит в $$M_1$$ . Чему равна абсцисса точки $$M_1$$ ?

Показать ответ

Ответ: 7

$$x_1 = 5 + 2 = 7$$ (а ордината $$4 - 3 = 1$$ ).

Поворот

Каким преобразованием является поворот вокруг точки $$O$$ на $180^\circ$ ?

А)Центральной симметрией относительно точки O
Б)Осевой симметрией
В)Параллельным переносом
Г)Тождественным преобразованием

Показать ответ

Ответ: А) Центральной симметрией относительно точки O

При повороте на $180^\circ$ угол $$MOM_1$$ развёрнутый и $$OM = OM_1$$ , то есть $$O$$ — середина $$MM_1$$ . Это центральная симметрия.

Поворот

Какие утверждения о повороте вокруг точки $$O$$ на угол $\alpha$ , $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ , верны?

А)Точка O остаётся на месте
Б)Поворот сохраняет расстояния между точками
В)Каждая точка M переходит в точку M₁ с OM₁ = OM
Г)Неподвижных точек нет совсем

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Точка O остаётся на месте; Б) Поворот сохраняет расстояния между точками; В) Каждая точка M переходит в точку M₁ с OM₁ = OM

Центр поворота — единственная неподвижная точка; поворот — движение, расстояние до центра у каждой точки сохраняется.

Поворот

Наименьший угол поворота вокруг центра квадрата, при котором квадрат отображается на себя. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ

Ответ: 90

Отрезки от центра к вершинам равны и образуют углы по $90^\circ$ , поэтому поворот на $90^\circ$ переводит каждую вершину в соседнюю.

Симметрия фигур

Сколько симметрий у равностороннего треугольника?

А)Три
Б)Четыре
В)Пять
Г)Шесть

Показать ответ

Ответ: В) Пять

Три осевые симметрии и два поворота вокруг центра на 120° — по часовой и против часовой стрелки.

Симметрия фигур

Какие фигуры обладают центральной симметрией?

А)Квадрат
Б)Окружность
В)Равнобедренная трапеция
Г)Полоса
Д)Равносторонний треугольник

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Квадрат; Б) Окружность; Г) Полоса

Квадрат и окружность переходят в себя при повороте на 180° вокруг центра, полоса — относительно любой точки средней линии. У трапеции и треугольника центра симметрии нет.

Симметрия фигур

Сколько симметрий у правильного шестиугольника?

Показать ответ

Ответ: 11

6 осевых симметрий и 5 поворотов вокруг центра на углы, кратные 60° (среди них центральная симметрия), всего $2 \cdot 6 - 1 = 11$ .

Применение движений к решению задач

При повороте вокруг точки на 90° отрезок AE перешёл в отрезок BD. Что верно?

А)AE = BD
Б)Прямые AE и BD перпендикулярны
В)Прямые AE и BD параллельны
Г)Отрезки AE и BD имеют общую середину

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) AE = BD; Б) Прямые AE и BD перпендикулярны

Поворот сохраняет длины, а прямая и её образ при повороте на $90^\circ$ перпендикулярны.

Применение движений к решению задач

Точки A и B лежат по одну сторону от прямой p. Как найти на p точку M с наименьшей суммой AM + MB?

А)Взять середину проекций A и B на прямую p
Б)Отразить B относительно p и найти пересечение отрезка AB₁ с p
В)Найти пересечение прямой AB с прямой p
Г)Опустить перпендикуляр из середины AB на p

Показать ответ

Ответ: Б) Отразить B относительно p и найти пересечение отрезка AB₁ с p

Для любой точки $$X$$ прямой $$XB = XB_1$$ , а сумма $$AX + XB_1$$ наименьшая, когда $$X$$ лежит на отрезке $$AB_1$$ .

Применение движений к решению задач

Поворот на 120° переводит прямую a в прямую a₁. Чему равен угол между прямыми a и a₁ (в градусах)?

Показать ответ

Ответ: 60

Угол между прямыми равен углу поворота или дополняет его до $180^\circ$ ; здесь $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ .