Векторы a и b противоположно направлены и b = ka. Каким может быть число k?

Только положительным

Проверь себя: Метод координат

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены и $\vec{b} = k\vec{a}$ . Каким может быть число $$k$$ ?

А)Только положительным
Б)Только отрицательным
В)Только нулём
Г)Любым

Показать ответ

Ответ: Б) Только отрицательным

Вектор $k\vec{a}$ при $$k < 0$$ направлен противоположно $\vec{a}$ — так же, как $\vec{b}$ .

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Какие утверждения верны?

А)Любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам
Б)Коэффициенты разложения по двум неколлинеарным векторам определяются единственным образом
В)Любой вектор плоскости можно разложить по двум коллинеарным векторам
Г)Нулевой вектор раскладывается по неколлинеарным векторам с коэффициентами 0 и 0

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам; Б) Коэффициенты разложения по двум неколлинеарным векторам определяются единственным образом; Г) Нулевой вектор раскладывается по неколлинеарным векторам с коэффициентами 0 и 0

Это теорема о разложении. По коллинеарным векторам можно разложить только векторы, коллинеарные им.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, $|\vec{a}| = 4$ , $|\vec{b}| = 10$ . Найдите $$k$$ , при котором $\vec{b} = k\vec{a}$ .

Показать ответ

Ответ: 2,5

$k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ , знак плюс — векторы сонаправлены.

Координаты вектора

Какие координаты у вектора $3\vec{j}$ ?

А){3; 0}
Б){0; 3}
В){3; 3}
Г){0; 0}

Показать ответ

Ответ: Б) {0; 3}

$3\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 3\vec{j}$ , поэтому первая координата 0, вторая 3.

Координаты вектора

Даны $\vec{a}\{2; 5\}$ и $\vec{b}\{-1; 3\}$ . Найдите первую координату вектора $\vec{a} - 2\vec{b}$ .

Показать ответ

Ответ: 4

$2\vec{b}\{-2; 6\}$ , первая координата разности $$2 - (-2) = 4$$ .

Координаты вектора

Какие векторы коллинеарны вектору $\vec{a}\{2; -3\}$ ?

А){4; −6}
Б){−2; 3}
В){3; −2}
Г){0; 0}

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) {4; −6}; Б) {−2; 3}; Г) {0; 0}

$\{4; -6\} = 2\vec{a}$ , $\{-2; 3\} = -\vec{a}$ , нулевой вектор коллинеарен любому, а у $\{3; -2\}$ координаты не пропорциональны координатам $\vec{a}$ .

Простейшие задачи в координатах

Точка A имеет координаты (x₁; y₁), точка B — (x₂; y₂). Каковы координаты вектора AB?

А){x₁ − x₂; y₁ − y₂}
Б){x₂ − x₁; y₂ − y₁}
В){x₁ + x₂; y₁ + y₂}
Г){(x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2}

Показать ответ

Ответ: Б) {x₂ − x₁; y₂ − y₁}

Каждая координата вектора равна разности координат конца и начала, $\overrightarrow{AB}\{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$ .

Простейшие задачи в координатах

Найдите длину вектора с координатами {5; −12}.

Показать ответ

Ответ: 13

$\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

Простейшие задачи в координатах

Какие утверждения верны?

А)Координаты точки равны координатам её радиус-вектора
Б)Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов
В)Векторы AB и BA имеют одинаковые координаты
Г)Длина вектора {−3; 4} равна −5

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Координаты точки равны координатам её радиус-вектора; Б) Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ противоположны, их координаты отличаются знаком, а длина вектора не бывает отрицательной.

Уравнение линии. Уравнение окружности

Какое уравнение задаёт окружность с центром $$(3; -2)$$ и радиусом 4?

А) $$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$$
Б) $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$$
В) $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$$
Г) $$(x - 3)^2 - (y + 2)^2 = 16$$

Показать ответ

Ответ: В) $$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$$

В скобках вычитаются координаты центра, $$x - 3$$ и $$y - (-2) = y + 2$$ ; справа квадрат радиуса, $$4^2 = 16$$ .

Уравнение линии. Уравнение окружности

Чему равен радиус окружности $$x^2 + (y - 7)^2 = 49$$ ?

Показать ответ

Ответ: 7

Справа стоит $$r^2 = 49$$ , значит, $$r = 7$$ .

Уравнение линии. Уравнение окружности

Какие точки лежат на окружности $$x^2 + y^2 = 25$$ ?

А) $$(3; 4)$$
Б) $$(5; 5)$$
В) $$(0; -5)$$
Г) $$(-4; 3)$$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $$(3; 4)$$ ; В) $$(0; -5)$$ ; Г) $$(-4; 3)$$

Для $$(3; 4)$$ , $$(0; -5)$$ и $$(-4; 3)$$ сумма квадратов координат равна 25, а для $$(5; 5)$$ она равна 50.

Уравнение прямой

Какое уравнение задаёт ось $$Oy$$ ?

А) $$y = 0$$
Б) $$x = 0$$
В) $$y = x$$
Г) $$x + y = 0$$

Показать ответ

Ответ: Б) $$x = 0$$

У всех точек оси $$Oy$$ абсцисса равна нулю, поэтому её уравнение $$x = 0$$ .

Уравнение прямой

Какие уравнения задают прямые?

А) $$3x - 2y + 1 = 0$$
Б) $$x^2 + y^2 = 4$$
В) $$y = -5$$
Г) $0 \cdot x + 0 \cdot y + 3 = 0$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $$3x - 2y + 1 = 0$$ ; В) $$y = -5$$

Прямая задаётся уравнением первой степени $$ax + by + c = 0$$ , где $$a$$ и $$b$$ не равны нулю одновременно. $$x^2 + y^2 = 4$$ — окружность, а в последнем уравнении $$a = b = 0$$ .

Уравнение прямой

Точка $$(2; y)$$ лежит на прямой $$y = 3x - 1$$ . Найдите $$y$$ .

Показать ответ

Ответ: 5

$y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ .