Как направлен вектор -3a относительно ненулевого вектора a?

Перпендикулярно a

Направление может быть любым

Проверь себя: Векторы — геометрия 9 класс

Понятие вектора. Равенство векторов

Какой вектор называют нулевым?

А)Вектор длиной 1
Б)Вектор, у которого начало совпадает с концом
В)Вектор, лежащий на оси абсцисс
Г)Вектор, перпендикулярный данному

Показать ответ

Ответ: Б) Вектор, у которого начало совпадает с концом

У нулевого вектора начало и конец совпадают, на рисунке это одна точка, а его длина $|\vec{0}| = 0$ .

Понятие вектора. Равенство векторов

ABCD — параллелограмм, который не является прямоугольником. Какие утверждения верны?

А) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
Б) $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$
В) $\overrightarrow{AB} \uparrow\downarrow \overrightarrow{CD}$
Г) $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ; В) $\overrightarrow{AB} \uparrow\downarrow \overrightarrow{CD}$

Противоположные стороны параллельны и равны, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ направлены одинаково, а $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CB}$ — противоположно. Диагонали равны только у прямоугольника.

Понятие вектора. Равенство векторов

Стороны прямоугольника ABCD равны AB = 6 см и BC = 8 см. Найдите длину вектора $\overrightarrow{BD}$ в сантиметрах.

Показать ответ

Ответ: 10

$|\overrightarrow{BD}| = BD = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см.

Сложение векторов

Чему равна сумма $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?

А)Вектору AC
Б)Вектору CA
В)Вектору BA
Г)Нулевому вектору

Показать ответ

Ответ: А) Вектору AC

По правилу треугольника идём из начала первого вектора в конец второго, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

Сложение векторов

Какие утверждения верны для любых векторов?

А)Сумма a + b равна b + a
Б)Длина суммы равна сумме длин
В)Сумма a + 0 равна a
Г)Сумма AB + BC + CA равна нулевому вектору

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Сумма a + b равна b + a; В) Сумма a + 0 равна a; Г) Сумма AB + BC + CA равна нулевому вектору

Сложение переместительно, нулевой вектор ничего не меняет, а замкнутая ломаная даёт нулевую сумму. Длины складываются только у сонаправленных векторов.

Сложение векторов

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , отложенные от одной точки, перпендикулярны, $|\vec{a}| = 3$ , $|\vec{b}| = 4$ . Найдите $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

Показать ответ

Ответ: 5

Сумма — диагональ прямоугольника со сторонами 3 и 4, $\sqrt{9 + 16} = 5$ .

Вычитание векторов

Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ отложены от одной точки. Чему равна разность $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ ?

А)Вектору AB
Б)Вектору BA
В)Вектору OA + OB
Г)Нулевому вектору

Показать ответ

Ответ: Б) Вектору BA

Разность идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого, $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}$ .

Вычитание векторов

Какой вектор противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$ ?

А)Вектор AB
Б)Вектор BA
В)Нулевой вектор
Г)Любой вектор, перпендикулярный AB

Показать ответ

Ответ: Б) Вектор BA

У противоположного вектора та же длина и противоположное направление — это $\overrightarrow{BA}$ .

Вычитание векторов

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, $|\vec{a}| = 6$ , $|\vec{b}| = 2$ . Найдите $|\vec{a} - \vec{b}|$ .

Показать ответ

Ответ: 8

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ , а $-\vec{b}$ сонаправлен с $\vec{a}$ , длины складываются, $$6 + 2 = 8$$ .

Умножение вектора на число

Как направлен вектор $-3\vec{a}$ относительно ненулевого вектора $\vec{a}$ ?

А)Сонаправлен с $\vec{a}$
Б)Противоположно $\vec{a}$
В)Перпендикулярно a
Г)Направление может быть любым

Показать ответ

Ответ: Б) Противоположно $\vec{a}$

При $$k < 0$$ вектор $k\vec{a}$ направлен противоположно $\vec{a}$ .

Умножение вектора на число

Длина вектора $\vec{a}$ равна 4. Чему равна длина вектора $-2{,}5\vec{a}$ ?

Показать ответ

Ответ: 10

$|-2{,}5\vec{a}| = 2{,}5 \cdot 4 = 10$ — длина не бывает отрицательной.

Умножение вектора на число

Какие утверждения верны для любого вектора $\vec{a}$ и любого числа $$k$$ ?

А)Векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$ коллинеарны
Б) $0 \cdot \vec{a}$ — нулевой вектор
В)Длина $k\vec{a}$ равна $k \cdot |\vec{a}|$
Г) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Векторы $\vec{a}$ и $k\vec{a}$ коллинеарны; Б) $0 \cdot \vec{a}$ — нулевой вектор; Г) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

Длина $k\vec{a}$ равна $|k| \cdot |\vec{a}|$ , а не $k \cdot |\vec{a}|$ — при отрицательном $$k$$ иначе вышла бы отрицательная длина.

Применение векторов к решению задач

Точка $$C$$ — середина отрезка $$AB$$ , $$O$$ — произвольная точка. Чему равен вектор $\overrightarrow{OC}$ ?

А) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$
Б) $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$
В) $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})$
Г) $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$

Это формула середины отрезка, $\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ .

Применение векторов к решению задач

Основания трапеции равны 7 см и 13 см. Чему равна её средняя линия в сантиметрах?

Показать ответ

Ответ: 10

Средняя линия равна полусумме оснований, $$(7 + 13) : 2 = 10$$ см.

Применение векторов к решению задач

Какие утверждения о средней линии трапеции верны?

А)Она параллельна основаниям
Б)Она равна сумме оснований
В)Она проходит через середины диагоналей
Г)Она соединяет середины оснований

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Она параллельна основаниям; В) Она проходит через середины диагоналей

Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям, равна их полусумме и проходит через середины диагоналей.