Мяч летит вертикально вверх после броска. Что происходит с его энергиями (сопротивление воздуха не учитываем)?

Кинетическая убывает, потенциальная растёт

Кинетическая растёт, потенциальная убывает

Обе остаются постоянными

При каких условиях полная механическая энергия системы тел сохраняется?

Между телами действуют только силы тяжести и упругости

Система замкнута

Сила трения есть, но она мала

Скорость каждого тела не меняется

Скорость тела увеличили в 3 раза. Как изменилась его кинетическая энергия?

Увеличилась в 9 раз

Увеличилась в 3 раза

Увеличилась в 6 раз

Закон сохранения механической энергии — 9 класс, физика: вывод, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Полная механическая энергия тела — это сумма его потенциальной энергии $$mgh$$ и кинетической $\dfrac{mv^2}{2}$ . В замкнутой системе, где действуют только силы тяжести и упругости, а трения нет, эта сумма не меняется: одна энергия переходит в другую, но их сумма в любой момент одна и та же.

mgh_1 + \frac{mv_1^2}{2} = mgh_2 + \frac{mv_2^2}{2}

Подробное объяснение

Куда девается скорость

Подбросьте мяч. Он вылетает из руки быстро, замедляется и в верхней точке на миг замирает. Скорость исчезла — а потом появилась снова, когда мяч полетел вниз, и у самой руки она такая же, как при броске. Куда скорость «пряталась»?

Ответ — в высоту. Пока мяч поднимается, его кинетическая энергия убывает, а потенциальная растёт. На спуске всё наоборот. При этом сумма двух энергий всё время одна и та же. Это и есть закон сохранения механической энергии, знакомый по 8 классу. В 9 классе мы его не просто повторим, а докажем.

Две энергии

Потенциальная энергия $E_{\text{п}} = mgh$ — энергия положения: масса $$m$$ в килограммах, $$g = 9{,}8$$ м/с² (в этом параграфе учебник округляет до 10 м/с², и мы тоже), высота $$h$$ в метрах над выбранным нулевым уровнем. Кинетическая $E_{\text{к}} = \dfrac{mv^2}{2}$ — энергия движения, $$v$$ в метрах в секунду. Обе измеряются в джоулях: 1 Дж = 1 кг·м²/с².

Полная механическая энергия — их сумма: $E = E_{\text{п}} + E_{\text{к}}$ .

Закон

Механическая энергия замкнутой системы тел остаётся постоянной, если между телами действуют только силы тяжести и силы упругости, а сил трения нет.

«Замкнутая» — значит, снаружи на систему никто не действует. Обычно система — это тело и Земля: сила тяжести действует между ними, а она в список разрешённых входит. А вот если есть трение или сопротивление воздуха, часть механической энергии уходит в тепло, и закон в таком виде уже не работает.

Вывод

Пусть шарик массой $$m$$ свободно падает. На высоте $$h_1$$ его скорость $$v_1$$ , на высоте $$h_2$$ — уже $$v_2$$ . Посчитаем работу силы тяжести на этом участке двумя способами.

Первый способ — через силу и путь. Сила тяжести $$mg$$ постоянна, путь равен $$h_1 - h_2$$ :

\[A = mg(h_1 - h_2) = mgh_1 - mgh_2\]

Второй способ — через скорости. Из кинематики свободного падения $$v_2^2 - v_1^2 = 2g(h_1 - h_2)$$ , откуда $h_1 - h_2 = \dfrac{v_2^2 - v_1^2}{2g}$ . Подставим в ту же работу:

A = mg \cdot \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}

Работа одна и та же, значит, равны и правые части:

mgh_1 - mgh_2 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}

Слева — на сколько уменьшилась потенциальная энергия, справа — на сколько выросла кинетическая. Они равны. Перенесём слагаемые:

mgh_1 + \frac{mv_1^2}{2} = mgh_2 + \frac{mv_2^2}{2}, \qquad E_{\text{п}1} + E_{\text{к}1} = E_{\text{п}2} + E_{\text{к}2}

Полная энергия в точке 1 равна полной энергии в точке 2. Это и есть закон сохранения, доказанный для системы «шарик — Земля».

Шарик падает с высоты h: в точке 1 скорость нулевая, в точке 2 на высоте h/2 скорость средняя, в точке 3 у земли — наибольшая. Столбики справа: потенциальная энергия переходит в кинетическую, их сумма постоянна. — Пока шарик падает, синяя доля (потенциальная энергия mgh) уменьшается, оранжевая (кинетическая mv²/2) растёт ровно на столько же, а высота столбика — полная механическая энергия — не меняется.

Чем это удобно

Закон сохранения не спрашивает, сколько длилось движение и по какой траектории шло тело. Ему важны только два состояния — «было» и «стало». Поэтому задачи о скорости в конце горки, высоте подъёма или отскока решаются одной строкой, без времени и ускорения. Кинематика те же ответы даёт, но длиннее, и только для прямой траектории.

Как решать задачи

Выберите нулевой уровень высоты — обычно земля или самая низкая точка движения. Все высоты в задаче отсчитывайте от него.
Отметьте два состояния: начальное (1) и то, о котором спрашивают (2). Для каждого выпишите $$h$$ и $$v$$ . Помните: в верхней точке подъёма $$v = 0$$ , у земли $$h = 0$$ .
Запишите закон: $mgh_1 + \dfrac{mv_1^2}{2} = mgh_2 + \dfrac{mv_2^2}{2}$ . Нулевые слагаемые вычеркните.
Если масса неизвестна, разделите обе части на $$m$$ — она сократится.
Выразите искомую величину, подставьте числа, проверьте единицы и здравый смысл: высота отскока не может быть больше высоты, с которой упало тело без начальной скорости.

Разобранные примеры

База

Скорость камня у подножия обрыва

Условие

Камень массой 0,5 кг сорвался с обрыва высотой 20 м. Какой кинетической энергией он будет обладать у земли и с какой скоростью ударится о неё? Сопротивление воздуха не учитывайте, g = 10 м/с².

Дано

$$m = 0{,}5$$ кг
$$h_1 = 20$$ м
$$v_1 = 0$$
$$h_2 = 0$$
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$E_{\text{к}2}$
$$v_2$$

Решение

Нулевой уровень — земля. Наверху кинетическая энергия нулевая, внизу нулевая потенциальная:

$mgh_1 = E_{\text{к}2}$ , откуда $E_{\text{к}2} = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 20 = 100$ Дж.

Скорость: $\dfrac{mv_2^2}{2} = 100$ , $v_2^2 = \dfrac{2 \cdot 100}{0{,}5} = 400$ , $$v_2 = 20$$ м/с.

Проверка через кинематику: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = 20$ м/с. Сошлось.

Ответ: 100 Дж; 20 м/с

Средний

Где энергии равны

Условие

Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 12 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной? g = 10 м/с².

Дано

$$v_1 = 12$$ м/с
$$h_1 = 0$$
$E_{\text{п}2} = E_{\text{к}2}$
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$$h_2$$

Решение

Нулевой уровень — точка броска. Полная энергия в начале — только кинетическая: $E = \dfrac{mv_1^2}{2}$ .

В искомой точке две энергии равны, а их сумма — та же $$E$$ . Значит, каждая равна половине: $mgh_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{mv_1^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{4}$ .

$h_2 = \dfrac{v_1^2}{4g} = \dfrac{144}{40} = 3{,}6$ м.

Проверка: наибольшая высота $\dfrac{v_1^2}{2g} = 7{,}2$ м, и половина энергии перешла в потенциальную ровно на половине подъёма. Логично.

Ответ: 3,6 м

Сложный

Санки на извилистой горке

Условие

Санки съезжают с горки высотой 4,8 м по извилистому склону. На вершине их подтолкнули до скорости 2 м/с. С какой скоростью санки выедут к подножию? Трение не учитывайте, g = 10 м/с².

Дано

$h_1 = 4{,}8$ м
$$v_1 = 2$$ м/с
$$h_2 = 0$$
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$$v_2$$

Решение

Кинематикой тут не обойтись: склон изогнут, ускорение вдоль него всё время меняется. А закону сохранения форма склона безразлична.

$mgh_1 + \dfrac{mv_1^2}{2} = \dfrac{mv_2^2}{2}$ . Масса санок неизвестна — делим на $$m$$ и умножаем на 2:

$v_2^2 = v_1^2 + 2gh_1 = 4 + 2 \cdot 10 \cdot 4{,}8 = 4 + 96 = 100$ , $$v_2 = 10$$ м/с.

Ответ: 10 м/с

Типичные ошибки

Отсчитывают высоты в двух частях уравнения от разных уровней

Почему неверно

В левой части высоту берут от земли, в правой — от стола или от нижней точки горки. Потенциальная энергия зависит от того, откуда считать высоту, и, если уровни разные, «равенство» энергий превращается в бессмыслицу.

Как правильно

Перед решением выбрать один нулевой уровень и записать его в «Дано». Обе высоты, $$h_1$$ и $$h_2$$ , отсчитывать от него. Удобно брать самую низкую точку движения — тогда одна из потенциальных энергий обнулится.

Применяют закон там, где есть трение

Почему неверно

Санки по асфальту, шайба по шершавому льду, парашютист в воздухе — во всех этих случаях часть механической энергии уходит в тепло, и сумма $E_{\text{п}} + E_{\text{к}}$ уменьшается. Ответ по закону сохранения получится завышенным.

Как правильно

Закон применим, только если в условии сказано «трение не учитывать», «сопротивлением воздуха пренебречь» или речь о теле, летящем недалеко и быстро, где сопротивление мало. Если трение есть, нужна теорема о работе: работа силы трения равна убыли механической энергии.

Забывают квадрат скорости

Почему неверно

Пишут $E_{\text{к}} = \dfrac{mv}{2}$ или при извлечении корня из $$v^2 = 100$$ отвечают «100 м/с». Отсюда же ошибка «скорость увеличилась в 2 раза — энергия тоже в 2 раза»: на самом деле в 4.

Как правильно

Кинетическая энергия — $\dfrac{mv^2}{2}$ , и после того как получили $$v^2$$ , обязательно извлечь корень. Полезно держать в голове проверку единиц: кг·(м/с)² = Дж, а кг·м/с — это импульс, не энергия.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Кирпич массой 2 кг сорвался с лесов на высоте 5 м. Какой кинетической энергией он обладает перед ударом о землю? Сопротивление воздуха не учитывайте, g = 10 м/с².

Подсказка

Вся потенциальная энергия наверху перешла в кинетическую у земли.

Решение

Дано

$$m = 2$$ кг
$$h = 5$$ м
$$v_1 = 0$$
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$E_{\text{к}2}$

Наверху скорость нулевая, у земли высота нулевая: $mgh = E_{\text{к}2}$ .

$E_{\text{к}2} = mgh = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100$ Дж.

Ответ

100 Дж

База Задача 2

Мяч подбросили вертикально вверх со скоростью 6 м/с. На какую наибольшую высоту он поднимется? g = 10 м/с².

Подсказка

В верхней точке кинетическая энергия равна нулю.

Решение

Дано

$$v_1 = 6$$ м/с
$$v_2 = 0$$
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$$h$$

Нулевой уровень — точка броска: $\dfrac{mv_1^2}{2} = mgh$ .

$h = \dfrac{v_1^2}{2g} = \dfrac{36}{20} = 1{,}8$ м.

Ответ

1,8 м

Средний Задача 3

Камень массой 0,2 кг бросили вертикально вниз с высоты 10 м со скоростью 5 м/с. Найдите его кинетическую энергию у земли. g = 10 м/с².

Подсказка

В начале есть и потенциальная, и кинетическая энергия — сложите их.

Решение

Дано

$$m = 0{,}2$$ кг
$$h = 10$$ м
$$v_1 = 5$$ м/с
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$E_{\text{к}2}$

$mgh + \dfrac{mv_1^2}{2} = E_{\text{к}2}$ .

$E_{\text{к}2} = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 10 + \dfrac{0{,}2 \cdot 25}{2} = 20 + 2{,}5 = 22{,}5$ Дж.

Ответ

22,5 Дж

Средний Задача 4

Шарик отпустили без начальной скорости с высоты 8 м. На какой высоте над землёй его скорость равна 10 м/с? g = 10 м/с².

Подсказка

Потенциальная энергия наверху равна сумме потенциальной и кинетической в искомой точке.

Решение

Дано

$$h_1 = 8$$ м
$$v_1 = 0$$
$$v_2 = 10$$ м/с
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$$h_2$$

$mgh_1 = mgh_2 + \dfrac{mv_2^2}{2}$ , масса сокращается: $h_2 = h_1 - \dfrac{v_2^2}{2g}$ .

$h_2 = 8 - \dfrac{100}{20} = 8 - 5 = 3$ м.

Ответ

3 м

Сложный Задача 5

Тележка американских горок массой 300 кг проходит вершину на высоте 15 м со скоростью 4 м/с и скатывается по извилистому спуску в ложбину на высоте 3 м. Какова её скорость в ложбине? Трение не учитывайте, g = 10 м/с².

Подсказка

Форма спуска не важна — важна только разность высот. Масса сократится.

Решение

Дано

$$m = 300$$ кг
$$h_1 = 15$$ м
$$v_1 = 4$$ м/с
$$h_2 = 3$$ м
$$g = 10$$ м/с²

Найти

$$v_2$$

$mgh_1 + \dfrac{mv_1^2}{2} = mgh_2 + \dfrac{mv_2^2}{2}$ . Делим на $$m$$ и умножаем на 2: $$v_2^2 = v_1^2 + 2g(h_1 - h_2)$$ .

$v_2^2 = 16 + 2 \cdot 10 \cdot 12 = 16 + 240 = 256$ , откуда $$v_2 = 16$$ м/с.

Масса тележки в ответ не вошла — как и в свободном падении, тяжёлая и лёгкая тележки разгоняются одинаково.

Ответ

16 м/с

Сложный Задача 6

Два одинаковых шарика отпускают с одной высоты. Первый падает вертикально, второй скатывается без трения по длинному изогнутому жёлобу до того же уровня. Сравните скорости шариков внизу и время их движения.

Подсказка

Что общего у обоих шариков в начале и в конце? Чем они отличаются по дороге?

Решение

У обоих шариков одинаковые масса, начальная высота и нулевая начальная скорость, значит, одинакова и полная механическая энергия. Трения нет, а сила упругости жёлоба работы не совершает — она перпендикулярна движению. Внизу у каждого вся потенциальная энергия перешла в кинетическую: $mgh = \dfrac{mv^2}{2}$ , и скорости равны $v = \sqrt{2gh}$ .

Время движения разное: второй шарик проходит гораздо больший путь, а разгоняется медленнее (вдоль жёлоба его ускорение меньше $$g$$ ), поэтому катится дольше.

Ответ

Скорости внизу одинаковы, шарик в жёлобе движется дольше

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сделайте маятник: связка ключей на нитке длиной около метра, подвешенная к ручке двери. Отведите ключи к самому носу ребёнка и отпустите, не толкая. Ключи качнутся и вернутся, но носа не коснутся: выше точки, откуда их отпустили, они подняться не могут — на это не хватит энергии. В нижней точке вся энергия «в скорости», в крайних — «в высоте», и сумма одна и та же. Потом покажите, что качания постепенно затухают: это трение о воздух и нитку отбирает энергию, поэтому в задачах и пишут «трение не учитывать».

Вопросы для проверки понимания:

Мяч подбросили вверх. В какой точке у него самая большая потенциальная энергия, а в какой — кинетическая?
Отпущенный маятник поднимется выше точки, откуда его отпустили, — да или нет? Почему?
Два шарика одинаковой массы съезжают с одной высоты: один по крутой горке, другой по пологой. У кого скорость внизу больше?

На что обратить внимание. Первое — нулевой уровень: пусть ребёнок каждый раз вслух говорит, откуда считает высоту. Второе — квадрат скорости: после нахождения $$v^2$$ нужно извлечь корень, эту строчку часто пропускают. Третье — условия закона: если в задаче есть трение, а ребёнок пишет $$E_1 = E_2$$ , остановите его и спросите, куда делась энергия.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 22	22