Геометрия, 9 класс · Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Проверь себя по разделу

15 вопросов по 8 темам раздела «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов». Отвечай по порядку — после каждого ответа будет пояснение, в конце — результат и список тем, которые стоит повторить.

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

    Какой знак у \(\cos 100^\circ\)?

    Показать ответ

    Ответ: Б) Отрицательный

    Угол \(100^\circ\) тупой, точка единичной полуокружности лежит во втором квадранте, её абсцисса отрицательна.

  2. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

    Какие утверждения верны?

    Правильных ответов несколько.

    Показать ответ

    Ответ: А) \(\sin 140^\circ > 0\); В) \(\operatorname{tg} 140^\circ < 0\); Г) \(\sin 140^\circ = \sin 40^\circ\)

    Синус угла от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) неотрицателен, косинус тупого угла отрицателен, поэтому тангенс отрицателен; \(\sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ\).

  3. Угловой коэффициент прямой

    Чему равен угловой коэффициент прямой \(y = -2x + 3\)?

    Показать ответ

    Ответ: В) −2

    В уравнении \(y = kx + d\) угловой коэффициент — множитель при \(x\), здесь \(k = -2\).

  4. Угловой коэффициент прямой

    Под каким углом (в градусах) прямая \(y = x + 5\) наклонена к положительному направлению оси \(Ox\)?

    Показать ответ

    Ответ: 45

    \(k = 1 = \operatorname{tg} 45^\circ\).

  5. Теорема о площади треугольника

    По какой формуле находят площадь треугольника по двум сторонам \(a\), \(b\) и углу \(C\) между ними?

    Показать ответ

    Ответ: Б) \(S = \dfrac12 ab \sin C\)

    Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, \(S = \dfrac12 ab \sin C\).

  6. Теорема о площади треугольника

    Две стороны треугольника равны 10 и 6, угол между ними равен \(90^\circ\). Найдите площадь.

    Показать ответ

    Ответ: 30

    \(\sin 90^\circ = 1\), поэтому \(S = \dfrac12 \cdot 10 \cdot 6 = 30\) — это половина произведения катетов.

  7. Теорема синусов

    Какое равенство выражает теорему синусов вместе с радиусом \(R\) описанной окружности?

    Показать ответ

    Ответ: Б) \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\)

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, то есть \(2R\).

  8. Теорема синусов

    Какие равенства верны для любого треугольника \(ABC\) со сторонами \(a = BC\), \(b = CA\)?

    Правильных ответов несколько.

    Показать ответ

    Ответ: А) \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\); Б) \(a \sin B = b \sin A\)

    Из \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\) по свойству пропорции \(a \sin B = b \sin A\). Отношение сторон равно отношению синусов противолежащих углов, а не наоборот.

  9. Теорема косинусов

    Какая формула выражает теорему косинусов для стороны \(a\) треугольника \(ABC\)?

    Показать ответ

    Ответ: Б) \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)

    Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

  10. Теорема косинусов

    В треугольнике \(b = 5\), \(c = 3\), \(\angle A = 120^\circ\). Найдите сторону \(a\).

    Показать ответ

    Ответ: 7

    \(a^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49\), \(a = 7\).

  11. Решение треугольников

    Какой набор данных НЕ позволяет решить треугольник однозначно?

    Показать ответ

    Ответ: Г) Три угла

    Три угла задают только форму треугольника, а не размер — подобных треугольников с такими углами бесконечно много.

  12. Решение треугольников

    Даны стороны \(a\), \(b\) и угол \(C\) между ними. Что находят первым?

    Показать ответ

    Ответ: Б) Сторону c по теореме косинусов

    По двум сторонам и углу между ними третью сторону сразу даёт теорема косинусов, после этого можно искать углы.

  13. Угол между векторами. Скалярное произведение

    Чему равен угол между ненулевым вектором \(\vec{a}\) и вектором \(-\vec{a}\)?

    Показать ответ

    Ответ: В) 180°

    Векторы \(\vec{a}\) и \(-\vec{a}\) противоположно направлены, угол между ними \(180^\circ\).

  14. Угол между векторами. Скалярное произведение

    Найдите \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), если \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\), а угол между векторами равен \(120^\circ\).

    Показать ответ

    Ответ: -6

    \(3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 12 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -6\).

  15. Скалярное произведение в координатах

    Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\{2; -3\}\) и \(\vec{b}\{4; 1\}\).

    Показать ответ

    Ответ: 5

    \(2 \cdot 4 + (-3) \cdot 1 = 8 - 3 = 5\).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.