Какие утверждения верны?

Равные треугольники имеют равные периметры

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы

Треугольник ABC можно обозначить и как △CBA

Треугольники с равными периметрами всегда равны

Треугольник — 7 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, которые их попарно соединяют. У него три вершины, три стороны и три угла. Периметр — сумма длин сторон:

\[P = AB + BC + CA\]

Подробное объяснение

Возьмите три гвоздя, вбитые в доску не на одной линии, и натяните на них резинку. Получится треугольник. Гвозди — его вершины, натянутые участки резинки — стороны. Треугольник — самый простой многоугольник: меньше трёх вершин у многоугольника не бывает.

Вершины, стороны, углы

Треугольник с вершинами A, B, C обозначают $\triangle ABC$ и читают «треугольник ABC». Порядок букв в названии может быть любым: $\triangle BCA$ и $\triangle CBA$ — тот же самый треугольник.

У треугольника ABC:

три стороны: AB, BC и CA;
три угла: $\angle BAC$ , $\angle CBA$ и $\angle ACB$ . Их часто называют одной буквой — $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ .

Треугольник ABC. Сторона BC и угол A выделены зелёным — угол A лежит против стороны BC. Углы B и C выделены оранжевым — они прилежат к стороне BC. Внизу формула периметра. — Против стороны BC лежит угол A, к стороне BC прилежат углы B и C; периметр — сумма трёх сторон.

Для каждой стороны есть один угол, который лежит против неё, — это угол при вершине, не принадлежащей стороне. Против BC лежит $\angle A$ , против AC — $\angle B$ , против AB — $\angle C$ . Два других угла прилежат к стороне: их вершины — концы этой стороны. К стороне BC прилежат углы B и C.

Периметр

Периметр — сумма длин трёх сторон. Если $$AB = 4$$ см, $$BC = 5$$ см, $$CA = 6$$ см, то $$P = 4 + 5 + 6 = 15$$ см. Периметр показывает, сколько придётся пройти по контуру треугольника, или сколько нужно забора, чтобы обнести треугольный участок.

Равные треугольники

Две фигуры равны, если их можно совместить наложением. Вырежьте из бумаги два одинаковых треугольника и положите один на другой — они совпадут полностью. При этом совместятся вершины, стороны и углы.

Отсюда главное свойство: у равных треугольников соответственные стороны и углы равны. Против равных сторон лежат равные углы, против равных углов — равные стороны.

Равенство записывают так: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ . Порядок букв здесь важен: первая вершина совмещается с первой, вторая — со второй, третья — с третьей. Из такой записи сразу видно, что $$AB = A_1B_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $\angle C = \angle C_1$ и так далее.

Накладывать треугольники друг на друга не всегда возможно — например, два земельных участка. Поэтому дальше вы узнаете признаки равенства: как по нескольким измерениям понять, что треугольники равны.

Как решать задачи

Сделайте чертёж и подпишите вершины.
Если дан периметр и связи между сторонами («вдвое больше», «на 3 см меньше»), обозначьте одну сторону через $$x$$ , выразите остальные и составьте уравнение $x + \ldots = P$ .
Если дано равенство треугольников, выпишите пары вершин по порядку записи и по ним — равные стороны и углы.
Чтобы найти угол против стороны, возьмите вершину, которая не является концом этой стороны.
Проверьте ответ: сумма найденных сторон должна дать периметр.

Разобранные примеры

База

Периметр по трём сторонам

Условие

Стороны треугольника равны 6 см, 9 см и 10 см. Найдите периметр.

Дано

стороны 6 см
9 см
10 см

Найти

$$P$$

Решение

$$P = 6 + 9 + 10 = 25$$ см.

Ответ: 25 см

Средний

Сторона по периметру

Условие

Периметр треугольника 40 см. Первая сторона 14 см, вторая на 2 см короче третьей. Найдите вторую и третью стороны.

Дано

$$P = 40$$ см
первая сторона 14 см
вторая на 2 см меньше третьей

Найти

вторую и третью стороны

Решение

На две оставшиеся стороны приходится $$40 - 14 = 26$$ см.
Пусть третья сторона $$x$$ см, тогда вторая $$x - 2$$ см: $$x + x - 2 = 26$$ , $$2x = 28$$ , $$x = 14$$ .
Третья сторона 14 см, вторая $$14 - 2 = 12$$ см.

Проверка: $$14 + 12 + 14 = 40$$ .

Ответ: 12 см и 14 см

Сложный

Элементы равных треугольников

Условие

Известно, что $\triangle PQR = \triangle XYZ$ , $$PQ = 7$$ см, $\angle R = 45^\circ$ . Найдите сторону XY и угол Z. Какая сторона лежит против угла Z?

Дано

$\triangle PQR = \triangle XYZ$
$$PQ = 7$$ см
$\angle R = 45^\circ$

Найти

$$XY$$
$\angle Z$

Решение

По записи равенства P совмещается с X, Q — с Y, R — с Z.
Значит, $$XY = PQ = 7$$ см и $\angle Z = \angle R = 45^\circ$ .
Против угла Z лежит сторона, концы которой — две другие вершины, то есть XY.

Ответ: XY = 7 см, ∠Z = 45°, против ∠Z лежит сторона XY

Типичные ошибки

Путают порядок вершин в записи равенства

Почему неверно

Из $\triangle ABC = \triangle KLM$ делают вывод $$AB = LM$$ , просто потому что «стороны похожи». Но запись задаёт пары вершин: A–K, B–L, C–M.

Как правильно

Выпишите пары вершин по порядку и переносите их на стороны: $$AB = KL$$ , $$BC = LM$$ , $$AC = KM$$ ; на углы: $\angle A = \angle K$ и так далее.

Считают равными треугольники с равными периметрами

Почему неверно

Периметр — одно число, а треугольник задают три стороны. Треугольники со сторонами 3, 4, 5 см и 4, 4, 4 см имеют одинаковый периметр 12 см, но наложением их не совместить.

Как правильно

У равных треугольников периметры равны, но обратное неверно. Чтобы доказать равенство, нужны признаки равенства треугольников.

Называют «противолежащим» угол при конце стороны

Почему неверно

Угол B — один из концов стороны AB, он к этой стороне прилежит, а не лежит против неё.

Как правильно

Против стороны лежит угол при третьей вершине — той, которой нет в названии стороны: против AB — $\angle C$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см. Найдите его периметр.

Подсказка

Периметр — сумма длин всех трёх сторон.

Решение

$$P = 5 + 7 + 9 = 21$$ см.

Ответ

21 см

База Задача 2

Дан треугольник KLM. Назовите угол, который лежит против стороны KM, и две стороны, к которым прилежит угол L.

Подсказка

Против стороны лежит угол при вершине, которая не является концом этой стороны.

Решение

Концы стороны KM — точки K и M. Третья вершина — L, поэтому против стороны KM лежит $\angle L$ .
Стороны угла L — отрезки LK и LM, к ним он и прилежит.

Ответ

Против KM лежит ∠L; угол L прилежит к сторонам KL и LM

Средний Задача 3

Периметр треугольника равен 36 см. Одна сторона вдвое больше второй и на 4 см больше третьей. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Обозначьте через $$x$$ вторую сторону и выразите через $$x$$ две другие.

Решение

Пусть вторая сторона $$x$$ см. Тогда первая $$2x$$ см, а третья $$2x - 4$$ см.

$$x + 2x + (2x - 4) = 36$$ , $$5x = 40$$ , $$x = 8$$ .

Стороны: $2 \cdot 8 = 16$ см, $$8$$ см, $$16 - 4 = 12$$ см. Проверка: $$16 + 8 + 12 = 36$$ .

Ответ

16 см, 8 см и 12 см

Средний Задача 4

Известно, что $\triangle ABC = \triangle MNK$ , причём $$AB = 6$$ см, $$BC = 8$$ см, $$AC = 10$$ см. Найдите стороны треугольника MNK и его периметр.

Подсказка

Запись $\triangle ABC = \triangle MNK$ говорит, что вершины совмещаются по порядку — A с M, B с N, C с K.

Решение

По записи равенства A совмещается с M, B — с N, C — с K. Значит, совмещаются и стороны:

$$MN = AB = 6$$ см, $$NK = BC = 8$$ см, $$MK = AC = 10$$ см.

$P_{MNK} = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Ответ

MN = 6 см, NK = 8 см, MK = 10 см, P = 24 см

Сложный Задача 5

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а сторона AC на 3 см короче стороны AB. Периметр треугольника 30 см. Найдите его стороны.

Подсказка

Обозначьте $$AB = BC = x$$ , тогда $$AC = x - 3$$ .

Решение

Пусть $$AB = BC = x$$ см, тогда $$AC = x - 3$$ см.

$$x + x + (x - 3) = 30$$ , $$3x = 33$$ , $$x = 11$$ .

$$AB = BC = 11$$ см, $$AC = 11 - 3 = 8$$ см. Проверка: $$11 + 11 + 8 = 30$$ .

Ответ

AB = BC = 11 см, AC = 8 см

Сложный Задача 6

Известно, что $\triangle ABC = \triangle DEF$ , $\angle A = 50^\circ$ , $\angle E = 70^\circ$ . Найдите углы D и B. Против каких сторон треугольника DEF лежат эти углы?

Подсказка

По записи равенства угол A совмещается с углом D, а угол B — с углом E.

Решение

При наложении A совмещается с D, B — с E, C — с F. Значит, $\angle D = \angle A = 50^\circ$ , $\angle B = \angle E = 70^\circ$ .
В треугольнике DEF против угла D лежит сторона EF, против угла E — сторона DF.

Ответ

∠D = 50°, ∠B = 70°; против ∠D лежит EF, против ∠E лежит DF

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сложите треугольник из трёх карандашей или палочек: концы — вершины, палочки — стороны, «уголки» между палочками — углы. Пусть ребёнок покажет пальцем угол, который «смотрит» на каждую палочку, — это угол против стороны. Потом вырежьте два одинаковых бумажных треугольника и наложите: всё совпало — значит, они равны. Вопросы для проверки понимания: 1) Какой угол треугольника DEF лежит против стороны DF? 2) Как найти периметр треугольника со сторонами 3, 5 и 6 см? 3) Обязательно ли равны треугольники с одинаковым периметром? На что обратить внимание. В записи △ABC = △KLM порядок букв важен — по нему находят равные стороны и углы. Ребёнок должен уверенно называть противолежащий угол и прилежащие углы для любой стороны.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 14	92, 93, 95, 96, 97