Проверь себя: Соотношения между сторонами и углами треугольника

Сумма углов треугольника

Два угла треугольника равны $50^\circ$ и $60^\circ$ . Сколько градусов в третьем угле?

Показать ответ

Ответ: 70

$180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ .

Сумма углов треугольника

Может ли в треугольнике быть два прямых угла?

А)Да, если третий угол равен нулю
Б)Да, в прямоугольном треугольнике
В)Нет, сумма двух углов уже 180°, на третий ничего не остаётся
Г)Нет, но два тупых угла быть могут

Показать ответ

Ответ: В) Нет, сумма двух углов уже 180°, на третий ничего не остаётся

Сумма углов треугольника $180^\circ$ , а два прямых угла уже дают $180^\circ$ . Поэтому прямой или тупой угол в треугольнике может быть только один.

Сумма углов треугольника

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $45^\circ$ , угол $$B$$ равен $70^\circ$ . Сколько градусов во внешнем угле при вершине $$C$$ ?

Показать ответ

Ответ: 115

Внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, — $45^\circ + 70^\circ = 115^\circ$ .

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Что лежит в треугольнике против большей стороны?

А)Меньший угол
Б)Больший угол
В)Прямой угол
Г)Угол, равный половине другого

Показать ответ

Ответ: Б) Больший угол

По теореме о соотношениях между сторонами и углами против большей стороны лежит больший угол.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ прямой. Какие утверждения обязательно верны?

А)BC — наибольшая сторона
Б)AB < BC
В)AB > AC
Г)∠B — острый

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) BC — наибольшая сторона; Б) AB < BC; Г) ∠B — острый

Прямой угол — наибольший, против него лежит гипотенуза $$BC$$ , она больше каждого катета. Углы $$B$$ и $$C$$ острые, а сравнить катеты $$AB$$ и $$AC$$ без дополнительных данных нельзя.

Неравенство треугольника

Из каких трёх отрезков можно сложить треугольник?

А)3 см, 4 см и 8 см
Б)2 см, 5 см и 7 см
В)5 см, 6 см и 10 см
Г)1 см, 1 см и 3 см

Показать ответ

Ответ: В) 5 см, 6 см и 10 см

Наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других. Подходит только $$10 < 5 + 6$$ ; у тройки 2, 5, 7 сумма $$2 + 5$$ равна 7, а не больше.

Неравенство треугольника

Две стороны равнобедренного треугольника равны 2 см и 7 см. Найдите периметр в сантиметрах.

Показать ответ

Ответ: 16

Боковые стороны по 2 см невозможны, $$2 + 2 < 7$$ . Значит, боковые по 7 см, $$P = 7 + 7 + 2 = 16$$ см.

Свойства и признаки прямоугольных треугольников

Один острый угол прямоугольного треугольника равен $64^\circ$ . Сколько градусов во втором остром угле?

Показать ответ

Ответ: 26

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$ , $90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$ .

Свойства и признаки прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ $\angle A = 30^\circ$ . Какая сторона равна половине гипотенузы?

А)Катет BC
Б)Катет AC
В)Оба катета
Г)Ни одна

Показать ответ

Ответ: А) Катет BC

Половине гипотенузы равен катет, лежащий против угла $30^\circ$ . Против угла $$A$$ лежит $$BC$$ .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

У прямоугольных треугольников равны гипотенузы и по одному катету. Равны ли треугольники?

А)Да, по гипотенузе и катету
Б)Нет, нужен ещё угол
В)Только если катеты прилежат к одному углу
Г)Только если треугольники равнобедренные

Показать ответ

Ответ: А) Да, по гипотенузе и катету

Это отдельный признак равенства прямоугольных треугольников — по гипотенузе и катету.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Какие наборы равных элементов гарантируют равенство двух прямоугольных треугольников?

А)Два катета
Б)Гипотенуза и острый угол
В)Два острых угла
Г)Катет и противолежащий ему острый угол

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Два катета; Б) Гипотенуза и острый угол; Г) Катет и противолежащий ему острый угол

Равных острых углов мало — треугольники могут быть разного размера. Признак по катету и противолежащему углу сводится к признаку по катету и прилежащему углу.

Расстояние от точки до прямой

Что называют расстоянием от точки до прямой?

А)Длину любого отрезка от точки до прямой
Б)Длину перпендикуляра, проведённого из точки к прямой
В)Длину самой длинной наклонной
Г)Длину проекции наклонной

Показать ответ

Ответ: Б) Длину перпендикуляра, проведённого из точки к прямой

Расстояние — длина перпендикуляра; он короче любой наклонной из той же точки.

Расстояние от точки до прямой

Какие утверждения верны?

А)Перпендикуляр из точки к прямой короче любой наклонной из той же точки
Б)Все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от другой прямой
В)Расстояние между параллельными прямыми зависит от того, какую точку на прямой выбрать
Г)Точки плоскости на расстоянии 3 см от данной прямой образуют две параллельные ей прямые

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Перпендикуляр из точки к прямой короче любой наклонной из той же точки; Б) Все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от другой прямой; Г) Точки плоскости на расстоянии 3 см от данной прямой образуют две параллельные ей прямые

Расстояние между параллельными прямыми одинаково для всех точек — именно поэтому его можно ввести; остальные утверждения верны.

Построение треугольника по трём элементам

По каким трём элементам треугольник может НЕ определяться однозначно?

А)По двум сторонам и углу между ними
Б)По стороне и двум прилежащим к ней углам
В)По трём сторонам
Г)По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них

Показать ответ

Ответ: Г) По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них

Две стороны и угол не между ними могут дать два разных треугольника — окружность пересекает сторону угла в двух точках.

Построение треугольника по трём элементам

Две стороны треугольника 3 см и 8 см. Какое наибольшее целое число сантиметров может быть длиной третьей стороны?

Показать ответ

Ответ: 10

Третья сторона меньше суммы двух других, $$x < 3 + 8 = 11$$ , поэтому наибольшее целое — 10 см.