Что нужно показать, чтобы доказать неравенство A ≥qslant B методом разности?

Что A ≥ B при нескольких удачно выбранных значениях переменных

Что A и B положительны

Что A² ≥ B² при всех значениях переменных

Проверь себя: Неравенства

Числовые неравенства

Известно, что $$a - b = -0{,}5$$ . Какое утверждение верно?

А) $$a > b$$
Б) $$a < b$$
В) $$a = b$$
Г)Сравнить нельзя

Показать ответ

Ответ: Б) $$a < b$$

Разность $$a - b$$ отрицательна, значит, $$a < b$$ .

Числовые неравенства

Чему равна разность $$(n + 3)(n - 3) - n^2$$ при любом $$n$$ ?

Показать ответ

Ответ: -9

$$(n + 3)(n - 3) - n^2 = n^2 - 9 - n^2 = -9$$ , поэтому $$(n + 3)(n - 3) < n^2$$ при любом $$n$$ .

Свойства числовых неравенств

Известно, что $$x < y$$ . Какое неравенство обязательно верно?

А) $$-3x < -3y$$
Б) $$-3x > -3y$$
В) $$x - 3 > y - 3$$
Г) $$3x > 3y$$

Показать ответ

Ответ: Б) $$-3x > -3y$$

При умножении на отрицательное число $$-3$$ знак неравенства меняется на противоположный.

Свойства числовых неравенств

Известно, что $$a > b$$ и $$b > 5$$ . Какие утверждения верны?

А) $$a > 5$$
Б) $$a + 2 > b + 2$$
В) $$-a > -b$$
Г) $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $$a > 5$$ ; Б) $$a + 2 > b + 2$$ ; Г) $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

По транзитивности $$a > 5$$ ; прибавление числа знак не меняет; $$a$$ и $$b$$ положительны, поэтому $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$ ; а при умножении на $$-1$$ знак меняется, так что $$-a < -b$$ .

Сложение и умножение числовых неравенств

Какое неравенство получится, если сложить почленно $$3 < 7$$ и $$-4 < -1$$ ?

А)−1 < 6
Б)7 < 6
В)−1 < 8
Г)7 < 8

Показать ответ

Ответ: А) −1 < 6

$$3 + (-4) < 7 + (-1)$$ , то есть $$-1 < 6$$ .

Сложение и умножение числовых неравенств

Даны верные неравенства $$a < b$$ и $$c < d$$ . Какие действия с ними всегда дают верное неравенство?

А)Почленное сложение
Б)Почленное вычитание
В)Почленное умножение, если a, b, c, d положительны
Г)Почленное умножение при любых знаках чисел

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) Почленное сложение; В) Почленное умножение, если a, b, c, d положительны

Вычитать неравенства почленно нельзя: $$1 < 5$$ и $$0 < 10$$ дают неверное $$1 < -5$$ . Умножать можно только при положительных частях: $$-1 < 2$$ и $$-3 < 1$$ дают неверное $$3 < 2$$ .

Пересечение и объединение множеств

Чему равно пересечение множеств $\{1, 2, 3, 4\}$ и $\{3, 4, 5\}$ ?

А){1, 2, 3, 4, 5}
Б){3, 4}
В){1, 2, 5}
Г)Пустое множество

Показать ответ

Ответ: Б) {3, 4}

В пересечение входят только общие элементы — числа $$3$$ и $$4$$ .

Пересечение и объединение множеств

Сколько элементов в объединении множеств $\{a, b, c, d\}$ и $\{c, d, e\}$ ?

Показать ответ

Ответ: 5

$\{a, b, c, d\} \cup \{c, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$ — общие $$c$$ и $$d$$ записываются один раз.

Числовые промежутки

Какой промежуток задаёт неравенство $x \geqslant 4$ ?

А)[4; +∞)
Б)(4; +∞)
В)(−∞; 4]
Г)[4; +∞]

Показать ответ

Ответ: А) [4; +∞)

Неравенство нестрогое — у числа 4 квадратная скобка; у бесконечности скобка всегда круглая.

Числовые промежутки

Как называется промежуток $(-2;\ 7)$ ?

А)Числовой отрезок
Б)Интервал
В)Полуинтервал
Г)Открытый числовой луч

Показать ответ

Ответ: Б) Интервал

Оба конца не входят и обе скобки круглые — это интервал.

Решение неравенств с одной переменной

Какое из чисел является решением неравенства $$3x - 1 > 5$$ ?

А)0
Б)1
В)2
Г)3

Показать ответ

Ответ: Г) 3

Решение неравенства — $$x > 2$$ . Из предложенных чисел больше 2 только 3: $3 \cdot 3 - 1 = 8 > 5$ .

Решение неравенств с одной переменной

Каково множество решений неравенства $$-2x < 6$$ ?

А)(−∞; −3)
Б)(−3; +∞)
В)(−∞; 3)
Г)(3; +∞)

Показать ответ

Ответ: Б) (−3; +∞)

Делим обе части на $$-2$$ и меняем знак на противоположный: $$x > -3$$ , то есть $(-3;\ +\infty)$ .

Решение систем неравенств с одной переменной

Каково решение системы $$x > 2$$ , $$x < 5$$ ?

А)Интервал (2; 5)
Б)Луч (2; +∞)
В)Луч (−∞; 5)
Г)Решений нет

Показать ответ

Ответ: А) Интервал (2; 5)

Решение системы — числа, удовлетворяющие обоим неравенствам, то есть общая часть лучей — интервал $(2;\ 5)$ .

Решение систем неравенств с одной переменной

Сколько целых решений имеет система $x \geqslant -2$ , $$x < 3$$ ?

Показать ответ

Ответ: 5

Решение — $[-2;\ 3)$ ; целые числа в нём $$-2, -1, 0, 1, 2$$ , число 3 не входит.

Доказательство неравенств

Что нужно показать, чтобы доказать неравенство $A \geqslant B$ методом разности?

А)Что A ≥ B при нескольких удачно выбранных значениях переменных
Б)Что разность A − B неотрицательна при всех допустимых значениях
В)Что A и B положительны
Г)Что A² ≥ B² при всех значениях переменных

Показать ответ

Ответ: Б) Что разность A − B неотрицательна при всех допустимых значениях

По определению $A \geqslant B$ означает, что $A - B \geqslant 0$ . Проверка на нескольких числах ничего не доказывает, а сравнение квадратов годится только для неотрицательных частей.