Какие две фигуры в геометрии называют равными?

Фигуры, которые можно совместить наложением

Фигуры, нарисованные одним цветом

Фигуры, у которых одинаковое число вершин

Фигуры, расположенные рядом

Какие утверждения верны?

Биссектриса угла — это луч, выходящий из его вершины

Середина отрезка делит его на два равных отрезка

Любой луч внутри угла — его биссектриса

У угла 1 стороны нарисованы длиной 2 см, у угла 2 — длиной 10 см. При наложении стороны углов полностью совместились. Что верно?

Угол 2 больше, потому что его стороны длиннее

Углы нельзя сравнить

Сравнение отрезков и углов — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Луч и угол

Коротко о главном

Две фигуры равны, если их можно совместить наложением. Из двух отрезков (углов) меньше тот, который составляет часть другого. Середина отрезка делит его пополам, а биссектриса — луч из вершины угла, который делит угол на два равных угла.

C \text{ — середина } AB: \; AC = CB; \qquad l \text{ — биссектриса } \angle hk: \; \angle hl = \angle lk

Подробное объяснение

Возьмите два одинаковых листа бумаги и положите один на другой. Края совпадут полностью — листы одинаковые. Именно так в геометрии и проверяют равенство фигур.

Равные фигуры

Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением. Представьте, что одну фигуру перерисовали на кальку, а потом двигают кальку и, если нужно, переворачивают. Если копия совпала со второй фигурой во всех точках, фигуры равны. При этом неважно, где фигуры нарисованы и как повёрнуты.

Как сравнить два отрезка

Накладываем один отрезок на другой так, чтобы совпали два конца, например $$A$$ и $$A_1$$ , а сами отрезки пошли в одну сторону.

Если совпали и вторые концы, отрезки равны.
Если не совпали, меньше тот отрезок, который оказался частью другого. Пишут так: $$AC < AB$$ .

Середина отрезка — точка, которая делит его на два равных отрезка. Если $$C$$ — середина $$AB$$ , то $$AC = CB$$ , и каждый из них в два раза меньше всего отрезка. На чертежах равные отрезки помечают одинаковыми засечками.

Слева отрезок AB, точка C делит его на две части с одинаковыми засечками. Справа угол hk с вершиной O, луч l делит его на два угла, отмеченных одинаковыми дугами. — Точка C — середина отрезка AB, AC = CB. Луч l — биссектриса угла hk, ∠hl = ∠lk.

Как сравнить два угла

Углы накладывают так, чтобы совпали вершины и одна сторона, а вторые стороны оказались по одну сторону от совпавшей.

Если вторые стороны тоже совпали, углы равны.
Если нет, меньше тот угол, который оказался частью другого.

Два угла с общей вершиной O и общей стороной OA. Сторона OB меньшего угла лежит внутри большего угла AOC, поэтому угол AOB составляет часть угла AOC. — После наложения угол AOB оказался частью угла AOC, значит, ∠AOB < ∠AOC.

Важно: стороны угла — это лучи, они бесконечны. Длина линий на рисунке ничего не говорит о величине угла. Маленький «раскрытый» угол может быть больше длинного «узкого».

Неразвёрнутый угол всегда составляет часть развёрнутого, поэтому развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого. Все развёрнутые углы равны между собой.

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Если $$l$$ — биссектриса угла $$hk$$ , то $\angle hl = \angle lk$ , и каждый из этих углов в два раза меньше угла $$hk$$ . Равные углы на чертеже отмечают одинаковыми дугами.

Как решать задачи

Сделайте чертёж и отметьте все точки и лучи в том порядке, который дан в условии.
Если в условии середина или биссектриса — сразу поставьте засечки или дуги на равных частях.
Чтобы сравнить фигуры, найдите, какая из них составляет часть другой: часть всегда меньше целого.
Если даны длины или градусы, запишите, из каких частей состоит нужный отрезок или угол, и сложите (вычтите) их.

Разобранные примеры

База

Луч внутри угла

Условие

Луч $$OM$$ — биссектриса угла $$AOB$$ . Луч $$OK$$ проходит внутри угла $$AOM$$ . Сравните углы $$AOK$$ и $$AOB$$ . Может ли $$OK$$ быть биссектрисой угла $$AOB$$ ?

Решение

Луч $$OK$$ лежит внутри угла $$AOM$$ , а угол $$AOM$$ — часть угла $$AOB$$ . Значит, угол $$AOK$$ — часть угла $$AOB$$ , и $\angle AOK < \angle AOB$ .

Биссектриса угла $$AOB$$ — луч $$OM$$ . Луч $$OK$$ с ним не совпадает, и $\angle AOK < \angle AOM = \angle MOB < \angle KOB$ . Углы $$AOK$$ и $$KOB$$ не равны, поэтому $$OK$$ не биссектриса.

Ответ: ∠AOK < ∠AOB; OK не может быть биссектрисой угла AOB.

Средний

Общая середина

Условие

На прямой по порядку отмечены точки $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ , $$N$$ , причём $$KL = MN$$ . Точка $$P$$ — середина отрезка $$LM$$ . Докажите, что $$P$$ — середина отрезка $$KN$$ .

Решение

Дано: $$KL = MN$$ , $$LP = PM$$ . Доказать: $$KP = PN$$ .

Отрезок $$KP$$ составлен из отрезков $$KL$$ и $$LP$$ , а отрезок $$PN$$ — из отрезков $$PM$$ и $$MN$$ . По условию $$KL = MN$$ и $$LP = PM$$ . Если сложить попарно равные отрезки, получатся равные отрезки, поэтому $$KP = PN$$ . Точка $$P$$ лежит на отрезке $$KN$$ и делит его пополам — это его середина.

Ответ: P — середина отрезка KN.

Сложный

Биссектриса внутри биссектрисы

Условие

Лучи $$OB$$ и $$OC$$ лежат внутри угла $$AOD$$ (порядок лучей: $$OA$$ , $$OB$$ , $$OC$$ , $$OD$$ ), причём $\angle AOB = \angle COD = 25^\circ$ . Луч $$OM$$ — биссектриса угла $$BOC$$ , $\angle BOM = 15^\circ$ . Найдите $\angle AOM$ и $\angle MOD$ . Является ли $$OM$$ биссектрисой угла $$AOD$$ ?

Дано

$\angle AOB = \angle COD = 25^\circ$
$\angle BOM = \angle MOC = 15^\circ$

Найти

$\angle AOM$
$\angle MOD$

Решение

Луч $$OB$$ лежит внутри угла $$AOM$$ , поэтому $\angle AOM = \angle AOB + \angle BOM = 25^\circ + 15^\circ = 40^\circ$ .

Луч $$OC$$ лежит внутри угла $$MOD$$ , поэтому $\angle MOD = \angle MOC + \angle COD = 15^\circ + 25^\circ = 40^\circ$ .

Углы $$AOM$$ и $$MOD$$ равны, значит, $$OM$$ — биссектриса угла $$AOD$$ .

Ответ: ∠AOM = ∠MOD = 40°; да, OM — биссектриса угла AOD.

Типичные ошибки

Считают больше тот угол, у которого длиннее стороны

Почему неверно

Стороны угла — лучи, у них нет длины. Линии на рисунке можно продлить сколько угодно, а угол от этого не изменится. Величина угла зависит только от того, насколько «раскрыты» его стороны.

Как правильно

Сравнивайте углы наложением: совместите вершины и одну сторону. Меньше тот угол, вторая сторона которого оказалась внутри другого угла.

Называют биссектрисой любой луч внутри угла

Почему неверно

Любой луч из вершины, идущий внутри угла, делит его на два угла, но обычно на неравные. Биссектриса — только тот луч, который делит угол на два равных угла. Так же и серединой отрезка будет не любая его точка, а только та, что делит его пополам.

Как правильно

Чтобы назвать луч биссектрисой, проверьте два условия: он выходит из вершины угла и получившиеся углы равны.

Неправильно совмещают углы при наложении

Почему неверно

Если при наложении вторые стороны углов оказались по разные стороны от общей стороны, то ни один угол не будет частью другого, и сравнить их так нельзя.

Как правильно

Накладывайте углы так, чтобы совпали вершины и одна сторона, а вторые стороны оказались по одну сторону от неё. Тогда сразу видно, равны углы или какой из них меньше.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$ , длина которого 14 см. Найдите длину отрезка $$AM$$ .

Подсказка

Середина делит отрезок на две равные части.

Решение

Так как $$M$$ — середина $$AB$$ , то $$AM = MB$$ и вместе они составляют весь отрезок. Значит, $AM = \dfrac{14}{2} = 7$ см.

Ответ

AM = 7 см

База Задача 2

Луч $$OC$$ — биссектриса угла $$AOB$$ , $\angle AOC = 35^\circ$ . Найдите $\angle AOB$ .

Подсказка

Биссектриса делит угол на два равных угла.

Решение

Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle COB = \angle AOC = 35^\circ$ , а $\angle AOB = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$ .

Ответ

∠AOB = 70°

Средний Задача 3

Точка $$C$$ — середина отрезка $$AB$$ длиной 12 см, точка $$D$$ — середина отрезка $$AC$$ . Найдите длину отрезка $$DB$$ .

Подсказка

Найдите сначала $$AC$$ и $$CB$$ , потом $$DC$$ .

Решение

$AC = CB = \dfrac{12}{2} = 6$ см. Точка $$D$$ — середина $$AC$$ , поэтому $DC = \dfrac{6}{2} = 3$ см. Точка $$C$$ лежит между $$D$$ и $$B$$ , значит, $$DB = DC + CB = 3 + 6 = 9$$ см.

Ответ

DB = 9 см

Средний Задача 4

Луч $$OC$$ — биссектриса угла $$AOB$$ , равного $80^\circ$ , а луч $$OD$$ — биссектриса угла $$AOC$$ . Найдите угол $$DOB$$ .

Подсказка

Угол $$DOB$$ состоит из углов $$DOC$$ и $$COB$$ .

Решение

$\angle AOC = \angle COB = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ$ . Луч $$OD$$ делит угол $$AOC$$ пополам, поэтому $\angle DOC = 20^\circ$ . Луч $$OC$$ лежит внутри угла $$DOB$$ , значит, $\angle DOB = \angle DOC + \angle COB = 20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$ .

Ответ

∠DOB = 60°

Сложный Задача 5

На прямой по порядку отмечены точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ , причём $$AB = CD$$ . Докажите, что $$AC = BD$$ .

Подсказка

Каждый из отрезков $$AC$$ и $$BD$$ состоит из двух частей, одна из которых у них общая.

Решение

Точка $$B$$ лежит между $$A$$ и $$C$$ , поэтому отрезок $$AC$$ составлен из отрезков $$AB$$ и $$BC$$ . Точка $$C$$ лежит между $$B$$ и $$D$$ , поэтому $$BD$$ составлен из отрезков $$BC$$ и $$CD$$ . Отрезок $$BC$$ у них общий, а $$AB = CD$$ по условию. Если к равным отрезкам приложить один и тот же отрезок, получатся равные отрезки. Значит, $$AC = BD$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AC = BD

Сложный Задача 6

Угол $$AOB$$ развёрнутый. Луч $$OC$$ делит его на два угла, $$OM$$ — биссектриса угла $$AOC$$ , $$ON$$ — биссектриса угла $$COB$$ . Найдите угол $$MON$$ .

Подсказка

Обозначьте углы $$AOC$$ и $$COB$$ буквами и вспомните, чему равна их сумма.

Решение

Пусть $\angle AOC = x$ , тогда $\angle COB = 180^\circ - x$ . Биссектрисы делят их пополам: $\angle MOC = \dfrac{x}{2}$ , $\angle CON = \dfrac{180^\circ - x}{2}$ . Луч $$OC$$ лежит внутри угла $$MON$$ , поэтому $\angle MON = \dfrac{x}{2} + \dfrac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ$ . Ответ не зависит от того, где проведён луч $$OC$$ .

Ответ

∠MON = 90°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги два угла разной «ширины», у одного стороны сделайте длинными, у другого короткими. Попросите ребёнка угадать, какой угол больше, а затем наложить их: совместить вершины и одну сторону. Потом сложите бумажный угол пополам так, чтобы стороны совпали, — линия сгиба и есть биссектриса. Точно так же, сложив полоску бумаги пополам, найдите середину отрезка.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как узнать, равны ли два отрезка, не измеряя их? 2) Чем биссектриса отличается от любого другого луча внутри угла? 3) Почему развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого?

На что обратить внимание. Ребёнок не должен судить о величине угла по длине нарисованных сторон. Середина — это точка, а биссектриса — луч, выходящий из вершины угла, а не отрезок внутри него.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 5	—
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 6	21, 22, 23, 24, 25, 26