Луч обозначен MK. Какая точка — начало луча?

Начало никак не обозначено

Какой угол называется развёрнутым?

Угол, обе стороны которого лежат на одной прямой

Угол, стороны которого перпендикулярны

Угол, у которого нет вершины

Любой угол, начерченный на развороте тетради

Точка лежит на стороне угла. Где она находится?

Ни внутри, ни вне угла — на самом угле

Во внутренней области угла

Это зависит от величины угла

Луч и угол — 7 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Точки, прямые, отрезки

Коротко о главном

Луч — часть прямой, которая начинается в точке и уходит бесконечно в одну сторону. Угол — фигура из точки (вершины) и двух лучей (сторон), которые из неё исходят. Если стороны лежат на одной прямой, угол развёрнутый.

Подробное объяснение

Включите фонарик в тёмной комнате: свет начинается у лампочки и уходит вперёд, пока не упрётся в стену. Если мысленно убрать стену, получится луч — у него есть начало, но нет конца.

Луч

Отметим на прямой точку $$O$$ . Она делит прямую на две части, и каждая часть вместе с точкой $$O$$ — луч, исходящий из точки $$O$$ . Точка $$O$$ — начало луча. Эти два луча — продолжения друг друга.

Луч обозначают двумя способами:

одной маленькой латинской буквой — луч $$h$$ ;
двумя большими буквами — луч $$OA$$ . Первая буква — всегда начало, вторая — любая точка на луче.

Поэтому лучи $$OA$$ и $$AO$$ — разные: у них разные начала, и идут они в разные стороны. А если точки $$A$$ и $$B$$ лежат на луче с началом $$O$$ , то $$OA$$ и $$OB$$ — один и тот же луч, просто названный по-разному.

Угол

Угол — фигура из точки и двух лучей, исходящих из неё. Лучи — стороны угла, их общее начало — вершина. Угол с вершиной $$O$$ , сторонами $$h$$ и $$k$$ и точками $$A$$ на $$h$$ и $$B$$ на $$k$$ записывают тремя способами: $\angle hk$ , $\angle AOB$ , $\angle O$ . В записи из трёх букв вершина стоит посередине. Запись одной буквой годится, только если из вершины не выходят другие лучи, иначе непонятно, какой угол имеется в виду.

Если обе стороны лежат на одной прямой, угол называется развёрнутым: каждая его сторона — продолжение другой.

Внутри и вне угла

Угол делит плоскость на две части. У неразвёрнутого угла меньшая, «раскрытая между сторонами» часть — внутренняя область, другая — внешняя. Точка может лежать внутри угла, вне угла или на его стороне. У развёрнутого угла внутренней можно считать любую из двух полуплоскостей.

Неразвёрнутый угол AOB, его внутренняя область закрашена. Точка P лежит внутри угла, точка Q — вне его. Луч OC проходит внутри угла и делит его на углы AOC и COB. — Луч OC проходит внутри угла AOB и делит его на два угла — AOC и COB.

Луч делит угол

Если луч $$OC$$ исходит из вершины неразвёрнутого угла $$AOB$$ и проходит внутри него, он делит угол на два угла — $\angle AOC$ и $\angle COB$ . Развёрнутый угол делит на два любой луч из вершины, не совпадающий с его сторонами.

Как решать задачи

Начертите рисунок и подпишите все точки и лучи.
Для луча из двух букв сначала найдите начало — первую букву, затем направление — к второй букве.
Чтобы назвать все углы, перебирайте пары лучей по порядку, не повторяясь; для $$n$$ лучей пар $\dfrac{n(n-1)}{2}$ .
Проверьте, не лежат ли какие-то два луча на одной прямой — такая пара даёт развёрнутый угол.
Чтобы понять, делит ли луч угол, посмотрите, проходит ли он во внутренней области угла.

Разобранные примеры

База

Совпадающие лучи

Условие

На прямой по порядку отмечены точки $$P$$ , $$Q$$ , $$R$$ . Совпадают ли лучи $$PQ$$ и $$PR$$ ? А лучи $$QP$$ и $$QR$$ ?

Решение

Лучи $$PQ$$ и $$PR$$ начинаются в $$P$$ и идут в сторону $$Q$$ и $$R$$ — в одну сторону, потому что $$Q$$ и $$R$$ лежат по одну сторону от $$P$$ . Это один луч.

Лучи $$QP$$ и $$QR$$ начинаются в $$Q$$ , но $$P$$ и $$R$$ лежат по разные стороны от $$Q$$ . Лучи идут в противоположные стороны — они не совпадают, а являются продолжениями друг друга.

Ответ: PQ и PR совпадают; QP и QR не совпадают — это продолжения друг друга.

Средний

Сколько углов на рисунке

Условие

Из точки $$O$$ проведены лучи $$OA$$ , $$OB$$ , $$OC$$ , $$OD$$ , причём лучи $$OA$$ и $$OC$$ лежат на одной прямой. Сколько всего углов на рисунке и сколько из них неразвёрнутых?

Решение

Перебираем пары: $$AOB$$ , $$AOC$$ , $$AOD$$ , $$BOC$$ , $$BOD$$ , $$COD$$ — всего $$6$$ углов. Угол $$AOC$$ развёрнутый, так как его стороны лежат на одной прямой. Неразвёрнутых $$6 - 1 = 5$$ .

Ответ: 6 углов, из них 5 неразвёрнутых.

Сложный

Делит ли луч угол

Условие

Угол $$MON$$ неразвёрнутый. Луч $$OK$$ — продолжение луча $$OM$$ . Делит ли луч $$OK$$ угол $$MON$$ на два угла?

Решение

Лучи $$OM$$ и $$OK$$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle MOK$ развёрнутый, и луч $$ON$$ лежит по одну сторону от этой прямой. Внутренняя область неразвёрнутого угла $$MON$$ — «раскрытие» между $$OM$$ и $$ON$$ , а луч $$OK$$ идёт от $$OM$$ в противоположную сторону, то есть во внешней области угла $$MON$$ . Значит, он угол $$MON$$ не делит.

Ответ: Нет, луч OK лежит вне угла MON.

Типичные ошибки

Путают начало луча

Почему неверно

Ученик считает, что $$AB$$ и $$BA$$ — один и тот же луч, как с отрезками. Но у луча буквы не равноправны: первая — начало.

Как правильно

Отрезки $$AB$$ и $$BA$$ совпадают, а лучи $$AB$$ и $$BA$$ — нет: у них разные начала и противоположные направления. Читайте луч так: «из точки $$A$$ через точку $$B$$ ».

Ставят вершину не в середину

Почему неверно

Угол с вершиной $$O$$ записывают как $\angle OAB$ или $\angle ABO$ . Такая запись означает угол с вершиной $$A$$ или $$B$$ — совсем другой угол.

Как правильно

В записи из трёх букв вершина — всегда средняя буква: $\angle AOB$ или $\angle BOA$ , это один и тот же угол.

Забывают углы при подсчёте

Почему неверно

При трёх и больше лучах ученики называют только «соседние» углы, между соседними лучами, и пропускают углы из двух соседних частей.

Как правильно

Перебирайте пары лучей систематически: первый луч со всеми остальными, второй — со всеми, кроме первого, и так далее.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

На прямой отмечена точка O. Сколько лучей с началом в точке O лежит на этой прямой?

Подсказка

Точка делит прямую на части. Сколько их?

Решение

Точка $$O$$ делит прямую на две части, и каждая часть — луч с началом $$O$$ . Значит, таких лучей два, и они являются продолжениями друг друга.

Ответ

2 луча

База Задача 2

Из точки O проведены три луча a, b и c, никакие два из них не лежат на одной прямой. Сколько углов образуют эти лучи? Назовите их.

Подсказка

Угол образуют любые два луча с общим началом.

Решение

Каждый угол задаётся парой лучей. Пары такие — $$a$$ и $$b$$ , $$a$$ и $$c$$ , $$b$$ и $$c$$ . Получаем углы $\angle ab$ , $\angle ac$ , $\angle bc$ .

Ответ

3 угла — ∠ab, ∠ac, ∠bc

Средний Задача 3

На прямой по порядку отмечены точки A, B, C, D. Какие из лучей BA, BC, BD, CA, CB совпадают? Какой луч является продолжением луча BA?

Подсказка

Совпадающие лучи имеют общее начало и идут в одну сторону.

Решение

Лучи $$BC$$ и $$BD$$ начинаются в точке $$B$$ и идут вправо, к $$C$$ и $$D$$ — это один и тот же луч. Лучи $$CA$$ и $$CB$$ начинаются в $$C$$ , но $$CA$$ идёт к $$A$$ (влево), а $$CB$$ — тоже влево, к $$B$$ : они тоже совпадают. Луч $$BA$$ идёт из $$B$$ влево, его продолжение — луч из $$B$$ вправо, то есть $$BC$$ (он же $$BD$$ ).

Ответ

BC и BD совпадают, CA и CB совпадают; продолжение луча BA — луч BC

Средний Задача 4

Из точки O проведены четыре луча, никакие два не лежат на одной прямой. Сколько всего углов они образуют?

Подсказка

Выпишите пары лучей по порядку, не повторяясь.

Решение

Обозначим лучи $$a, b, c, d$$ . Пары — $$ab, ac, ad, bc, bd, cd$$ , всего $$6$$ . Можно и посчитать — каждый из 4 лучей образует угол с 3 другими, но так каждый угол посчитан дважды, поэтому $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

Ответ

6 углов

Сложный Задача 5

Три прямые пересекаются в одной точке O. Сколько неразвёрнутых углов образуют лучи с началом O, лежащие на этих прямых?

Подсказка

Сначала найдите число лучей, затем число пар, а потом уберите развёрнутые углы.

Решение

Каждая прямая даёт два луча с началом $$O$$ , всего $$6$$ лучей. Пар лучей $\dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15$ . Развёрнутый угол образуют два луча одной прямой — таких пар $$3$$ . Неразвёрнутых углов $$15 - 3 = 12$$ .

Ответ

12 углов

Сложный Задача 6

Угол AOB неразвёрнутый. Луч OC проходит внутри угла AOB, а луч OD — внутри угла AOC. Делит ли луч OD угол AOB на два угла?

Подсказка

Где лежит внутренняя область угла AOC по отношению к углу AOB?

Решение

Луч $$OC$$ лежит внутри $\angle AOB$ , поэтому весь $\angle AOC$ с его внутренней областью — часть $\angle AOB$ . Луч $$OD$$ проходит внутри $\angle AOC$ , значит, и внутри $\angle AOB$ . Луч, который исходит из вершины и проходит внутри неразвёрнутого угла, делит его на два угла — $\angle AOD$ и $\angle DOB$ .

Ответ

Да, делит — на углы AOD и DOB

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол два карандаша так, чтобы их концы касались: это угол, точка касания — вершина, карандаши — стороны (лучи, только «обрезанные» — на самом деле они бесконечны). Разведите карандаши в одну линию — получится развёрнутый угол. Положите между ними монету — она «внутри угла», за карандашом — «вне угла». Третий карандаш из той же точки между двумя первыми делит угол на два.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем луч отличается от отрезка? 2) Совпадают ли лучи $$AB$$ и $$BA$$ ? 3) Сколько углов образуют три луча с общим началом?

На что обратить внимание. Ребёнок должен твёрдо знать, что у луча первая буква — начало, а у угла средняя буква — вершина. На этих обозначениях держатся почти все задачи курса.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 3	11
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 4	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20