Какое действие в выражении a/b-c/d·m/n выполняется первым?

Всё равно, результат одинаковый

Проверь себя: Рациональные дроби

Рациональные выражения

Какое из выражений дробное?

А) $\dfrac{x}{3} + 1$
Б) $\dfrac{3}{x} + 1$
В) $\dfrac{x + 1}{3}$
Г) $0{,}5x^2$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{3}{x} + 1$

Только в $\dfrac{3}{x} + 1$ есть деление на выражение с переменной; в остальных делят на число или не делят вовсе.

Рациональные выражения

Какие значения $$x$$ недопустимы для выражения $\dfrac{x + 1}{x(x - 5)}$ ?

А) $$x = 0$$
Б) $$x = -1$$
В) $$x = 5$$
Г) $$x = 1$$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $$x = 0$$ ; В) $$x = 5$$

Знаменатель $$x(x - 5)$$ равен нулю при $$x = 0$$ и $$x = 5$$ . При $$x = -1$$ нулю равен числитель — это допустимо.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Какое выражение тождественно равно дроби $\dfrac{x-y}{3-x}$ ?

А) $\dfrac{y-x}{x-3}$
Б) $\dfrac{x-y}{x-3}$
В) $\dfrac{y-x}{3-x}$
Г) $\dfrac{x+y}{x+3}$

Показать ответ

Ответ: А) $\dfrac{y-x}{x-3}$

Знаки поменяли и в числителе, и в знаменателе — дробь не изменилась. Во втором и третьем вариантах знак сменён один раз, получается противоположная дробь.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Какие дроби можно сократить?

А) $\dfrac{a+b}{a}$
Б) $\dfrac{ab}{a}$
В) $\dfrac{a^2-b^2}{a+b}$
Г) $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{ab}{a}$ ; В) $\dfrac{a^2-b^2}{a+b}$

Сокращают только на общий множитель. У $\dfrac{ab}{a}$ это $$a$$ , у $\dfrac{a^2-b^2}{a+b}$ — множитель $$a + b$$ , так как $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$ . Сумма $$a^2 + b^2$$ на множители не раскладывается.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чему равна сумма $\dfrac{a}{k} + \dfrac{b}{k}$ ?

А) $\dfrac{a + b}{2k}$
Б) $\dfrac{a + b}{k}$
В) $\dfrac{ab}{k}$
Г) $\dfrac{a + b}{k^2}$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{a + b}{k}$

Числители складываем, знаменатель оставляем тем же — удваивать его нельзя.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чему равна разность $\dfrac{x}{y} - \dfrac{x - 3}{y}$ ?

А) $\dfrac{2x - 3}{y}$
Б) $-\dfrac{3}{y}$
В) $\dfrac{3}{y}$
Г) $$0$$

Показать ответ

Ответ: В) $\dfrac{3}{y}$

$$x - (x - 3) = x - x + 3 = 3$$ , поэтому разность равна $\dfrac{3}{y}$ .

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Какой наименьший общий знаменатель у дробей $\dfrac{1}{6a^2b}$ и $\dfrac{1}{4ab^3}$ ?

А) $$24a^3b^4$$
Б) $$12a^2b^3$$
В) $$12ab$$
Г) $$10a^2b^3$$

Показать ответ

Ответ: Б) $$12a^2b^3$$

Коэффициент — НОК чисел 6 и 4, то есть 12; каждая переменная — с наибольшим показателем, $$a^2$$ и $$b^3$$ .

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Общий знаменатель дробей $\dfrac{5}{x - y}$ и $\dfrac{1}{x^2 - y^2}$ равен $$x^2 - y^2$$ . Каков дополнительный множитель первой дроби?

А) $$x + y$$
Б) $$x - y$$
В) $$x^2 - y^2$$
Г)Он равен 1

Показать ответ

Ответ: А) $$x + y$$

$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$ , и в знаменателе первой дроби не хватает множителя $$x + y$$ .

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Чему равно произведение $\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{6}{x^2}$ ?

А) $\dfrac{2}{x}$
Б) $$2x$$
В) $\dfrac{6}{3x}$
Г) $\dfrac{x+6}{3+x^2}$

Показать ответ

Ответ: А) $\dfrac{2}{x}$

$\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{6}{x^2}=\dfrac{6x}{3x^2}=\dfrac{2}{x}$ . Вариант $\dfrac{6}{3x}$ верен, но не сокращён до конца.

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Чему равно $\left(-\dfrac{a}{b^2}\right)^3$ ?

А) $-\dfrac{a^3}{b^6}$
Б) $\dfrac{a^3}{b^6}$
В) $-\dfrac{a^3}{b^5}$
Г) $-\dfrac{a^3}{b^2}$

Показать ответ

Ответ: А) $-\dfrac{a^3}{b^6}$

Нечётная степень сохраняет знак, а $$(b^2)^3=b^6$$ — показатели перемножаются.

Деление дробей

Чему равно частное $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ ?

А) $\dfrac{ac}{bd}$
Б) $\dfrac{ad}{bc}$
В) $\dfrac{bc}{ad}$
Г) $\dfrac{bd}{ac}$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{ad}{bc}$

Первую дробь умножают на дробь, обратную второй, — $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$ .

Деление дробей

Чему равно $\dfrac{2x}{y} : x$ при $x \ne 0$ ?

А) $\dfrac{2x^2}{y}$
Б) $$2y$$
В) $\dfrac{2}{y}$
Г) $\dfrac{y}{2}$

Показать ответ

Ответ: В) $\dfrac{2}{y}$

Делитель $$x$$ записывают как $\dfrac{x}{1}$ , тогда $\dfrac{2x}{y} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{y}$ .

Преобразование рациональных выражений

Какое действие в выражении $\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}\cdot\dfrac{m}{n}$ выполняется первым?

А)Вычитание
Б)Умножение
В)Всё равно, результат одинаковый

Показать ответ

Ответ: Б) Умножение

Скобок нет, поэтому умножение выполняется раньше вычитания — как с числами.

Функция y = k/x и её график

В каких координатных четвертях расположен график функции $y = -\dfrac{5}{x}$ ?

А)В I и III
Б)Во II и IV
В)В I и II
Г)В III и IV

Показать ответ

Ответ: Б) Во II и IV

Здесь $$k = -5 < 0$$ , поэтому $$x$$ и $$y$$ всегда разных знаков — ветви во II и IV четвертях.

Представление дроби в виде суммы дробей

Чему равна дробь $\dfrac{4x+1}{x+2}$ после выделения целой части?

А) $4 + \dfrac{1}{x+2}$
Б) $4 - \dfrac{7}{x+2}$
В) $4 + \dfrac{7}{x+2}$
Г) $4x + \dfrac{1}{2}$

Показать ответ

Ответ: Б) $4 - \dfrac{7}{x+2}$

$$4x + 1 = 4(x+2) - 7$$ , поэтому $\dfrac{4x+1}{x+2} = 4 - \dfrac{7}{x+2}$ .