Площадь прямоугольника

Плитку на полу ванной обычно не пересчитывают по одной: считают, сколько плиток в одном ряду и сколько рядов, и перемножают. На этой идее и держится формула площади прямоугольника.

Формула и её смысл

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: \(S = ab\).

Здесь \(a\) и \(b\) — длины двух сторон, выходящих из одной вершины (длина и ширина). Они должны быть выражены в одной единице: тогда площадь получится в квадратных единицах того же названия — сантиметры дают \(\text{см}^2\), метры — \(\text{м}^2\).

Если стороны — целые числа, например 5 и 3, прямоугольник разбивается на 3 ряда по 5 единичных квадратов, всего \(5 \cdot 3 = 15\). Но формула верна и для дробных сторон, и для сторон вроде \(2\sqrt{2}\). Это доказывают иначе.

Доказательство

Пусть у прямоугольника стороны \(a\) и \(b\), а площадь \(S\). Достроим его до квадрата со стороной \(a + b\) (см. рисунок): к прямоугольнику приставим квадрат со стороной \(a\), квадрат со стороной \(b\) и ещё один такой же прямоугольник.

1. Площадь большого квадрата по свойству площади квадрата равна \((a + b)^2\).
2. С другой стороны, он составлен без наложений из двух равных прямоугольников (площадь каждого \(S\) — равные фигуры имеют равные площади) и двух квадратов с площадями \(a^2\) и \(b^2\).
3. По свойству сложения площадей \((a + b)^2 = S + S + a^2 + b^2\).
4. Раскроем скобки: \(a^2 + 2ab + b^2 = 2S + a^2 + b^2\), откуда \(2S = 2ab\) и \(S = ab\).

Обратные задачи

Из формулы \(S = ab\) можно найти сторону, если известны площадь и другая сторона: \(b = \dfrac{S}{a}\). Квадрат — частный случай прямоугольника с \(a = b\), и формула превращается в \(S = a^2\).

Площадь и периметр — не одно и то же

Периметр \(P = 2(a + b)\) — длина «забора» вокруг фигуры, площадь — «сколько внутри». Прямоугольники с одним и тем же периметром могут иметь разную площадь: при периметре 20 см прямоугольник \(9 \times 1\) имеет площадь 9 \(\text{см}^2\), а квадрат \(5 \times 5\) — 25 \(\text{см}^2\). Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшая площадь у квадрата.

Как решать задачи

1. Переведите стороны в одну единицу измерения.
2. Если стороны не даны прямо, найдите их: через периметр (\(a + b = P : 2\)), через отношение сторон (обозначьте меньшую \(x\)).
3. Посчитайте \(S = ab\) или, наоборот, найдите сторону \(b = S : a\).
4. Сложную фигуру разбейте на прямоугольники или дополните до прямоугольника и вычтите лишнее.
5. В задачах «сколько плиток» делите площадь на площадь одной плитки и проверяйте, укладываются ли плитки целым числом по каждой стороне.