С чего начать решение системы \begincases x² + y² = 10, \ x - y = 2 \endcases способом подстановки?

Сложить уравнения

Возвести второе уравнение в квадрат

Выразить x из первого уравнения

Проверь себя: Уравнения и системы уравнений

Неполные квадратные уравнения

Какое из уравнений — неполное квадратное?

А) $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$
Б) $$x^2 - 5x = 0$$
В) $$3x - 6 = 0$$
Г) $$x^3 - x = 0$$

Показать ответ

Ответ: Б) $$x^2 - 5x = 0$$

В уравнении $$x^2 - 5x = 0$$ коэффициент $a = 1 \ne 0$ , а свободный член $$c = 0$$ . В первом уравнении все коэффициенты отличны от нуля, третье — линейное, четвёртое — третьей степени.

Неполные квадратные уравнения

Какие уравнения не имеют корней?

А) $$x^2 + 4 = 0$$
Б) $$x^2 - 4 = 0$$
В) $$x^2 + 4x = 0$$
Г) $$-3x^2 - 12 = 0$$

Правильных ответов несколько.

Показать ответ

Ответ: А) $$x^2 + 4 = 0$$ ; Г) $$-3x^2 - 12 = 0$$

$$x^2 = -4$$ корней не имеет. Из $$-3x^2 - 12 = 0$$ получаем $$x^2 = -4$$ — тоже нет корней. У $$x^2 - 4 = 0$$ корни $\pm 2$ , у $$x^2 + 4x = 0$$ — корни $$0$$ и $$-4$$ .

Формула корней квадратного уравнения

Чему равен дискриминант уравнения $$2x^2 - 3x - 5 = 0$$ ?

А)−31
Б)31
В)49
Г)1

Показать ответ

Ответ: В) 49

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$ .

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Ширину прямоугольника обозначили за $$x$$ и получили уравнение с корнями $$-8$$ и $$5$$ . Чему равна ширина?

А)−8
Б)5
В)−8 или 5
Г)Задача не имеет решения

Показать ответ

Ответ: Б) 5

Ширина — длина отрезка, она не может быть отрицательной, поэтому корень $$-8$$ отбрасываем.

Теорема Виета

Чему равна сумма корней уравнения $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ ?

А)−9
Б)9
В)14
Г)−14

Показать ответ

Ответ: Б) 9

Сумма корней приведённого уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, $$-(-9) = 9$$ (корни 2 и 7).

Квадратный трёхчлен и его корни

Какой из многочленов является квадратным трёхчленом?

А) $$5x^3 - x + 1$$
Б) $$7 - 2x^2$$
В) $$4x + 9$$
Г) $$x^4 + x^2$$

Показать ответ

Ответ: Б) $$7 - 2x^2$$

$7 - 2x^2 = -2x^2 + 0 \cdot x + 7$ — многочлен второй степени, у него $$a = -2$$ , $$b = 0$$ , $$c = 7$$ . Остальные имеют степень 3, 1 и 4.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители $$x^2 - 5x + 6$$ ?

А) $$(x - 2)(x - 3)$$
Б) $$(x + 2)(x + 3)$$
В) $$(x - 1)(x - 6)$$
Г)Его нельзя разложить

Показать ответ

Ответ: А) $$(x - 2)(x - 3)$$

Корни трёхчлена $$2$$ и $$3$$ (сумма $$5$$ , произведение $$6$$ ), поэтому $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ .

Решение дробных рациональных уравнений

Какое из уравнений дробное рациональное?

А) $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{5} = 8$
Б) $\dfrac{5}{x} + x = 6$
В) $2(x - 1) = \dfrac{x + 4}{7}$
Г) $x^2 - 0{,}5x = 3$

Показать ответ

Ответ: Б) $\dfrac{5}{x} + x = 6$

Дробное уравнение содержит деление на выражение с переменной. Только в $\dfrac{5}{x} + x = 6$ переменная стоит в знаменателе; деление на число 3, 5 или 7 уравнение дробным не делает.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Скорость лодки в стоячей воде $$v$$ км/ч, скорость течения $$u$$ км/ч. Чему равна скорость лодки против течения?

А) $$v + u$$
Б) $$v - u$$
В) $$u - v$$
Г) $v \cdot u$

Показать ответ

Ответ: Б) $$v - u$$

Течение мешает движению против течения, поэтому его скорость вычитается: $$v - u$$ .

Уравнение с двумя переменными и его график

Какая пара чисел является решением уравнения $$x + 2y = 7$$ ?

А) $$(1; 2)$$
Б) $$(3; 2)$$
В) $$(2; 3)$$
Г) $$(7; 1)$$

Показать ответ

Ответ: Б) $$(3; 2)$$

$3 + 2 \cdot 2 = 7$ — верно. У остальных пар получается $$5$$ , $$8$$ и $$9$$ .

Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Сколько решений имеет система $\begin{cases} y = 2x + 1, \\ y = 2x - 3? \end{cases}$

А)Ни одного
Б)Одно
В)Два
Г)Бесконечно много

Показать ответ

Ответ: А) Ни одного

Угловые коэффициенты равны (2), а свободные члены разные — прямые параллельны.

Графический способ решения систем уравнений

Что значит решить систему двух уравнений графически?

А)Построить график одного из уравнений
Б)Найти координаты всех общих точек графиков уравнений
В)Найти точки пересечения графиков с осью x
Г)Найти вершину параболы

Показать ответ

Ответ: Б) Найти координаты всех общих точек графиков уравнений

Общая точка лежит на обоих графиках, поэтому её координаты удовлетворяют обоим уравнениям — это и есть решение системы.

Алгебраический способ решения систем уравнений

С чего начать решение системы $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x - y = 2 \end{cases}$ способом подстановки?

А)Выразить x из второго уравнения: x = y + 2
Б)Сложить уравнения
В)Возвести второе уравнение в квадрат
Г)Выразить x из первого уравнения

Показать ответ

Ответ: А) Выразить x из второго уравнения: x = y + 2

Переменную выражают из уравнения первой степени — так не появляются корни и квадраты: $$x = y + 2$$ .

Решение задач с помощью систем уравнений

Сумма двух чисел равна 20, первое число в 3 раза больше второго. Какая система описывает задачу ( $$x$$ — первое число, $$y$$ — второе)?

А) $$x + y = 20$$ , $$x = 3y$$
Б) $$x + y = 20$$ , $$y = 3x$$
В) $$x - y = 20$$ , $$x = 3y$$
Г) $$x + y = 20$$ , $$x = y + 3$$

Показать ответ

Ответ: А) $$x + y = 20$$ , $$x = 3y$$

Первое число в 3 раза больше второго: $$x = 3y$$ ; сумма равна 20: $$x + y = 20$$ .

Уравнения с параметром

Сколько корней имеет уравнение $$ax = 5$$ при $$a = 0$$ ?

А)Один
Б)Два
В)Ни одного
Г)Бесконечно много

Показать ответ

Ответ: В) Ни одного

При $$a = 0$$ получаем $0 \cdot x = 5$ , но $0 \cdot x = 0$ при любом $$x$$ , а не 5.