Решение задач с помощью систем уравнений

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Алгебраический способ решения систем уравнений

Коротко о главном

Если в задаче две неизвестные величины и про них известны два разных факта, удобно обозначить величины двумя буквами и составить систему из двух уравнений. Решение системы проверяют по смыслу задачи: число людей не может быть дробным, скорость — отрицательной.

\begin{cases} x + y = 20, \\ 5x + 2y = 70 \end{cases}

Подробное объяснение

Представь: ты купил в столовой несколько пирожков и стаканов чая. Помнишь, что всего было 7 предметов и что заплатил 270 р. Пирожок стоит 50 р., чай — 30 р. Сколько было пирожков? Одной буквой эту задачу решить можно, но неудобно: придётся выражать одно через другое в уме. С двумя буквами всё проще. Пусть пирожков $$x$$ , стаканов чая $$y$$ . Тогда

\begin{cases} x + y = 7, \\ 50x + 30y = 270. \end{cases}

Первое уравнение записывает «сколько штук», второе — «сколько денег». Решив систему, получим $$x = 3$$ , $$y = 4$$ .

Откуда берутся уравнения

Каждое уравнение системы — это одно условие задачи, переведённое на язык алгебры. Поэтому условий, связывающих неизвестные, должно быть столько же, сколько неизвестных: две буквы — два уравнения. Чаще всего встречаются такие связи:

«вместе», «всего», «сумма» — $x + y = \ldots$ ;
«на 5 больше» — $$x - y = 5$$ или $$x = y + 5$$ ;
«в 3 раза больше» — $$x = 3y$$ ; «в 3 раза меньше» — $$y = 3x$$ ;
путь равен скорости, умноженной на время; стоимость — цене, умноженной на количество;
«увеличилось на 20 %» — умножить на $$1{,}2$$ ; «уменьшилось на 20 %» — умножить на $$0{,}8$$ ;
двузначное число с цифрами $$a$$ и $$b$$ равно $$10a + b$$ .

В задачах на движение по реке есть два «готовых» выражения: скорость по течению равна $$x + y$$ , против течения — $$x - y$$ , где $$x$$ — собственная скорость, $$y$$ — скорость течения.

Как решить систему

Подойдёт любой способ, изученный раньше. Если одна буква уже выражена ( $$x = 3y$$ ), удобна подстановка. Если коэффициенты при одной букве равны или противоположны, удобно сложение или вычитание уравнений.

Отбор решений

Система — это модель, а у модели нет «здравого смысла». Она может выдать пару $$(7{,}5; 10{,}5)$$ для числа мальчиков и девочек или отрицательную скорость. Такое решение математически верное, но задаче не подходит. Тогда ответ — «такого не может быть» или нужно отбросить лишнее решение. Перед ответом всегда спроси себя: какими могут быть эти величины? Целыми? Положительными? Цифрами от 0 до 9?

Как решать

Прочитай задачу и найди две неизвестные величины. Запиши: «Пусть $$x$$ — …, $$y$$ — …», с единицами измерения.
Найди в условии два факта, связывающих эти величины, и запиши каждый уравнением.
Реши систему подстановкой или сложением.
Проверь, подходит ли решение по смыслу: целое ли, положительное ли, укладывается ли в ограничения.
Подставь ответ в условие задачи (не в систему!) и убедись, что всё сходится.
Ответь именно на вопрос задачи: если спросили только про одну величину, называй её.

Разобранные примеры

База

Пирожки и чай

Условие

В кафе 3 пирожка и 2 стакана чая стоят 330 р., а 1 пирожок и 2 стакана чая — 190 р. Сколько стоят пирожок и стакан чая?

Дано

3 пирожка и 2 чая — 330 р.
1 пирожок и 2 чая — 190 р

Найти

цену пирожка и цену чая

Решение

Пусть пирожок стоит $$x$$ р., стакан чая $$y$$ р.

\begin{cases} 3x + 2y = 330, \\ x + 2y = 190. \end{cases}

Вычтем из первого уравнения второе: $$2x = 140$$ , $$x = 70$$ . Тогда $$2y = 190 - 70 = 120$$ , $$y = 60$$ .

Проверка: $3 \cdot 70 + 2 \cdot 60 = 210 + 120 = 330$ р.

Ответ: Пирожок 70 р., чай 60 р.

Средний

Катер на реке

Условие

Катер за 3 ч по течению проходит 54 км, а за 4 ч против течения — 56 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.

Дано

54 км за 3 ч по течению
56 км за 4 ч против течения

Найти

собственную скорость и скорость течения

Решение

Пусть собственная скорость катера $$x$$ км/ч, скорость течения $$y$$ км/ч. Скорость по течению $$54 : 3 = 18$$ км/ч, против течения $$56 : 4 = 14$$ км/ч.

\begin{cases} x + y = 18, \\ x - y = 14. \end{cases}

Сложим: $$2x = 32$$ , $$x = 16$$ ; тогда $$y = 18 - 16 = 2$$ . Обе скорости положительны, течение медленнее катера — всё в порядке.

Ответ: 16 км/ч и 2 км/ч

Сложный

Число с переставленными цифрами

Условие

Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если поменять цифры местами, число увеличится на 27. Найдите число.

Дано

сумма цифр 9
после перестановки число больше на 27

Найти

число

Решение

Пусть $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц. Число равно $$10a + b$$ , после перестановки — $$10b + a$$ .

\begin{cases} a + b = 9, \\ (10b + a) - (10a + b) = 27. \end{cases}

Второе уравнение: $$9b - 9a = 27$$ , $$b - a = 3$$ . Сложим с первым: $$2b = 12$$ , $$b = 6$$ , $$a = 3$$ .

Отбор: $$a = 3$$ и $$b = 6$$ — цифры, $a \ne 0$ , значит, число двузначное. Проверка: $$63 - 36 = 27$$ .

Ответ: 36

Типичные ошибки

Путают, во сколько раз больше и во сколько меньше

Почему неверно

«Сока A в 2 раза меньше, чем сока B» часто записывают как $$x = 2y$$ , где $$x$$ — сок A. Получается, что сока A больше, — смысл перевёрнут, и ответ выходит неверным.

Как правильно

Переформулируй: «сока B в 2 раза больше, чем сока A», то есть $$y = 2x$$ . Проверь запись на простых числах: если $$x = 5$$ , то $$y = 10$$ — действительно, A меньше.

Записывают проценты как вычитание числа

Почему неверно

«Цена $$x$$ снизилась на 20 %» записывают как $$x - 20$$ . Но 20 % — это не 20 рублей, а пятая часть цены.

Как правильно

Снижение на 20 % — это $$x - 0{,}2x = 0{,}8x$$ ; рост на 15 % — $$1{,}15x$$ .

Принимают любое решение системы за ответ

Почему неверно

Система про число детей может дать $$x = 7{,}5$$ . Ученик пишет «7,5 мальчика» или округляет до 8 — но дробного числа людей не бывает, а округление ломает условие.

Как правильно

После решения проверяй смысл: количества — натуральные, скорости и длины — положительные, цифры — от 0 до 9. Если решение не подходит, ответ — «так быть не может».

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сумма двух чисел равна 50, а их разность равна 14. Найдите эти числа.

Подсказка

Обозначьте числа $$x$$ и $$y$$ и сложите два уравнения.

Решение

Система: $$x + y = 50$$ , $$x - y = 14$$ . Сложив уравнения, получим $$2x = 64$$ , $$x = 32$$ ; тогда $$y = 50 - 32 = 18$$ .

Ответ

32 и 18

База Задача 2

Ручка стоит 25 р., карандаш — 10 р. Купили 12 предметов и заплатили 210 р. Сколько купили ручек и сколько карандашей?

Подсказка

Одно уравнение — по числу предметов, другое — по стоимости.

Решение

Пусть ручек $$x$$ , карандашей $$y$$ . Система: $$x + y = 12$$ , $$25x + 10y = 210$$ . Из первого $$y = 12 - x$$ , тогда $$25x + 120 - 10x = 210$$ , $$15x = 90$$ , $$x = 6$$ , $$y = 6$$ .

Ответ

6 ручек и 6 карандашей

Средний Задача 3

Лодка за 3 ч по течению проходит 42 км, а за 2 ч против течения — 20 км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения.

Подсказка

Найдите сначала скорость по течению и против течения.

Решение

Пусть собственная скорость $$x$$ км/ч, скорость течения $$y$$ км/ч. Тогда $$3(x + y) = 42$$ и $$2(x - y) = 20$$ , то есть $$x + y = 14$$ , $$x - y = 10$$ . Складываем: $$2x = 24$$ , $$x = 12$$ , $$y = 2$$ .

Ответ

12 км/ч и 2 км/ч

Средний Задача 4

Футболка и шорты вместе стоили 1500 р. Футболка подешевела на 10 %, шорты — на 20 %, и теперь комплект стоит 1260 р. Сколько стоили футболка и шорты сначала?

Подсказка

Цена, уменьшенная на 10 %, — это $$0{,}9$$ старой цены.

Решение

Пусть футболка стоила $$x$$ р., шорты $$y$$ р. Система: $$x + y = 1500$$ , $$0{,}9x + 0{,}8y = 1260$$ . Подставим $$y = 1500 - x$$ : $$0{,}9x + 1200 - 0{,}8x = 1260$$ , $$0{,}1x = 60$$ , $$x = 600$$ , $$y = 900$$ .

Ответ

Футболка 600 р., шорты 900 р.

Сложный Задача 5

Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если цифры поменять местами, число уменьшится на 45. Найдите это число.

Подсказка

Число с цифрами $$a$$ и $$b$$ равно $$10a + b$$ , а после перестановки — $$10b + a$$ .

Решение

Система: $$a + b = 11$$ , $$(10a + b) - (10b + a) = 45$$ . Второе уравнение: $$9a - 9b = 45$$ , $$a - b = 5$$ . Складываем с первым: $$2a = 16$$ , $$a = 8$$ , $$b = 3$$ . Обе — цифры, число 83. Проверка: $$83 - 38 = 45$$ .

Ответ

83

Сложный Задача 6

Можно ли набрать ровно 50 р. двенадцатью монетами по 2 р. и по 5 р.?

Подсказка

Составьте систему и проверьте, получаются ли целые неотрицательные числа.

Решение

Пусть монет по 2 р. $$x$$ , по 5 р. $$y$$ . Система: $$x + y = 12$$ , $$2x + 5y = 50$$ . Из первого $$x = 12 - y$$ : $$24 - 2y + 5y = 50$$ , $$3y = 26$$ , $y = \dfrac{26}{3}$ . Число монет не может быть дробным, значит, набрать так 50 р. нельзя.

Ответ

Нельзя

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите горсть монет двух номиналов, например по 2 и 5 р. Попросите ребёнка посчитать, сколько всего монет и на какую сумму, а потом спрячьте их. Пусть по двум числам — количеству и сумме — составит систему и узнает, сколько было монет каждого вида. Затем откройте монеты и проверьте.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему для двух неизвестных нужны два уравнения? 2) Как записать «на 30 % больше»? 3) Система дала $$x = -4$$ для скорости. Что это значит для задачи?

На что обратить внимание. Ребёнок должен писать, что обозначено каждой буквой, с единицами. Больше всего ошибок не в решении системы, а в переводе слов в уравнения и в забытой проверке по смыслу.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 32	719, 720, 721, 722, 723, 724, 725, 726, 727, 728, 729, 730, 731, 732