Свойства линейной функции

Такси берёт 100 рублей за посадку и 30 рублей за каждый километр. Стоимость поездки — функция \(y = 30x + 100\), где \(x\) — число километров. Чем дальше едем, тем дороже: функция растёт. А вот запас воды в баке, из которого каждую минуту выливается 4 литра, описывается формулой \(y = 60 - 4x\) и с каждой минутой уменьшается. Обе формулы — линейные функции, и почти все их свойства видны по двум числам \(k\) и \(b\).

Пять свойств при k ≠ 0

Пусть \(y = kx + b\) и \(k \ne 0\). Её график — прямая, не параллельная оси \(x\).

1. Область определения — все числа: \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\). В формуле нет ни деления на \(x\), ни корня, подставлять можно что угодно.
2. Множество значений — тоже все числа: \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\). Для любого числа \(c\) уравнение \(kx + b = c\) имеет решение \(x = \dfrac{c - b}{k}\).
3. Нуль функции один: из \(kx + b = 0\) получаем \(x = -\dfrac{b}{k}\). В этой точке прямая пересекает ось \(x\).
4. Знакопостоянство. Нуль делит ось \(x\) на два луча. На одном функция отрицательна, на другом положительна. Если \(k > 0\): \(y < 0\) при \(x < -\dfrac{b}{k}\) и \(y > 0\) при \(x > -\dfrac{b}{k}\). Если \(k < 0\) — наоборот: положительна левее нуля, отрицательна правее.
5. Монотонность. При \(k > 0\) функция возрастает, при \(k < 0\) — убывает.

Почему знак \(k\) решает всё? Возьмём два значения аргумента, \(x_2 > x_1\). Тогда \(y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = k(x_2 - x_1)\). Множитель \(x_2 - x_1\) положителен, поэтому знак разности совпадает со знаком \(k\). При \(k > 0\) большему \(x\) соответствует большее \(y\) — функция возрастает. При \(k < 0\) — меньшее, функция убывает.

Число \(b\) на возрастание не влияет: оно лишь сдвигает прямую вверх или вниз. Это точка пересечения графика с осью \(y\): при \(x = 0\) получаем \(y = b\).

Случай k = 0

Тогда \(y = b\) — постоянная функция, её график — прямая, параллельная оси \(x\). Область определения по-прежнему — все числа, а множество значений — одно число \(b\). Если \(b \ne 0\), нулей нет и знак функции везде одинаков: при \(b > 0\) она всюду положительна, при \(b < 0\) — всюду отрицательна. Если \(b = 0\), функция равна нулю при любом \(x\). Постоянная функция не возрастает и не убывает.

Как решать задачи

1. Приведите формулу к виду \(y = kx + b\) и выпишите \(k\) и \(b\) вместе со знаками: в \(y = 1 - x\) коэффициент \(k = -1\).
2. Возрастание или убывание определите по знаку \(k\).
3. Нуль найдите из уравнения \(kx + b = 0\).
4. Промежутки знакопостоянства получите, решив неравенства \(kx + b > 0\) и \(kx + b < 0\). Делите на \(k\) — следите за его знаком: при \(k < 0\) знак неравенства меняется.
5. Для расположения графика отметьте точку \((0;\ b)\) на оси \(y\) и нуль на оси \(x\) — через них проходит прямая.
6. Проверьте себя по эскизу: при \(k > 0\) прямая идёт вверх слева направо, при \(k < 0\) — вниз.