Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Многие величины могут и расти, и убывать. Увеличение величины выражают положительным числом, уменьшение — отрицательным, а если величина не изменилась, её изменение равно нулю. Перемещение точки по координатной прямой вправо — положительное, влево — отрицательное.
Подробное объяснение
Что может меняться
Ваш возраст каждый год только растёт — назад он не идёт. А вот многие другие величины умеют и расти, и убывать. Температура за окном то поднимается, то опускается. Цена яблок летом одна, зимой другая. Деньги на телефоне то приходят, то списываются. Уровень воды в реке весной высокий, а к осени падает.
Чтобы коротко сказать, как изменилась величина, удобно использовать числа со знаком.
Знак изменения
Увеличение величины выражают положительным числом, а уменьшение — отрицательным.
Если билет в кино стоил 300 р., а стал 350 р., цена повысилась на 50 р. Говорят: изменение цены равно 50 р., или +50 р. Если билет подешевел с 300 р. до 270 р., цена понизилась на 30 р., и её изменение равно −30 р. Если цена осталась 300 р., изменение равно 0.
Так же с массой, длиной, температурой: стало больше — изменение со знаком «+», стало меньше — со знаком «−». Само число без знака (его модуль) показывает, на сколько изменилась величина, а знак — в какую сторону.
Перемещение по координатной прямой
Точка тоже может «изменяться» — двигаться по координатной прямой. Перемещение вправо обозначают положительным числом, перемещение влево — отрицательным. Если прямая вертикальная, как шкала термометра, — вверх положительное, вниз отрицательное.
На рисунке точка \(A(1)\) переместилась на +4 и попала в точку \(B(5)\). А если она переместится на −3, то попадёт в точку \(C(-2)\).
Как считать через ноль
Найти изменение, когда оба значения положительные, просто: из большего вычитаем меньшее и ставим знак. Труднее, когда величина переходит через ноль. Тогда помогает термометр или координатная прямая: считайте шаги до нуля и от нуля.
Было −4 °C, стало 3 °C. До нуля температура поднялась на 4 °C, после нуля — ещё на 3 °C. Всего на 7 °C, изменение +7 °C.
Было 2 °C, температура изменилась на −5 °C. Опускаемся на 2 градуса до нуля и ещё на 3 ниже нуля — стало −3 °C.
Как решать задачи
- Определите, что дано: значения «было» и «стало» или начальное значение и изменение.
- Если нужно найти изменение, сравните «стало» и «было»: стало больше — знак «+», стало меньше — знак «−», не изменилось — 0.
- Найдите, на сколько изменилась величина. Если оба значения по одну сторону от нуля, вычтите из большего модуля меньший; если величина перешла через ноль — сложите шаги до нуля и от нуля.
- Если нужно найти новое значение, переведите знак изменения в слова: «+» — увеличить, «−» — уменьшить. Сделайте этот шаг на координатной прямой или термометре.
- Если изменений несколько, выполняйте их по очереди, каждый раз записывая новое значение.
- Проверьте себя: из «было» сделайте шаг на найденное изменение — должно получиться «стало».
Разобранные примеры
Изменение цены
Тетрадь стоила 48 р., а через месяц стала стоить 45 р. Чему равно изменение цены тетради?
- было 48 р.
- стало 45 р
- изменение цены
-
\(45 < 48\) — цена понизилась, изменение отрицательное.
-
\(48 - 45 = 3\) (р.) — на столько понизилась цена.
Понижение на 3 р. выражают числом \(-3\).
Температура за день
Утром было −4 °C. К обеду изменение температуры составило +7 °C, а к вечеру — −5 °C. Какая температура была вечером?
- утром −4 °C
- изменения +7 °C и −5 °C
- температуру вечером
-
+7 °C — температура поднялась на 7 °C: на 4 °C до нуля и ещё на 3 °C — к обеду стало 3 °C.
-
−5 °C — температура опустилась на 5 °C: на 3 °C до нуля и ещё на 2 °C ниже — вечером стало −2 °C.
Проверка: от −4 °C до −2 °C температура поднялась на 2 °C, и правда, подъём на 7 больше спуска на 5 как раз на 2.
Путь точки
Точка \(B(-3)\) переместилась по координатной прямой в точку \(C(5)\), а затем из точки \(C\) — в точку \(D(-6)\). Найдите оба перемещения. Каким одним перемещением можно попасть из \(B\) сразу в \(D\)?
-
Из \(-3\) в 5 — движение вправо: 3 единицы до нуля и 5 после, всего 8. Перемещение +8.
-
Из 5 в \(-6\) — движение влево: 5 единиц до нуля и 6 после, всего 11. Перемещение −11.
-
Из \(-3\) в \(-6\) — движение влево, обе точки левее нуля: \(6 - 3 = 3\) единицы. Перемещение −3.
Заметьте: вправо точка ушла на 8, влево — на 11, то есть в итоге левее на 3. Это сходится с третьим пунктом.
Типичные ошибки
Задача: «Масса арбуза после того, как отрезали кусок, уменьшилась на 600 г. Чему равно изменение массы?» Ученик пишет 600 г. Но 600 г без знака читается как увеличение — будто арбуз вырос.
Сначала спросите: «Величина выросла или уменьшилась?» Уменьшилась — значит, изменение отрицательное: −600 г.
Было −3 °C, стало 4 °C. Ученик считает \(4 - 3 = 1\) и отвечает: «потеплело на 1 °C». Но на термометре от −3 до 4 — семь делений: три до нуля и четыре после.
Если величина переходит через ноль, считайте путь по частям: до нуля и от нуля, и складывайте: \(3 + 4 = 7\), изменение +7 °C.
«Было 2 °C, температура изменилась на −5 °C». Ученик отвечает: «стало −5 °C». Но −5 °C — это не новая температура, а то, на сколько и в какую сторону она сдвинулась.
Изменение — это шаг, а не результат. От 2 °C сделайте шаг на 5 °C вниз: получится −3 °C.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Цена альбома снизилась на 15 р. Чему равно изменение цены?
Показать ответ
Ответ: Б) −15 р.
Понижение цены выражают отрицательным числом, поэтому изменение равно −15 р.
-
В каких случаях изменение величины отрицательно?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Температура упала с 5 °C до −1 °C; В) Масса пакета с крупой уменьшилась на 200 г; Д) Точка перешла из точки с координатой 3 в точку с координатой −2
Отрицательное изменение — это уменьшение величины или перемещение точки влево; рост и движение вправо дают положительное изменение.
-
Утром было −6 °C, к полудню температура изменилась на +4 °C. Сколько градусов стало в полдень?
Показать ответ
Ответ: -2
Температура поднялась на 4 деления от −6 °C — до −2 °C, до нуля она не дошла.
-
На какое перемещение (с учётом знака) нужно сдвинуть точку A(5), чтобы она попала в точку B(−2)?
Показать ответ
Ответ: -7
От 5 до 0 — 5 единиц влево, от 0 до −2 — ещё 2, всего 7 единиц влево, то есть перемещение −7.
-
Изменение числа учеников в классе за год равно 0. Что это значит?
Показать ответ
Ответ: В) Число учеников не изменилось
Нулевое изменение означает, что величина осталась прежней — она не увеличилась и не уменьшилась.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Весной уровень воды в пруду был 240 см, а в конце лета — 195 см. Чему равно изменение уровня воды?
Подсказка
Уровень стал меньше — значит, изменение отрицательное.
Решение
- было 240 см
- стало 195 см
- изменение уровня
-
\(195 < 240\) — уровень понизился, изменение отрицательное.
-
\(240 - 195 = 45\) (см) — на столько понизился уровень.
Понижение на 45 см выражают числом \(-45\).
Ответ
Точка \(A(2)\) переместилась по координатной прямой на \(-6\). Какова координата точки, в которую она попала?
Подсказка
Перемещение на \(-6\) — это 6 единиц влево. Считайте шаги через ноль.
Решение
Перемещение на \(-6\) означает: 6 единиц влево.
-
От точки 2 до точки 0 — 2 единицы влево.
-
Осталось пройти \(6 - 2 = 4\) единицы влево от нуля — попадаем в точку \(-4\).
Ответ
В 6 ч утра термометр показывал \(-7\) °C, а в 14 ч — 3 °C. Чему равно изменение температуры?
Подсказка
Посчитайте деления термометра от \(-7\) до 0 и от 0 до 3.
Решение
- было \(-7\) °C
- стало 3 °C
- изменение температуры
-
Температура стала выше — изменение положительное.
-
От \(-7\) °C до 0 °C температура поднялась на 7 °C, от 0 °C до 3 °C — ещё на 3 °C.
-
\(7 + 3 = 10\) (°C) — на столько повысилась температура.
Ответ
Батон стоил 80 р. Сначала изменение его цены составило +12 р., а через месяц — ещё \(-20\) р. Сколько стал стоить батон? Чему равно изменение цены за всё время?
Подсказка
Изменение +12 — цена выросла на 12 р.; изменение \(-20\) — цена упала на 20 р.
Решение
- цена 80 р.
- изменения +12 р. и \(-20\) р
- новую цену и общее изменение
-
\(80 + 12 = 92\) (р.) — цена после повышения.
-
\(92 - 20 = 72\) (р.) — цена после понижения.
-
\(72 < 80\), и \(80 - 72 = 8\) (р.) — за всё время цена понизилась на 8 р., то есть её изменение равно \(-8\) р.
Ответ
Точка \(M(-4)\) переместилась по координатной прямой сначала на +9, потом на \(-7\), потом на +3. В какой точке она оказалась? Каким одним перемещением можно заменить эти три?
Подсказка
Делайте перемещения по очереди, каждый раз записывая новую координату.
Решение
-
Из \(-4\) на 9 единиц вправо: 4 единицы до нуля и ещё 5 — точка 5.
-
Из 5 на 7 единиц влево: 5 единиц до нуля и ещё 2 — точка \(-2\).
-
Из \(-2\) на 3 единицы вправо: 2 единицы до нуля и ещё 1 — точка 1.
-
Точка попала из \(-4\) в 1, то есть сдвинулась вправо на \(4 + 1 = 5\) единиц. Три перемещения можно заменить одним перемещением на +5.
Ответ
Водолаз находился на глубине 12 м, то есть его высота относительно поверхности воды была \(-12\) м. Затем изменение его высоты составило +5 м, а после этого \(-9\) м. На какой глубине оказался водолаз? Чему равно общее изменение его высоты?
Подсказка
Изменение +5 м — водолаз поднялся на 5 м, глубина уменьшилась.
Решение
- высота \(-12\) м
- изменения +5 м и \(-9\) м
- итоговую глубину и общее изменение высоты
-
Поднялся на 5 м: \(12 - 5 = 7\) (м) — глубина стала 7 м, высота \(-7\) м.
-
Опустился на 9 м: \(7 + 9 = 16\) (м) — глубина стала 16 м, высота \(-16\) м.
-
Было 12 м под водой, стало 16 м: \(16 - 12 = 4\) (м) — водолаз в итоге опустился на 4 м, общее изменение высоты \(-4\) м.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лифт или лестницу в многоэтажке: подвал — этаж −1, первый этаж — 1. «Поднялись на 3 этажа» — это +3, «спустились на 2» — это −2. Потом откройте прогноз погоды и посчитайте вместе, как изменится температура с утра до вечера. Если есть линейка — отметьте на ней ноль посередине и «ходите» карандашом вправо и влево.
Вопросы для проверки понимания: 1) Цена хлеба выросла на 4 р. Каким числом записать это изменение? А если упала на 4 р.? 2) Было −2 °C, стало 5 °C. На сколько градусов потеплело? 3) Точка сдвинулась по координатной прямой на −3. В какую сторону она двигалась?
На что обратить внимание. Главное — различать два вопроса: «в какую сторону изменилась величина» (это знак) и «на сколько» (это число без знака). И при переходе через ноль просите ребёнка не вычитать по привычке, а считать шаги по шкале — до нуля и после.