Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Прибавить к числу \(m\) число \(n\) — значит изменить \(m\) на \(n\) единиц. На координатной прямой точка \(m\) сдвигается вправо, если \(n\) положительное, и влево, если \(n\) отрицательное, на столько единиц, каков модуль \(n\).
Подробное объяснение
Фишка на дорожке
Представьте настольную игру: фишка стоит на дорожке с клетками, пронумерованными числами \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\) Карточка «+3» велит шагнуть на 3 клетки вперёд, а карточка «−4» — на 4 клетки назад. Если фишка стояла на клетке 1 и вытянула «−4», она окажется на клетке \(-3\).
Числовая дорожка — это и есть координатная прямая, а ход фишки — сложение. С положительными числами вы так уже считали: \(3 + 2\) — от точки 3 два шага вправо. Теперь научимся прибавлять и отрицательные числа.
Сложение как изменение
В прошлом пункте изменение величины записывали числом со знаком: «температура изменилась на \(-5\) °C» значит «понизилась на 5 °C». Новое значение равно сумме старого значения и изменения. Было 10 °C, изменение \(-5\) °C — стало \(10 + (-5) = 5\) °C.
Отсюда правило:
Прибавить к числу \(m\) число \(n\) — значит изменить число \(m\) на \(n\) единиц. Если \(n\) положительное, точка \(m\) на координатной прямой сдвигается вправо на \(n\) единичных отрезков. Если \(n\) отрицательное — влево на столько отрезков, каков модуль \(n\).
Например, \(2 + (-6)\): от точки 2 сдвигаемся на 6 единиц влево и попадаем в точку \(-4\). Значит, \(2 + (-6) = -4\).
Отрицательное слагаемое пишут в скобках, чтобы два знака не стояли рядом: \(5 + (-3)\), а не \(5 + -3\). Первое слагаемое тоже можно взять в скобки: \((-8) + 6\). Читают такую запись по-разному: «к минус восьми прибавить шесть» или «сумма минус восьми и шести».
Важные случаи
- Прибавили положительное число — число увеличилось, точка ушла вправо: \((-8) + 6 = -2\), и \(-2 > -8\).
- Прибавили отрицательное число — число уменьшилось, точка ушла влево: \((-1) + (-7) = -8\).
- Сумма противоположных чисел равна нулю: \(n + (-n) = 0\). От точки 9 на 9 единиц влево — ровно в начало координат: \(9 + (-9) = 0\).
- От прибавления нуля число не изменяется: \(n + 0 = n\), точка остаётся на месте: \((-13) + 0 = -13\).
Удобно считать шаги «через ноль». Чтобы найти \((-3) + 7\), сделаем сначала 3 шага вправо до нуля, а затем оставшиеся \(7 - 3 = 4\) шага: получится 4.
Как решать задачи
- Отметьте на координатной прямой точку, соответствующую первому слагаемому.
- Посмотрите на знак второго слагаемого: «плюс» (положительное) — двигаться вправо, «минус» (отрицательное) — влево.
- Отсчитайте столько единичных отрезков, каков модуль второго слагаемого. Считайте отрезки (шаги), а не отметки: стартовая точка — это ещё не шаг.
- Если путь проходит через ноль, разбейте его: сначала шаги до нуля, потом остаток.
- Координата точки, в которую вы попали, — это сумма.
- Если слагаемых несколько, складывайте по очереди: к результату первого сложения прибавьте следующее число.
- Проверьте себя: прибавили положительное — ответ больше первого числа, отрицательное — меньше.
Разобранные примеры
Отрицательное плюс положительное
С помощью координатной прямой найдите сумму \((-5) + 8\).
Отмечаем точку \(-5\). Второе слагаемое 8 положительное — сдвигаемся вправо на 8 единиц.
До нуля 5 шагов, остаётся \(8 - 5 = 3\) шага — попадаем в точку 3.
Проверка: прибавили положительное число, и результат \(3\) больше, чем \(-5\).
Температура за сутки
В 6 часов утра было −4 °C. К полудню температура изменилась на 9 °C, а к полуночи — ещё на −7 °C. Какой была температура в полдень и в полночь?
- в 6 ч −4 °C
- изменения +9 °C и −7 °C
- температуру в полдень и в полночь
-
\((-4) + 9 = 5\) (°C) — в полдень: от \(-4\) четыре шага вверх до нуля и ещё 5 шагов.
-
\(5 + (-7) = -2\) (°C) — в полночь: от 5 пять шагов вниз до нуля и ещё 2 шага.
Неизвестное слагаемое
Какое число нужно прибавить к \(-3\), чтобы получить \(-10\)?
Точка \(-10\) лежит левее точки \(-3\), значит, двигаться надо влево — прибавлять отрицательное число.
Расстояние между точками: от \(-3\) до \(-10\) ровно 7 единичных отрезков (\(-4, -5, \ldots, -10\) — 7 шагов).
Сдвиг на 7 единиц влево — это прибавление числа \(-7\).
Проверка: \((-3) + (-7) = -10\).
Типичные ошибки
Ученик считает \(4 + (-6)\) и сдвигается от 4 на 6 единиц вправо, получая 10. Он видит знак «+» между числами и думает, что сложение всегда означает «вправо». Но направление задаёт знак самого прибавляемого числа, а оно отрицательное.
Смотрите на знак второго слагаемого: \(-6\) отрицательное, значит, 6 шагов влево: \(4 + (-6) = -2\).
Чтобы найти \((-2) + 3\), ученик ставит палец на \(-2\) и произносит «один» уже на этой отметке: «один» на \(-2\), «два» на \(-1\), «три» на 0. Получается 0, хотя на самом деле сделано только два шага.
Стартовая точка — это «ноль шагов». Первый шаг ведёт из \(-2\) в \(-1\), второй — в 0, третий — в 1. Значит, \((-2) + 3 = 1\).
С натуральными числами сумма всегда больше каждого слагаемого, и ученик ждёт того же: «\(7 + (-3)\) не может быть меньше 7». Но прибавить отрицательное число — значит уменьшить число.
\(7 + (-3) = 4\), и \(4 < 7\). Сумма больше первого слагаемого, только если второе положительное.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что происходит с точкой на координатной прямой, когда к её координате прибавляют отрицательное число?
Показать ответ
Ответ: Б) Точка сдвигается влево на столько единиц, каков модуль прибавляемого числа
Прибавить отрицательное число — значит уменьшить число, то есть сдвинуть точку влево на модуль прибавляемого числа.
-
С помощью координатной прямой найдите сумму \((-7) + 3\).
Показать ответ
Ответ: -4
От точки \(-7\) сдвигаемся на 3 единицы вправо и попадаем в точку \(-4\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Сумма противоположных чисел равна нулю; В) От прибавления нуля число не изменяется
Верно \(n + (-n) = 0\) и \(n + 0 = n\); прибавление отрицательного числа уменьшает число, а \((-5) + (-5) = -10\) — эти числа не противоположные.
-
Температура была −2 °C, затем изменилась на −4 °C. Какой она стала?
Показать ответ
Ответ: А) −6 °C
Изменение на −4 °C — понижение на 4 °C, \((-2) + (-4) = -6\).
-
Какое число прибавили к 5, если получилось −1?
Показать ответ
Ответ: -6
От точки 5 до точки \(-1\) нужно сдвинуться на 6 единиц влево, а это прибавление числа \(-6\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
С помощью координатной прямой найдите сумму \((-6) + 4\).
Подсказка
Отметьте точку \(-6\) и сдвиньтесь от неё на 4 единицы вправо.
Решение
Отмечаем на координатной прямой точку с координатой \(-6\).
Прибавляем положительное число 4 — сдвигаемся на 4 единичных отрезка вправо: \(-6 \to -5 \to -4 \to -3 \to -2\).
Значит, \((-6) + 4 = -2\).
Ответ
Утром температура воздуха была −3 °C. К обеду она изменилась на 7 °C (повысилась). Какой стала температура?
Подсказка
Новая температура равна сумме первоначального значения и изменения.
Решение
- утром −3 °C
- изменение +7 °C
- температуру в обед
Температура в обед равна сумме \((-3) + 7\). На координатной прямой (или на шкале термометра) от точки \(-3\) сдвигаемся на 7 единиц вверх, то есть вправо: 3 шага доводят до нуля, ещё 4 шага — до 4.
\((-3) + 7 = 4\) (°C).
Ответ
С помощью координатной прямой найдите сумму \((-2) + (-5) + 9\).
Подсказка
Складывайте по очереди: сначала первые два числа, потом прибавьте к результату третье.
Решение
-
\((-2) + (-5)\): от точки \(-2\) сдвигаемся на 5 единиц влево и попадаем в точку \(-7\). Значит, \((-2) + (-5) = -7\).
-
\((-7) + 9\): от точки \(-7\) сдвигаемся на 9 единиц вправо. Через 7 шагов попадаем в 0, ещё 2 шага — в точку 2. Значит, \((-7) + 9 = 2\).
Итак, \((-2) + (-5) + 9 = 2\).
Ответ
Подводная лодка находилась на глубине 40 м (уровень моря — 0, глубина 40 м — координата −40 м). Она поднялась на 15 м, а затем опустилась на 30 м. На какой глубине оказалась лодка?
Подсказка
Подъём — изменение на положительное число, погружение — на отрицательное.
Решение
- начальная координата −40 м
- изменения +15 м и −30 м
- конечную глубину
-
\((-40) + 15 = -25\) (м) — после подъёма: от \(-40\) сдвигаемся на 15 вверх (вправо на прямой).
-
\((-25) + (-30) = -55\) (м) — после погружения: от \(-25\) сдвигаемся на 30 вниз (влево).
Координата \(-55\) м означает глубину 55 м.
Ответ
Какое число нужно прибавить к \(-4\), чтобы получить 3? Объясните ответ с помощью координатной прямой.
Подсказка
На сколько единиц и в какую сторону нужно сдвинуться от точки \(-4\), чтобы попасть в точку 3?
Решение
Точка 3 лежит правее точки \(-4\). От \(-4\) до 0 — 4 единицы, от 0 до 3 — ещё 3 единицы, всего \(4 + 3 = 7\) единиц вправо.
Сдвиг на 7 единиц вправо — это прибавление положительного числа 7.
Проверка: \((-4) + 7 = 3\).
Ответ
Точку \(A(-3)\) сдвинули на 5 единиц влево, а затем на 8 единиц вправо. Запишите это суммой и найдите координату полученной точки. Какое одно число можно прибавить к \(-3\), чтобы сразу попасть в ту же точку?
Подсказка
Сдвиг влево — прибавление отрицательного числа, вправо — положительного.
Решение
Сдвиг на 5 единиц влево — прибавление числа \(-5\), сдвиг на 8 единиц вправо — прибавление числа 8:
-
\((-3) + (-5) = -8\): от \(-3\) на 5 влево.
-
\((-8) + 8 = 0\): числа \(-8\) и 8 противоположные, их сумма равна нулю.
Точка попала в начало координат, \(O(0)\). Из точки \(-3\) в точку 0 можно попасть одним сдвигом на 3 единицы вправо, то есть прибавив число 3: \((-3) + 3 = 0\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте мелом или на длинной полоске бумаги числовую дорожку от −10 до 10 и поставьте на неё фигурку. Называйте суммы, например \((-3) + 5\) или \(2 + (-6)\): ребёнок ставит фигурку на первое число и «шагает» вправо при положительном втором слагаемом и влево при отрицательном. Хорошо работает и уличный термометр: «было −2 °C, потеплело на 5 градусов».
Вопросы для проверки понимания: 1) В какую сторону и на сколько сдвинется точка 3, если к числу 3 прибавить \(-8\)? Какое число получится? 2) Чему равна сумма \((-15) + 15\) и почему? 3) Может ли сумма быть меньше первого слагаемого? Приведите пример.
На что обратить внимание. Главное — направление движения задаёт знак второго слагаемого, а не знак «+» между числами. Следите, чтобы ребёнок считал шаги, а не отметки, и при переходе через ноль разбивал путь на две части. Правила сложения без координатной прямой появятся в следующих пунктах — сейчас важно понять смысл.