Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Уравнение \(x^2 = a\) при \(a > 0\) имеет два противоположных корня \(x = \sqrt{a}\) и \(x = -\sqrt{a}\), при \(a = 0\) — один корень \(0\), при \(a < 0\) корней нет.
Подробное объяснение
Площадь квадратного коврика 9 м². Какова его сторона? Ясно, что 3 м. А если просто спросить: какое число в квадрате даёт 9? Подходит и 3, и −3, ведь \((-3)^2 = 9\). Сторона коврика не бывает отрицательной, поэтому в задаче про коврик второе число отбрасывают. А в уравнении \(x^2 = 9\) годятся оба — у него два корня.
Три случая
Всё решает знак числа \(a\) в правой части.
- \(a < 0\) — корней нет. Квадрат любого числа больше нуля или равен нулю. Отрицательным он не бывает. Поэтому уравнения \(x^2 = -4\) или \(x^2 = -0{,}5\) корней не имеют.
- \(a = 0\) — один корень. Квадрат равен нулю только у самого нуля: \(x^2 = 0\) лишь при \(x = 0\).
- \(a > 0\) — два корня. Один из них положительный — это арифметический корень \(\sqrt{a}\), ведь \((\sqrt{a})^2 = a\). Второй — противоположное число \(-\sqrt{a}\): при возведении в квадрат минус исчезает. Других корней нет.
Корни бывают «красивыми»: \(x^2 = 0{,}49\) даёт \(x = \pm 0{,}7\). А бывают иррациональными: у \(x^2 = 3\) корни \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\). Их так и записывают, через знак корня, а при необходимости находят приближённо: \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).
Как это видно на графике
Решить уравнение \(x^2 = a\) — значит найти абсциссы точек, где парабола \(y = x^2\) встречается с горизонтальной прямой \(y = a\).
Парабола лежит выше оси \(x\) и касается её только в начале координат. Ветви симметричны относительно оси \(y\). Прямая \(y = 4\) пересекает обе ветви — в точках с абсциссами \(-2\) и \(2\). Ось \(x\), то есть прямая \(y = 0\), имеет с параболой одну общую точку. Прямая \(y = -2\) проходит ниже параболы и не пересекает её. По графику удобно и прикидывать иррациональные корни: прямая \(y = 3\) пересекает параболу примерно при \(x \approx \pm 1{,}7\).
Важное следствие
При любом \(a \geqslant 0\) найдётся неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Значит, выражение \(\sqrt{a}\) имеет смысл при всех \(a \geqslant 0\). Для таких \(a\) верно равенство \((\sqrt{a})^2 = a\). Например, \((\sqrt{11})^2 = 11\). При \(a < 0\) запись \(\sqrt{a}\) смысла не имеет.
Как решать
- Приведите уравнение к виду \(x^2 = a\): перенесите числа в правую часть, разделите на коэффициент при \(x^2\).
- Посмотрите на знак \(a\). Если \(a < 0\) — запишите «корней нет».
- Если \(a = 0\) — корень один: \(x = 0\).
- Если \(a > 0\) — запишите два корня: \(x = -\sqrt{a}\) и \(x = \sqrt{a}\). Если корень извлекается точно, вычислите его.
- Если в квадрат возводится скобка, например \((x - 3)^2 = 25\), сначала найдите, чему может равняться скобка (\(5\) или \(-5\)), потом — \(x\).
Разобранные примеры
Решаем простое уравнение
Решите уравнение \(x^2 = 1{,}44\).
Правая часть положительна, значит, корней два: \(x = -\sqrt{1{,}44}\) и \(x = \sqrt{1{,}44}\). Так как \(1{,}2^2 = 1{,}44\), получаем \(x = -1{,}2\) и \(x = 1{,}2\).
Сначала приводим к виду x² = a
Решите уравнение \(5x^2 - 35 = 0\) и найдите приближённые значения корней с точностью до десятых.
Переносим 35 вправо: \(5x^2 = 35\). Делим на 5: \(x^2 = 7\). Так как \(7 > 0\), корни \(x = -\sqrt{7}\) и \(x = \sqrt{7}\).
Число \(\sqrt{7}\) лежит между 2 и 3, ведь \(2^2 = 4\), а \(3^2 = 9\). Подбором: \(2{,}6^2 = 6{,}76\), \(2{,}7^2 = 7{,}29\). Ближе к 7 число \(6{,}76\), поэтому \(\sqrt{7} \approx 2{,}6\).
Квадрат скобки
Решите уравнение \((2x + 1)^2 = 9\).
Число \(2x + 1\) в квадрате равно 9, значит, \(2x + 1 = 3\) или \(2x + 1 = -3\).
Из первого: \(2x = 2\), \(x = 1\). Из второго: \(2x = -4\), \(x = -2\).
Проверка: \((2 \cdot 1 + 1)^2 = 9\), \((2 \cdot (-2) + 1)^2 = (-3)^2 = 9\).
Типичные ошибки
Записывают для \(x^2 = 9\) только \(x = 3\). Но \((-3)^2 = 9\) тоже, и \(-3\) — такой же корень. Путаница возникает из-за того, что \(\sqrt{9} = 3\): арифметический корень действительно один, а корней уравнения два.
При \(a > 0\) всегда пишите пару: \(x = -\sqrt{a}\) и \(x = \sqrt{a}\). Для \(x^2 = 9\) ответ: \(-3\) и \(3\).
Для \(x^2 = -25\) пишут \(x = \pm 5\) или \(x = \sqrt{-25}\). Но \(5^2\) и \((-5)^2\) равны \(25\), а не \(-25\). Запись \(\sqrt{-25}\) вообще не имеет смысла.
Сначала проверьте знак правой части. Если \(x^2\) равен отрицательному числу, корней нет — так и пишут в ответе.
В уравнении \(x^3 - 3x = 0\) делят обе части на \(x\) и получают \(x^2 = 3\). При этом пропадает корень \(x = 0\): на ноль делить нельзя, а он тоже обращает уравнение в верное равенство.
Вынесите \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 3) = 0\). Тогда \(x = 0\) или \(x^2 = 3\). Корни: \(-\sqrt{3}\), \(0\), \(\sqrt{3}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Сколько корней имеет уравнение \(x^2 = -16\)?
Показать ответ
Ответ: А) Ни одного
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому он не может равняться \(-16\).
-
Какие уравнения имеют два корня?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(x^2 = 7\); Г) \(x^2 - 1 = 0\)
Два корня — когда правая часть положительна: \(x^2 = 7\) и \(x^2 = 1\). У \(x^2 = 0\) один корень, у \(x^2 = -7\) корней нет.
-
Найдите больший корень уравнения \(x^2 = 2{,}25\).
Показать ответ
Ответ: 1,5
Корни \(\pm\sqrt{2{,}25} = \pm 1{,}5\), больший из них \(1{,}5\).
-
Какие числа — корни уравнения \(x^2 = 5\)?
Показать ответ
Ответ: А) \(-\sqrt{5}\) и \(\sqrt{5}\)
Корень \(\sqrt{5}\) — неотрицательный, но \((-\sqrt{5})^2 = 5\) тоже, поэтому корней два.
-
Найдите сумму корней уравнения \((x - 3)^2 = 4\).
Показать ответ
Ответ: 6
\(x - 3 = 2\) или \(x - 3 = -2\), корни \(5\) и \(1\), их сумма \(6\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите уравнение \(x^2 = 64\).
Подсказка
Правая часть положительна — корней два, они противоположны.
Решение
\(64 > 0\), поэтому \(x = \sqrt{64} = 8\) или \(x = -\sqrt{64} = -8\).
Ответ
Решите уравнение \(3x^2 = 75\).
Подсказка
Сначала разделите обе части на 3.
Решение
Делим обе части на 3: \(x^2 = 25\). Так как \(25 > 0\), корни \(x = -5\) и \(x = 5\).
Ответ
Решите уравнение \((x - 5)^2 = 16\).
Подсказка
Обозначьте \(x - 5\) одной буквой: её квадрат равен 16.
Решение
Число \(x - 5\) в квадрате даёт 16, значит, \(x - 5 = 4\) или \(x - 5 = -4\). Отсюда \(x = 9\) или \(x = 1\).
Ответ
Решите уравнение \(7 + x^2 = 3\).
Подсказка
Перенесите 7 в правую часть и посмотрите на знак числа.
Решение
\(x^2 = 3 - 7 = -4\). Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому корней нет.
Ответ
Найдите все корни уравнения \(x^3 - 7x = 0\).
Подсказка
Вынесите \(x\) за скобки. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Решение
\(x(x^2 - 7) = 0\). Либо \(x = 0\), либо \(x^2 = 7\), откуда \(x = -\sqrt{7}\) или \(x = \sqrt{7}\). Всего три корня.
Ответ
При каком значении \(b\) уравнение \(x^2 = 2b - 6\) имеет ровно один корень? При каких \(b\) оно не имеет корней?
Подсказка
Один корень у уравнения \(x^2 = a\) бывает только при \(a = 0\).
Решение
Ровно один корень (число 0) будет, если правая часть равна нулю: \(2b - 6 = 0\), \(b = 3\). Корней нет, если \(2b - 6 < 0\), то есть при \(b < 3\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте параболу \(y = x^2\) по точкам (0; 0), (±1; 1), (±2; 4), (±3; 9) и положите поперёк листа линейку горизонтально. Двигайте её вверх и вниз: выше нуля линейка пересекает параболу дважды, на уровне нуля касается в одной точке, ниже — не пересекает вовсе. Это и есть три случая уравнения \(x^2 = a\).
Вопросы для проверки понимания:
- Почему у уравнения \(x^2 = 16\) два корня, а \(\sqrt{16}\) — одно число?
- Сколько корней у уравнений \(x^2 = 0\) и \(x^2 = -1\)?
- Как решить \((x + 2)^2 = 1\)?
На что обратить внимание. Главная ошибка — забытый отрицательный корень. Попросите ребёнка после решения подставить оба числа в уравнение: так он сам увидит, что минус «работает». И следите, чтобы перед извлечением корня он смотрел на знак правой части.