Ученик измерил острый угол и получил 140^\circ. В чём, скорее всего, ошибка?

Отсчёт взят не по той шкале

Транспортир неисправен

Острый угол бывает больше 90°

Измерение углов. Транспортир — 5 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Виды углов. Чертёжный треугольник

Коротко о главном

Углы измеряют в градусах. Градус — это $\dfrac{1}{180}$ развёрнутого угла, поэтому развёрнутый угол равен $180^\circ$ , а прямой — $90^\circ$ . Измеряют и строят углы транспортиром.

1^\circ = \dfrac{1}{180}\ \text{развёрнутого угла}

Подробное объяснение

Длину отрезка меряют линейкой: сколько сантиметров в него уложится. С углом так же — нужна «маленькая мерка», которую можно откладывать много раз. Такой меркой служит градус.

Что такое градус

Возьмём развёрнутый угол — его стороны лежат на одной прямой. Разделим его лучами из вершины на 180 равных маленьких углов. Каждый из них — это $1^\circ$ (читается «один градус»). Отсюда:

развёрнутый угол — $180^\circ$ ;
прямой угол — половина развёрнутого, $180^\circ : 2 = 90^\circ$ ;
острый угол меньше $90^\circ$ ;
тупой угол больше $90^\circ$ , но меньше $180^\circ$ .

Чем больше угол, тем больше в нём градусов. Равные углы имеют равные градусные меры.

Как устроен транспортир

Транспортир — полукруг со шкалой. Посередине прямого края есть отметка — центр транспортира. От центра расходятся штрихи через $1^\circ$ , длинные — через $5^\circ$ и $10^\circ$ .

У транспортира обычно две шкалы: внешняя и внутренняя. Они идут навстречу друг другу: у одной 0 стоит справа, у другой — слева. Поэтому у каждого штриха два числа, в сумме они дают 180 (например, 50 и 130).

Транспортир с внешней и внутренней шкалами, центр в вершине O. Луч OA идёт через 0 внутренней шкалы, луч OB — через отметку 50 внутренней и 130 внешней шкалы. Угол AOB равен 50°. — Отсчёт ведут по той шкале, у которой 0 стоит на первой стороне угла, — здесь по внутренней, поэтому ∠AOB = 50°, а не 130°.

Как измерить угол

Совмести центр транспортира с вершиной угла.
Поверни транспортир так, чтобы одна сторона угла прошла через 0 одной из шкал.
Найди, через какой штрих проходит вторая сторона, и прочитай число по той же шкале, где стоит 0 на первой стороне.
Проверь на глаз: острый угол должен получиться меньше 90°, тупой — больше. Если нет, ты смотришь не на ту шкалу.

Если сторона угла короткая и не дотягивается до шкалы, продолжи её линейкой.

Как построить угол заданной величины

Например, нужно построить $\angle AOB = 65^\circ$ от луча $$OA$$ .

Центр транспортира — в точку $$O$$ , луч $$OA$$ — через 0 шкалы.
На этой же шкале найди отметку 65 и поставь напротив неё точку $$B$$ .
Убери транспортир и проведи луч $$OB$$ .

Сложение и вычитание углов

Если луч $$OC$$ проходит внутри угла $$AOB$$ , он делит его на два угла, и градусные меры складываются: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ . Луч, который делит угол пополам, называется биссектрисой угла.

Угол между стрелками часов

Циферблат — полный круг, $360^\circ$ . На нём 12 часовых делений, поэтому между соседними числами $30^\circ$ . Часовая стрелка за час проходит одно деление — $30^\circ$ , а за минуту — $0{,}5^\circ$ . Поэтому в 3 ч 30 мин она стоит не на 3, а посередине между 3 и 4.

Как решать задачи

Если нужно измерить — транспортир, центр в вершину, ноль на одной стороне, отсчёт по той же шкале.
Если угол задан частью прямого или развёрнутого — умножай 90° или 180° на эту часть.
Если луч внутри угла — складывай или вычитай градусные меры.
Проверяй вид угла: острый — меньше 90°, тупой — от 90° до 180°.

Разобранные примеры

База

Чтение по правильной шкале

Условие

Центр транспортира совмещён с вершиной угла $$KOP$$ . Луч $$OK$$ проходит через 0 внешней шкалы, луч $$OP$$ — через штрих, у которого на внешней шкале 40, а на внутренней 140. Чему равен угол $$KOP$$ ?

Решение

Ноль на стороне $$OK$$ стоит у внешней шкалы, значит, и отсчёт берём по внешней: $40^\circ$ . Проверка: по рисунку угол должен быть острым, и $40^\circ < 90^\circ$ — сходится.

Ответ: 40°

Средний

Угол — часть развёрнутого

Условие

Угол составляет $\dfrac{5}{9}$ развёрнутого угла. Найдите его и определите вид.

Решение

Развёрнутый угол — $180^\circ$ .

$180^\circ \cdot \dfrac{5}{9} = 180^\circ : 9 \cdot 5 = 20^\circ \cdot 5 = 100^\circ$ .

$100^\circ$ больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$ — угол тупой.

Ответ: 100°, тупой угол

Сложный

Угол между стрелками часов

Условие

Какой угол образуют стрелки часов в 4 ч 30 мин?

Решение

Отсчитываем от отметки 12 по ходу часов.

Минутная стрелка на 6: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ .

Часовая стрелка за 4 ч прошла $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ и ещё за 30 мин — $30 \cdot 0{,}5^\circ = 15^\circ$ , всего $135^\circ$ .

Угол между стрелками: $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ .

Ответ: 45°

Типичные ошибки

Читают отсчёт не по той шкале

Почему неверно

На каждом штрихе два числа, например 30 и 150. Если сторона угла стоит на нуле внешней шкалы, а число взято с внутренней, получится не сам угол, а то, что дополняет его до $180^\circ$ .

Как правильно

Сначала найди, у какой шкалы 0 лежит на первой стороне угла, и только по ней читай отметку на второй стороне. Проверь вид угла на глаз: острый не может оказаться $150^\circ$ .

Ставят на вершину угла край транспортира, а не центр

Почему неверно

Если вершина угла не совпадает с центральной отметкой, лучи проходят через другие штрихи, и отсчёт получается неверным.

Как правильно

Совмести с вершиной именно центр — отметку посередине прямого края, а затем поверни транспортир, чтобы сторона прошла через 0.

Считают, что часовая стрелка стоит ровно на числе

Почему неверно

В 3 ч 30 мин часовая стрелка уже прошла половину пути от 3 к 4. Если считать её стоящей на 3, угол выйдет $90^\circ$ вместо $75^\circ$ .

Как правильно

Добавляй к положению часовой стрелки по $0{,}5^\circ$ за каждую минуту.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Какую часть развёрнутого угла составляет угол 60°?

Подсказка

Развёрнутый угол равен 180°.

Решение

$\dfrac{60}{180} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

1/3

База Задача 2

Транспортир приложили к углу $$AOB$$ , луч $$OA$$ идёт через 0 внутренней шкалы, а луч $$OB$$ — через отметку 35 внутренней и 145 внешней шкалы. Чему равен угол $$AOB$$ ? Какой это угол?

Подсказка

Читать нужно по той шкале, у которой 0 стоит на луче $$OA$$ .

Решение

Ноль на луче $$OA$$ у внутренней шкалы, значит, отсчёт по ней — $35^\circ$ . Это меньше $90^\circ$ , угол острый.

Ответ

35°, острый

Средний Задача 3

Луч $$OC$$ проходит внутри угла $$AOB$$ , $\angle AOB = 130^\circ$ , $\angle AOC = 48^\circ$ . Найдите угол $$COB$$ .

Решение

Луч внутри угла делит его на два угла, сумма которых равна всему углу. $\angle COB = 130^\circ - 48^\circ = 82^\circ$ .

Ответ

82°

Средний Задача 4

Какой угол образуют стрелки часов в 8 ч?

Подсказка

Между соседними числами циферблата $360^\circ : 12 = 30^\circ$ .

Решение

Часовая стрелка на 8, минутная на 12. Короткая дуга между ними — 4 деления (8, 9, 10, 11, 12), $30^\circ \cdot 4 = 120^\circ$ .

Ответ

120°

Сложный Задача 5

Какой угол образуют стрелки часов в 9 ч 20 мин?

Подсказка

Часовая стрелка за минуту поворачивается на $0{,}5^\circ$ .

Решение

Отсчитываем от отметки 12 по ходу часов. Минутная стрелка на 4: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ . Часовая: $9 \cdot 30^\circ + 20 \cdot 0{,}5^\circ = 270^\circ + 10^\circ = 280^\circ$ .

Разность $280^\circ - 120^\circ = 160^\circ$ — это меньшая дуга (она меньше $180^\circ$ ), значит, угол между стрелками $160^\circ$ .

Ответ

160°

Сложный Задача 6

Угол $$AOB$$ равен $\dfrac{3}{5}$ развёрнутого угла. Луч $$OD$$ — его биссектриса. Найдите угол $$AOD$$ и определите вид угла $$AOB$$ .

Решение

$\angle AOB = 180^\circ \cdot \dfrac{3}{5} = 108^\circ$ — тупой угол. Биссектриса делит его пополам, $\angle AOD = 108^\circ : 2 = 54^\circ$ .

Ответ

54°; угол AOB тупой (108°)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сложите бумажный круг пополам — получится развёрнутый угол, $180^\circ$ ; ещё раз пополам — прямой угол, $90^\circ$ . Потом возьмите транспортир, начертите любой угол и покажите: центр — в вершину, одна сторона — через ноль, отсчёт — по той шкале, где этот ноль. Пусть ребёнок сам измерит углы у книги, ножниц, раскрытого ноутбука.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько градусов в прямом и в развёрнутом углу? 2) Почему у транспортира две шкалы и как выбрать нужную? 3) Какой угол между стрелками в 3 ч и в 6 ч?

На что обратить внимание. Главная ошибка — отсчёт не по той шкале. Приучите ребёнка после каждого измерения спрашивать себя: «Угол на вид острый или тупой? Совпадает ли с числом?»

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 51	7.57, 7.58, 7.59, 7.60, 7.61, 7.62, 7.63, 7.64, 7.65, 7.66, 7.67, 7.68, 7.69, 7.70, 7.71, 7.72, 7.73, 7.74, 7.75, 7.76, 7.77, 7.78, 7.79