Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Углы сравнивают с прямым углом — половиной развёрнутого. Угол меньше прямого называют острым, больше прямого, но меньше развёрнутого — тупым. Прямой угол строят и проверяют чертёжным треугольником.
Подробное объяснение
Сложите лист бумаги пополам, а потом ещё раз пополам так, чтобы линия первого сгиба легла сама на себя. Уголок, который получился в центре, — точная модель прямого угла. Им можно проверять углы стола, книги, окна.
Что такое угол
Угол — фигура из двух лучей с общим началом. Лучи называют сторонами угла, их общее начало — вершиной. Угол обозначают тремя буквами: на первом и последнем месте — точки на сторонах, в середине — вершина. Например, \(\angle AOB\): вершина \(O\), стороны \(OA\) и \(OB\). Если на чертеже у вершины один угол, пишут коротко: \(\angle O\).
Стороны угла — лучи, они бесконечны. Нарисованные отрезки — только их видимая часть. Поэтому величина угла не зависит от того, длинно или коротко начерчены стороны.
Каждая точка плоскости лежит либо внутри угла (между сторонами), либо вне угла, либо на его сторонах.
Как сравнивают углы
Два угла равны, если при наложении они совпадают. Чтобы сравнить углы, один из них копируют на кальку, совмещают вершины и одну пару сторон. Если вторая сторона копии оказалась внутри другого угла, то скопированный угол меньше.
Если из вершины угла провести луч внутри него, угол разделится на два, и каждый из них меньше целого угла.
Четыре вида углов
- Развёрнутый угол — его стороны являются дополнительными лучами, то есть вместе составляют прямую. Так стоят стрелки часов в 6 ч.
- Прямой угол — половина развёрнутого. На чертеже его отмечают маленьким уголком.
- Острый угол — меньше прямого.
- Тупой угол — больше прямого, но меньше развёрнутого.
Как измерять углы числами, расскажет следующая тема — про транспортир. Пока достаточно уметь сравнить угол с прямым.
Чертёжный треугольник
У чертёжного треугольника один угол прямой. Его стороны при прямом угле (катеты) помогают и строить прямые углы, и проверять.
Чтобы определить вид угла, совместите вершину прямого угла треугольника с вершиной угла, а один катет — с одной стороной. Дальше смотрите на вторую сторону: если она проходит внутри уголка — угол острый, совпадает со вторым катетом — прямой, выходит за уголок — тупой.
Как решать задачи
- Чтобы назвать все углы, выпишите лучи с общим началом и составьте из них все пары. Вершину ставьте в середину названия.
- Чтобы понять, где лежит точка, мысленно продлите стороны угла за нарисованные концы.
- Чтобы определить вид угла, приложите чертёжный треугольник прямым углом к вершине и катетом к одной стороне.
- Чтобы построить прямой угол \(ABD\): проведите луч \(BA\); совместите вершину прямого угла треугольника с точкой \(B\), а катет — с лучом \(BA\); проведите вдоль второго катета луч \(BD\).
Разобранные примеры
Углы на циферблате
Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 9 ч, в 10 ч и в 7 ч?
В 9 ч стрелки смотрят на 12 и на 9 — четверть оборота, угол прямой.
В 10 ч часовая стрелка ближе к 12, чем в 9 ч, угол меньше прямого — острый.
В 7 ч часовая стрелка прошла дальше 6: стрелки на 12 и на 7. Угол между 12 и 6 был бы развёрнутым, а от 12 до 7 по короткой дуге — меньше развёрнутого, но больше прямого (больше, чем от 12 до 9). Угол тупой.
Сколько углов образуют лучи
Из точки \(O\) провели три луча \(OA\), \(OB\), \(OC\), причём \(OA\) и \(OC\) — дополнительные лучи. Назовите все углы и укажите развёрнутый.
Пар лучей три: \(OA\) и \(OB\), \(OB\) и \(OC\), \(OA\) и \(OC\). Получаем углы \(\angle AOB\), \(\angle BOC\), \(\angle AOC\).
Лучи \(OA\) и \(OC\) дополнительные, значит, \(\angle AOC\) — развёрнутый. Луч \(OB\) делит его на два угла.
Луч в развёрнутом угле
Из вершины развёрнутого угла \(MON\) провели луч \(OK\) так, что \(\angle MOK = \angle KON\). Какой вид имеют эти углы?
Луч \(OK\) разделил развёрнутый угол на два равных угла, то есть каждый из них — половина развёрнутого.
Половина развёрнутого угла по определению — прямой угол.
Типичные ошибки
Стороны угла — лучи, их длина бесконечна. Длина нарисованных отрезков — дело удобства чертежа и на величину угла не влияет.
Сравнивайте, насколько стороны «разведены»: наложением, чертёжным треугольником, а позже — транспортиром.
\(\angle KMP\) и \(\angle MKP\) — разные углы: у первого вершина \(M\), у второго — \(K\). Перепутав порядок букв, ученик называет совсем другой угол.
Сначала найдите вершину и запишите её средней буквой, по краям — по точке на каждой стороне.
Точка может быть нарисована дальше концов отрезков-сторон, но всё равно лежать между лучами. Если судить только по отрезкам, её ошибочно отнесут к точкам вне угла.
Мысленно (или тонкой линией) продлите стороны угла от вершины дальше и только потом решайте, где лежит точка.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой угол называют прямым?
Показать ответ
Ответ: Б) Половину развёрнутого угла
Прямой угол — половина развёрнутого; угол с дополнительными лучами — это сам развёрнутый угол.
-
Угол больше прямого, но меньше развёрнутого. Как он называется?
Показать ответ
Ответ: В) Тупой
Тупой угол лежит между прямым и развёрнутым, острый — меньше прямого.
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Любой острый угол меньше любого тупого; Б) Луч, проведённый из вершины внутри угла, делит его на два меньших угла; Г) Два угла равны, если они совпадают при наложении
Острый меньше прямого, а тупой больше прямого; величина угла не зависит от длины нарисованных сторон.
-
Как называют угол с вершиной \(K\), стороны которого проходят через точки \(M\) и \(P\)?
Показать ответ
Ответ: В) ∠MKP
Вершину угла пишут в середине названия, поэтому угол называют \(\angle MKP\) или \(\angle PKM\).
-
Сколько развёрнутых углов с вершиной в точке пересечения образуют две пересекающиеся прямые?
Показать ответ
Ответ: 2
Каждая прямая делится точкой пересечения на два дополнительных луча и даёт один развёрнутый угол, всего 2.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Из вершины угла \(AOB\) внутри него провели луч \(OC\). Назовите все углы, которые получились на чертеже.
Подсказка
Каждые два луча с общим началом образуют угол.
Решение
Лучей с началом \(O\) три: \(OA\), \(OC\), \(OB\). Пары лучей: \(OA\) и \(OC\), \(OC\) и \(OB\), \(OA\) и \(OB\).
Углы: \(\angle AOC\), \(\angle COB\), \(\angle AOB\).
Ответ
Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов ровно в 3 ч? в 6 ч? в 5 ч?
Решение
В 3 ч стрелки смотрят на 12 и на 3 — это четверть оборота, прямой угол.
В 6 ч стрелки смотрят на 12 и на 6 — в противоположные стороны, угол развёрнутый.
В 5 ч часовая стрелка дальше, чем на 3, но не дошла до 6: угол больше прямого, но меньше развёрнутого — тупой.
Ответ
Две прямые пересекаются под прямым углом. Сколько прямых углов при этом образуется?
Подсказка
Проведите две такие прямые чертёжным треугольником и посчитайте углы вокруг точки пересечения.
Решение
Точка пересечения делит каждую прямую на два луча — всего четыре луча. Соседние лучи образуют четыре угла.
Один из них прямой. Соседний с ним дополняет его до развёрнутого угла, а половина развёрнутого — снова прямой угол. Так по кругу все четыре угла прямые.
Ответ
Из вершины прямого угла \(ABC\) провели внутри него луч \(BD\). Какими могут быть углы \(ABD\) и \(DBC\) — острыми, прямыми, тупыми?
Решение
Луч \(BD\) лежит внутри угла \(ABC\), поэтому каждый из углов \(ABD\) и \(DBC\) меньше угла \(ABC\).
Угол, меньший прямого, — острый. Значит, оба угла острые, при любом положении луча.
Ответ
Точка \(O\) лежит на прямой \(MN\). Из неё провели луч \(OK\), не лежащий на этой прямой. Угол \(MOK\) — острый. Каким будет угол \(KON\)?
Подсказка
Углы \(MOK\) и \(KON\) вместе составляют развёрнутый угол \(MON\).
Решение
Угол \(MON\) развёрнутый, луч \(OK\) делит его на два угла: \(\angle MOK\) и \(\angle KON\).
Развёрнутый угол — это два прямых. Если \(\angle MOK\) меньше прямого, то на \(\angle KON\) остаётся больше прямого угла. При этом \(\angle KON\) меньше развёрнутого.
Значит, угол \(KON\) тупой.
Ответ
Из одной точки провели 4 луча, никакие два из них не лежат на одной прямой. Сколько всего углов образуют эти лучи?
Подсказка
Угол образует любая пара лучей. Посчитайте, сколько пар можно составить.
Решение
Обозначим лучи \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\) и выпишем пары по порядку:
с лучом \(OA\): \(\angle AOB\), \(\angle AOC\), \(\angle AOD\) — 3 угла;
с лучом \(OB\) (кроме уже записанной пары с \(OA\)): \(\angle BOC\), \(\angle BOD\) — 2 угла;
с лучом \(OC\): \(\angle COD\) — 1 угол.
Всего \(3 + 2 + 1 = 6\) углов.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и дважды сложите его пополам, чтобы получился уголок — это прямой угол. Пусть ребёнок прикладывает уголок к предметам: если угол предмета уже уголка — он острый, шире — тупой. Раскрытая книга, лежащая плашмя, покажет развёрнутый угол. Вопросы для проверки понимания: 1) Чем развёрнутый угол отличается от прямого? 2) Может ли тупой угол быть меньше острого? 3) Где в угле \(ABC\) вершина? На что обратить внимание. Ребёнок должен прикладывать чертёжный треугольник именно прямым углом к вершине и катетом точно по стороне; а при поиске точек внутри угла — помнить, что стороны продолжаются за нарисованные концы.