Какие утверждения верны?

Равные фигуры имеют равные площади

Площадь фигуры равна сумме площадей её частей

Фигуры с равными площадями всегда равны

Если у прямоугольников равны периметры, то равны и площади

Прямоугольник разрезали по диагонали на два треугольника. Какая площадь у каждого треугольника?

Такая же, как у прямоугольника

Четверть площади прямоугольника

Площадь прямоугольника — 5 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Формулы

Коротко о главном

Площадь показывает, сколько единичных квадратов (например, квадратных сантиметров) помещается в фигуре. Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, площадь квадрата — квадрату его стороны.

S = ab, \qquad S = a^2

Подробное объяснение

Чтобы покрасить стену, постелить линолеум или засеять поле, нужно знать, сколько места занимает поверхность. Эта величина называется площадью. Длину мы измеряем отрезком длиной 1 см, а площадь — квадратом со стороной 1 см.

Квадратный сантиметр

Квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 квадратный сантиметр, коротко 1 см². Если фигура складывается ровно из $$n$$ таких квадратиков, её площадь равна $$n$$ см². Так же устроены квадратный миллиметр (мм²), квадратный дециметр (дм²) и квадратный метр (м²) — это квадраты со стороной 1 мм, 1 дм, 1 м.

Когда фигура нарисована на клетчатой бумаге, площадь можно просто посчитать по клеткам.

Формула площади прямоугольника

Возьмём прямоугольник длиной 5 см и шириной 3 см и расчертим его на квадратики со стороной 1 см. Получится 3 ряда, в каждом по 5 квадратиков, всего $5 \cdot 3 = 15$ . Значит, площадь равна 15 см².

Прямоугольник 5 см на 3 см разбит на квадраты со стороной 1 см — 3 ряда по 5 клеток, клетки пронумерованы от 1 до 15. Площадь равна 5 · 3 = 15 см². — В прямоугольнике b рядов по a квадратных сантиметров, поэтому S = a · b.

Для любого прямоугольника рассуждение то же: вдоль длины помещается $$a$$ квадратиков, а таких рядов — $$b$$ . Поэтому, чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить его длину и ширину:

\[S = ab.\]

Здесь $$S$$ — площадь, $$a$$ — длина, $$b$$ — ширина. Обе стороны должны быть выражены в одних единицах: если стороны в сантиметрах, площадь получится в см², если в метрах — в м².

Из формулы легко найти и неизвестную сторону: $$a = S : b$$ , $$b = S : a$$ .

Площадь квадрата

У квадрата все стороны равны, поэтому $S = a \cdot a = a^2$ . Запись $$a^2$$ читают « $$a$$ в квадрате» — отсюда и название «квадрат числа». Например, квадрат со стороной 7 см имеет площадь $$7^2 = 49$$ см².

Равные и равновеликие фигуры

Две фигуры равны, если при наложении они совпадают. Площадь обладает двумя важными свойствами:

Равные фигуры имеют равные площади.
Если фигуру разрезать на части, её площадь равна сумме площадей частей.

Второе свойство помогает найти площадь сложной фигуры: разрежьте её на прямоугольники и сложите их площади.

Фигура в форме буквы Г разрезана пунктиром на два прямоугольника — 2 на 3 см и 6 на 2 см. Их площади 6 см² и 12 см², площадь всей фигуры 18 см². — Площадь фигуры равна сумме площадей её частей.

Отсюда же следует, что диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, и площадь каждого — половина площади прямоугольника.

Фигуры с одинаковой площадью называют равновеликими. Равные фигуры всегда равновелики, а вот равновеликие не обязательно равны: квадрат 2 × 2 см и полоска 1 × 4 см имеют площадь по 4 см², но наложить одну на другую нельзя.

Как решать задачи

Найдите, какие стороны прямоугольника известны. Если одна задана через другую («в 3 раза больше»), сначала вычислите её.
Переведите стороны в одинаковые единицы.
Подставьте в формулу $$S = ab$$ (для квадрата $$S = a^2$$ ). Если известна площадь и одна сторона — разделите площадь на эту сторону.
Сложную фигуру разрежьте на прямоугольники, найдите площадь каждого и сложите.
Запишите ответ в квадратных единицах: см², дм², м².

Разобранные примеры

База

Площадь комнаты

Условие

Комната имеет форму прямоугольника 6 м на 4 м. Сколько квадратных метров ламината нужно, чтобы застелить весь пол?

Дано

$$a = 6$$ м
$$b = 4$$ м

Найти

$$S$$

Решение

$S = ab = 6 \cdot 4 = 24$ м².

Ответ: 24 м²

Средний

Неизвестная сторона

Условие

Прямоугольный участок площадью 450 м² имеет ширину 15 м. Найдите длину участка и длину забора вокруг него.

Дано

$$S = 450$$ м²
$$b = 15$$ м

Найти

$$a$$
$$P$$

Решение

Длина $$a = S : b = 450 : 15 = 30$$ м.

Забор — это периметр: $P = 2 \cdot (30 + 15) = 2 \cdot 45 = 90$ м.

Ответ: Длина 30 м, забор 90 м

Сложный

Площадь фигуры из прямоугольников

Условие

Пол в прихожей имеет форму буквы Г: прямоугольник 5 м на 2 м, к которому сбоку примыкает квадрат со стороной 3 м. Сколько квадратных метров плитки понадобится?

Решение

Разрежем пол на две части. Площадь прямоугольника $5 \cdot 2 = 10$ м², площадь квадрата $$3^2 = 9$$ м².

Площадь фигуры равна сумме площадей частей: $$10 + 9 = 19$$ м².

Ответ: 19 м²

Типичные ошибки

Путают площадь и периметр

Почему неверно

Для прямоугольника 5 см на 3 см складывают стороны: $2 \cdot (5 + 3) = 16$ — это длина обводки, периметр, а не площадь. Периметр измеряется в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах.

Как правильно

Площадь — это количество квадратиков внутри: $S = 5 \cdot 3 = 15$ см². Сложение сторон нужно только для периметра.

Перемножают стороны в разных единицах

Почему неверно

Длина 2 м, ширина 50 см. Пишут $2 \cdot 50 = 100$ — но ни метров, ни сантиметров в ответе не получится: число ничего не значит.

Как правильно

Сначала переведите в одни единицы: $$2$$ м $$= 200$$ см, $S = 200 \cdot 50 = 10\,000$ см².

Считают квадрат числа как удвоение

Почему неверно

Для квадрата со стороной 6 см пишут $$6^2 = 12$$ . Но $$6^2$$ — это $6 \cdot 6$ , а не $6 \cdot 2$ .

Как правильно

$S = a^2 = 6 \cdot 6 = 36$ см².

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Длина прямоугольника 9 см, ширина 4 см. Найдите его площадь.

Подсказка

Перемножьте длину и ширину.

Решение

$S = ab = 9 \cdot 4 = 36$ см².

Ответ

36 см²

База Задача 2

Сторона квадратной плитки 15 см. Найдите площадь плитки.

Подсказка

Площадь квадрата — сторона, умноженная сама на себя.

Решение

$S = a^2 = 15 \cdot 15 = 225$ см².

Ответ

225 см²

Средний Задача 3

Площадь прямоугольной клумбы 84 м², её длина 12 м. Найдите ширину клумбы и её периметр.

Подсказка

Если $$S = ab$$ , то $$b = S : a$$ .

Решение

$$b = S : a = 84 : 12 = 7$$ м.

$P = 2 \cdot (12 + 7) = 2 \cdot 19 = 38$ м.

Ответ

Ширина 7 м, периметр 38 м

Средний Задача 4

Ширина прямоугольника 8 дм, а длина в 3 раза больше. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Длина $8 \cdot 3 = 24$ дм.

$S = 24 \cdot 8 = 192$ дм².

Ответ

192 дм²

Сложный Задача 5

Из квадратного листа картона со стороной 20 см вырезали прямоугольное окно 12 см на 5 см. Какова площадь оставшейся рамки?

Подсказка

Площадь рамки — это площадь всего листа без площади окна.

Решение

Площадь листа $$20^2 = 400$$ см², площадь окна $12 \cdot 5 = 60$ см².

Площадь рамки $$400 - 60 = 340$$ см².

Ответ

340 см²

Сложный Задача 6

Прямоугольник 16 см на 4 см равновелик квадрату. Найдите сторону квадрата. У какой фигуры периметр больше и на сколько?

Подсказка

Равновеликие фигуры имеют одинаковую площадь. Подберите число, квадрат которого равен этой площади.

Решение

Площадь прямоугольника $16 \cdot 4 = 64$ см². Сторона квадрата — такое число, что $a \cdot a = 64$ , то есть $$a = 8$$ см.

Периметр прямоугольника $2 \cdot (16 + 4) = 40$ см, квадрата $4 \cdot 8 = 32$ см. У прямоугольника больше на $$40 - 32 = 8$$ см.

Ответ

Сторона 8 см; периметр прямоугольника больше на 8 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте прямоугольник 4 × 3 клетки. Попросите ребёнка посчитать клетки по одной, затем спросите, как это сделать быстрее: 3 ряда по 4 клетки — $4 \cdot 3 = 12$ . Потом нарисуйте фигуру-«ступеньку» и предложите разрезать её на прямоугольники. Вопросы для проверки понимания: 1) Чем площадь отличается от периметра? 2) Как найти ширину прямоугольника, если известны площадь и длина? 3) Всегда ли равны фигуры с одинаковой площадью? На что обратить внимание. Ответ всегда в квадратных единицах (см², м²), а стороны перед умножением — в одинаковых единицах.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 21	4.38, 4.39, 4.40, 4.41, 4.42, 4.43, 4.44, 4.45, 4.46, 4.47, 4.48, 4.49, 4.50, 4.51, 4.52, 4.53, 4.54, 4.55, 4.56, 4.57, 4.58, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65, 4.66, 4.67, 4.68, 4.69, 4.70, 4.71, 4.72, 4.73, 4.74, 4.75, 4.76, 4.77, 4.78