Какую единицу удобнее всего взять для площади футбольного поля?

Квадратный метр или гектар

Квадратный миллиметр

Единицы измерения площадей — 5 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Площадь. Формула площади прямоугольника

Коротко о главном

Площадь измеряют квадратами: квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см, квадратный метр — со стороной 1 м и так далее. Соседние единицы отличаются в 100 раз, потому что сторона отличается в 10 раз, а квадрат — это «сторона на сторону».

1\ \text{см}^2 = 100\ \text{мм}^2,\quad 1\ \text{м}^2 = 100\ \text{дм}^2 = 10\,000\ \text{см}^2,\quad 1\ \text{га} = 100\ \text{а} = 10\,000\ \text{м}^2

Подробное объяснение

Площадь тетрадного листа удобно считать в квадратных сантиметрах, площадь квартиры — в квадратных метрах, а площадь города — в квадратных километрах. Если измерить квартиру в квадратных сантиметрах, получится число с шестью цифрами, а считать город в квадратных метрах совсем неудобно. Поэтому для площадей, как и для длин, есть целая лестница единиц.

Квадратные единицы

Каждая единица площади — это квадрат, сторона которого равна единице длины:

квадратный миллиметр (мм²) — квадрат со стороной 1 мм;
квадратный сантиметр (см²) — со стороной 1 см;
квадратный дециметр (дм²) — со стороной 1 дм;
квадратный метр (м²) — со стороной 1 м;
квадратный километр (км²) — со стороной 1 км.

Маленькая двойка в записи «м²» читается «квадратный». Вслух говорят полностью: «двадцать квадратных метров», а не «двадцать метров квадратных» и не «двадцать эм два».

Почему в 100 раз, а не в 10

В одном дециметре 10 сантиметров. Нарисуем квадрат со стороной 1 дм и разделим каждую сторону на 10 частей по 1 см. Квадрат разобьётся на 10 рядов по 10 маленьких квадратиков — всего $10 \cdot 10 = 100$ штук. Каждый квадратик — 1 см². Значит, $$1$$ дм² $$= 100$$ см².

Квадрат со стороной 1 дм разбит на 10 рядов по 10 клеток; одна клетка выделена и подписана «1 см²». Всего 100 клеток, поэтому 1 дм² = 100 см². — Сторона 1 дм — это 10 см, поэтому в квадрате 10 · 10 = 100 квадратных сантиметров.

Так же получаются и другие соотношения:

$$1$$ см² $= 10 \cdot 10 = 100$ мм²;
$$1$$ м² $= 10 \cdot 10 = 100$ дм²;
$$1$$ м² $= 100 \cdot 100 = 10\,000$ см², ведь в метре 100 сантиметров;
$$1$$ км² $= 1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000$ м².

Правило простое: во сколько раз одна единица длины больше другой, это число надо умножить само на себя.

Ар и гектар

Для земельных участков и полей есть особые единицы.

Ар (а) — площадь квадрата со стороной 10 м: $$1$$ а $$= 100$$ м². В быту ар называют соткой — в нём сто квадратных метров. «Участок 6 соток» — это 600 м².
Гектар (га) — площадь квадрата со стороной 100 м: $$1$$ га $= 10\,000$ м² $$= 100$$ а.
$$1$$ км² $$= 100$$ га.

Получается лестница, где каждая ступенька в 100 раз больше предыдущей: м² → а → га → км².

Площадь прямоугольника в разных единицах

Площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину. Но перемножать можно только стороны, выраженные в одной и той же единице. Если одна сторона 2 м, а другая 40 см, сначала переведите: $$2$$ м $$= 200$$ см, и только потом $200 \cdot 40 = 8000$ см². Результат будет в квадратах той единицы, в которой вы выразили стороны.

Как решать задачи

Посмотрите, в каких единицах даны величины и в каких нужен ответ.
Если сторон две, выразите их в одной единице длины. Удобнее брать такую единицу, чтобы числа были целыми.
Вычислите площадь.
Переведите ответ в нужную единицу: из мелкой в крупную — делите на 100 (или на 10 000), из крупной в мелкую — умножайте.
Составную величину вроде «5 м² 32 дм²» переводите по частям: $5 \cdot 100 + 32 = 532$ дм².
Проверьте здравый смысл: площадь комнаты — десятки квадратных метров, площадь поля — гектары.

Разобранные примеры

База

Площадь коврика

Условие

Коврик имеет форму прямоугольника длиной 1 м 20 см и шириной 80 см. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах и в квадратных дециметрах.

Дано

длина $$1$$ м $$20$$ см
ширина $$80$$ см

Найти

$$S$$

Решение

Переведём длину в сантиметры: $$1$$ м $$20$$ см $$= 120$$ см.

$S = 120 \cdot 80 = 9600$ см².

В $$1$$ дм² $$100$$ см², поэтому $$9600 : 100 = 96$$ дм².

Ответ: 9600 см² = 96 дм²

Средний

Огород в сотках

Условие

Огород имеет форму прямоугольника 40 м на 25 м. Сколько в нём соток? Сколько семян газонной травы понадобится, чтобы засеять половину огорода, если на 1 а нужно 400 г семян?

Дано

стороны $$40$$ м и $$25$$ м
$$400$$ г на $$1$$ а

Найти

площадь в сотках и массу семян

Решение

$S = 40 \cdot 25 = 1000$ м². Сотка — $$100$$ м², поэтому $$1000 : 100 = 10$$ а.

Половина огорода — $$5$$ а. Семян: $5 \cdot 400 = 2000$ г $$= 2$$ кг.

Ответ: 10 соток; 2 кг семян

Сложный

Перевод составных величин

Условие

Выразите в арах: а) $$4$$ га $$7$$ а; б) $$2$$ км² $$35$$ га; в) $62\,500$ м².

Решение

а) $$1$$ га $$= 100$$ а: $4 \cdot 100 + 7 = 407$ а.

б) $$1$$ км² $$= 100$$ га $= 10\,000$ а: $2 \cdot 10\,000 + 35 \cdot 100 = 20\,000 + 3500 = 23\,500$ а.

в) $$1$$ а $$= 100$$ м²: $62\,500 : 100 = 625$ а.

Ответ: 407 а; 23 500 а; 625 а

Типичные ошибки

Думают, что в 1 м² 100 см²

Почему неверно

Ученик переносит правило для длин: раз в метре 100 сантиметров, то и в квадратном метре будто бы 100 квадратных сантиметров. Но квадратный метр — это квадрат 100 × 100 см, в нём 100 рядов по 100 квадратных сантиметров.

Как правильно

Число из соотношения длин умножайте само на себя: $$1$$ м $$= 100$$ см, значит $$1$$ м² $= 100 \cdot 100 = 10\,000$ см². Для соседних единиц (мм², см², дм², м²) множитель $10 \cdot 10 = 100$ .

Перемножают стороны в разных единицах

Почему неверно

Для прямоугольника 3 м на 40 см пишут $3 \cdot 40 = 120$ — и не могут сказать, что это за единицы: ни м², ни см² не подходят.

Как правильно

Сначала переведите стороны в одну единицу: $$3$$ м $$= 300$$ см, $300 \cdot 40 = 12\,000$ см². Или обе в дециметрах: $30 \cdot 4 = 120$ дм².

Считают, что гектар — квадрат со стороной 1 км

Почему неверно

Слово «гекто» сбивает с толку, и гектар путают с квадратным километром. На самом деле квадратный километр в 100 раз больше гектара.

Как правильно

Запомните стороны квадратов: ар — 10 м, гектар — 100 м, квадратный километр — 1000 м. Каждая следующая сторона в 10 раз длиннее, а площадь — в 100 раз больше.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выразите в квадратных сантиметрах $$7$$ дм² $$15$$ см².

Подсказка

В одном квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров.

Решение

$$7$$ дм² $= 7 \cdot 100 = 700$ см². $$700 + 15 = 715$$ см².

Ответ

715 см²

База Задача 2

Дачный участок занимает 8 соток. Сколько это квадратных метров?

Подсказка

Сотка — это ар, квадрат со стороной 10 м.

Решение

$$1$$ а $= 10 \cdot 10 = 100$ м². $8 \cdot 100 = 800$ м².

Ответ

800 м²

Средний Задача 3

Комната имеет длину 4 м 50 см и ширину 3 м. Найдите её площадь в квадратных дециметрах.

Подсказка

Выразите обе стороны в дециметрах.

Решение

$$4$$ м $$50$$ см $$= 45$$ дм, $$3$$ м $$= 30$$ дм. $S = 45 \cdot 30 = 1350$ дм² — это $$13$$ м² $$50$$ дм².

Ответ

1350 дм² = 13 м² 50 дм²

Средний Задача 4

Поле имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 240 м. Сколько это гектаров?

Подсказка

Гектар — это 10 000 м².

Решение

$S = 500 \cdot 240 = 120\,000$ м². $120\,000 : 10\,000 = 12$ га.

Ответ

12 га

Сложный Задача 5

Для газона купили рулоны по 2 м² каждый. Сколько рулонов нужно на прямоугольную площадку 12 м × 8 м 50 см?

Подсказка

Сначала найдите площадь площадки в квадратных метрах. Длину 8 м 50 см удобно выразить в дециметрах.

Решение

$$12$$ м $$= 120$$ дм, $$8$$ м $$50$$ см $$= 85$$ дм. $S = 120 \cdot 85 = 10\,200$ дм² $$= 102$$ м². Рулонов: $$102 : 2 = 51$$ .

Ответ

51 рулон

Сложный Задача 6

Квадратный участок земли имеет площадь 1 га. Его разделили на квадратные грядки площадью 1 а каждая. Сколько получилось грядок и какова сторона одной грядки?

Подсказка

Вспомните, квадрат с какой стороной имеет площадь 1 га, а с какой — 1 а.

Решение

$$1$$ га $$= 100$$ а, поэтому грядок $$100$$ . Площадь $$1$$ а — это квадрат со стороной $$10$$ м ( $10 \cdot 10 = 100$ м²). Сторона участка $$100$$ м, вдоль неё помещается $$100 : 10 = 10$$ грядок, всего $10 \cdot 10 = 100$ — ответ сходится.

Ответ

100 грядок со стороной 10 м

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте квадрат 10 × 10 клеток по 5 мм — пусть ребёнок посчитает, сколько клеток внутри. Затем линейкой отмерьте квадрат со стороной 10 см и разбейте его на квадратики 1 × 1 см: получится 100 квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре. Для ара можно прикинуть на улице: квадрат 10 × 10 шагов взрослого — примерно одна сотка.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в квадратном метре не 100, а 10 000 квадратных сантиметров? 2) Что больше: 3 га или 250 а? 3) Как найти площадь прямоугольника со сторонами 2 м и 50 см?

На что обратить внимание. Главная ловушка — множитель 100 вместо 10 между соседними единицами площади и перемножение сторон в разных единицах. Попросите ребёнка всегда подписывать единицы в ответе и спрашивайте, правдоподобен ли результат: комната в 20 000 м² — повод перепроверить.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 22	4.79, 4.80, 4.81, 4.82, 4.83, 4.84, 4.85, 4.86, 4.87, 4.88, 4.89, 4.90, 4.91, 4.92, 4.93, 4.94, 4.95, 4.96, 4.97, 4.98, 4.99, 4.100, 4.101, 4.102, 4.103, 4.104, 4.105, 4.106, 4.107, 4.108, 4.109, 4.110, 4.111, 4.112, 4.113, 4.114, 4.115, 4.116, 4.117, 4.118, 4.119, 4.120, 4.121