Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Привести дроби к наименьшему общему знаменателю — значит записать их равными дробями с одинаковым и при этом самым маленьким знаменателем. Наименьший общий знаменатель равен НОК знаменателей, а числитель и знаменатель каждой дроби умножают на её дополнительный множитель.
Подробное объяснение
Пироги, разрезанные по-разному
Мама испекла два одинаковых пирога. Первый разрезали на 4 части, и осталось 3 куска, то есть \(\dfrac{3}{4}\) пирога. Второй разрезали на 6 частей, и осталось 5 кусков — \(\dfrac{5}{6}\) пирога. Куски разного размера, поэтому сразу не скажешь, где осталось больше и сколько всего осталось.
Выход простой: дорезать куски так, чтобы во всех пирогах они стали одинаковыми. Если каждую четвертинку разрезать на 3 части, а каждую шестую — на 2 части, оба пирога окажутся разрезанными на 12 равных кусков. Тогда \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\), а \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\).
Число 12 — общий знаменатель дробей. Числа 3 и 2 — дополнительные множители: они показывают, на сколько частей разрезали каждый старый кусок.
Почему дробь при этом не меняется
По основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, получится равная дробь: \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}\). Кусков стало втрое больше, но каждый втрое меньше — пирога столько же.
Почему знаменатель наименьший
Общим знаменателем может быть любое число, которое делится на оба знаменателя: для \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{5}{6}\) подойдут 12, 24, 36… Проще всего перемножить знаменатели: \(4 \cdot 6 = 24\). Но тогда числа получаются больше, чем нужно, и считать труднее. Удобнее всего самое маленькое общее кратное знаменателей.
Наименьший общий знаменатель дробей равен наименьшему общему кратному их знаменателей.
Если знаменатели взаимно простые (например, 5 и 7), их НОК равен произведению, и наименьший общий знаменатель — \(5 \cdot 7 = 35\). Если один знаменатель делится на другой (12 и 4), наименьший общий знаменатель — больший из них, 12.
Большие знаменатели
Когда знаменатели большие, их раскладывают на простые множители. Тогда сразу видно и НОК, и дополнительные множители: дополнительный множитель дроби — это произведение тех множителей, которых не хватает в разложении её знаменателя до разложения НОК.
Когда привести нельзя
Привести дробь к знаменателю можно, только если новый знаменатель делится на старый. Дробь \(\dfrac{3}{8}\) нельзя записать со знаменателем 20: 20 не делится на 8. Сначала стоит сократить дробь: \(\dfrac{6}{8}\) со знаменателем 20 записать можно, ведь \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\).
Отсюда следует полезный признак. Несократимую дробь можно записать десятичной, если её можно привести к знаменателю 10, 100, 1000… Это возможно, только когда в разложении знаменателя есть лишь двойки и пятёрки: \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375\), а \(\dfrac{1}{3}\) десятичной дробью не записать.
Как решать задачи
- Если дроби можно сократить, сократите их.
- Найдите НОК всех знаменателей — это наименьший общий знаменатель. Если знаменатели большие, разложите их на простые множители.
- Для каждой дроби найдите дополнительный множитель: разделите общий знаменатель на её знаменатель.
- Умножьте на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель дроби.
- Проверьте: у всех дробей одинаковый знаменатель, а при сокращении каждая новая дробь возвращается к исходной.
Разобранные примеры
Две дроби с небольшими знаменателями
Приведите дроби \(\dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{5}{12}\) к наименьшему общему знаменателю.
Кратные 12: 12, 24, … Число 24 делится на 8, значит, НОК(8, 12) = 24.
Дополнительные множители: \(24 : 8 = 3\) и \(24 : 12 = 2\).
\(\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{9}{24}\), \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \dfrac{10}{24}\).
Три дроби
Приведите дроби \(\dfrac{7}{20}\), \(\dfrac{4}{15}\) и \(\dfrac{11}{30}\) к наименьшему общему знаменателю.
\(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).
НОК \(= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 = 60\).
Дополнительные множители: \(60 : 20 = 3\), \(60 : 15 = 4\), \(60 : 30 = 2\).
\(\dfrac{7}{20} = \dfrac{21}{60}\), \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{16}{60}\), \(\dfrac{11}{30} = \dfrac{22}{60}\).
Большие знаменатели
Приведите дроби \(\dfrac{17}{126}\) и \(\dfrac{23}{150}\) к наименьшему общему знаменателю.
Разложим знаменатели: \(126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\), \(150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\).
НОК: берём разложение 126 и добавляем недостающие множители 5 и 5 из разложения 150: \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5 = 3150\).
Для \(\dfrac{17}{126}\) не хватает множителей 5 и 5, дополнительный множитель \(5 \cdot 5 = 25\). Для \(\dfrac{23}{150}\) не хватает 3 и 7, множитель \(3 \cdot 7 = 21\).
\(\dfrac{17}{126} = \dfrac{17 \cdot 25}{126 \cdot 25} = \dfrac{425}{3150}\), \(\dfrac{23}{150} = \dfrac{23 \cdot 21}{150 \cdot 21} = \dfrac{483}{3150}\).
Проверка: \(126 \cdot 25 = 3150\) и \(150 \cdot 21 = 3150\).
Типичные ошибки
Для дробей \(\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{5}{8}\) ученик берёт знаменатель \(6 \cdot 8 = 48\). Это общий знаменатель, но не наименьший: НОК(6, 8) = 24. В задании «к наименьшему общему знаменателю» такой ответ неверен, а дальше в вычислениях появляются лишние большие числа.
Ищите НОК знаменателей: \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{24}\), \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\). Произведение знаменателей наименьшее, только если они взаимно простые.
Ученик пишет \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{15}\): знаменатель умножил на 3, а числитель забыл. Но \(\dfrac{2}{15}\) втрое меньше, чем \(\dfrac{2}{5}\), — дробь изменилась.
Умножайте на дополнительный множитель и числитель, и знаменатель: \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \dfrac{6}{15}\).
Спрашивают, можно ли дробь \(\dfrac{10}{25}\) записать со знаменателем 15. Ученик отвечает «нельзя», потому что 15 не делится на 25. Но дробь сократима: \(\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}\), а 15 делится на 5.
Сначала сократите дробь, потом ищите множитель: \(\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равен наименьший общий знаменатель дробей \(\dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{5}{12}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) 24
Наименьший общий знаменатель равен НОК знаменателей, НОК(8, 12) = 24; число 96 — произведение знаменателей, оно общее, но не наименьшее.
-
Дробь \(\dfrac{7}{15}\) приводят к знаменателю 60. Чему равен дополнительный множитель?
Показать ответ
Ответ: 4
Дополнительный множитель — частное нового знаменателя и старого, \(60 : 15 = 4\).
-
Какие дроби можно привести к знаменателю 36?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\dfrac{1}{4}\); В) \(\dfrac{2}{9}\); Г) \(\dfrac{6}{8}\)
36 делится на 4 и на 9, а \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) после сокращения; на 8 и на 24 число 36 не делится, а дроби \(\dfrac{5}{8}\) и \(\dfrac{7}{24}\) несократимы.
-
Знаменатели двух дробей — взаимно простые числа 4 и 9. Чему равен их наименьший общий знаменатель?
Показать ответ
Ответ: В) Произведению знаменателей, 36
НОК взаимно простых чисел равен их произведению, поэтому наименьший общий знаменатель \(4 \cdot 9 = 36\).
-
Дроби \(\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{3}{10}\) привели к наименьшему общему знаменателю. Какой числитель получился у второй дроби?
Показать ответ
Ответ: 9
НОК(6, 10) = 30, дополнительный множитель второй дроби \(30 : 10 = 3\), поэтому \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{30}\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Приведите дроби \(\dfrac{2}{9}\) и \(\dfrac{5}{6}\) к наименьшему общему знаменателю.
Подсказка
Найдите наименьшее общее кратное чисел 9 и 6.
Решение
-
НОК(9, 6) = 18 — наименьший общий знаменатель.
-
Дополнительные множители: \(18 : 9 = 2\) и \(18 : 6 = 3\).
-
\(\dfrac{2}{9} = \dfrac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \dfrac{4}{18}\), \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \dfrac{15}{18}\).
Ответ
Дроби \(\dfrac{7}{10}\) и \(\dfrac{11}{15}\) приводят к наименьшему общему знаменателю. Найдите этот знаменатель и дополнительный множитель каждой дроби.
Подсказка
Дополнительный множитель — это общий знаменатель, делённый на знаменатель дроби.
Решение
-
\(10 = 2 \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\), поэтому НОК(10, 15) \(= 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30\).
-
Для \(\dfrac{7}{10}\) множитель \(30 : 10 = 3\), для \(\dfrac{11}{15}\) множитель \(30 : 15 = 2\).
Получится \(\dfrac{21}{30}\) и \(\dfrac{22}{30}\).
Ответ
Приведите дроби \(\dfrac{7}{12}\), \(\dfrac{5}{18}\) и \(\dfrac{1}{8}\) к наименьшему общему знаменателю.
Подсказка
Разложите 12, 18 и 8 на простые множители и найдите их НОК.
Решение
-
\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\), \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\).
-
НОК \(= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72\).
-
Дополнительные множители: \(72 : 12 = 6\), \(72 : 18 = 4\), \(72 : 8 = 9\).
-
\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{42}{72}\), \(\dfrac{5}{18} = \dfrac{20}{72}\), \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{72}\).
Ответ
Приведите дроби \(\dfrac{11}{42}\) и \(\dfrac{13}{105}\) к наименьшему общему знаменателю с помощью разложения знаменателей на простые множители.
Подсказка
Дополнительный множитель — это произведение множителей, которых не хватает в разложении знаменателя.
Решение
-
\(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\), \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\).
-
НОК \(= 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 = 210\).
-
В разложении 42 не хватает множителя 5, в разложении 105 — множителя 2.
-
\(\dfrac{11}{42} = \dfrac{11 \cdot 5}{42 \cdot 5} = \dfrac{55}{210}\), \(\dfrac{13}{105} = \dfrac{13 \cdot 2}{105 \cdot 2} = \dfrac{26}{210}\).
Ответ
Сократите дроби \(\dfrac{15}{36}\) и \(\dfrac{28}{42}\), а затем приведите их к наименьшему общему знаменателю.
Подсказка
После сокращения знаменатели станут меньше, и общий знаменатель найти легче.
Решение
-
\(\dfrac{15}{36} = \dfrac{15 : 3}{36 : 3} = \dfrac{5}{12}\), \(\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 : 14}{42 : 14} = \dfrac{2}{3}\).
-
12 делится на 3, поэтому НОК(12, 3) = 12.
-
Дробь \(\dfrac{5}{12}\) уже имеет знаменатель 12. Для \(\dfrac{2}{3}\) дополнительный множитель \(12 : 3 = 4\): \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\).
Если не сокращать, пришлось бы искать НОК(36, 42) = 252 и работать с большими числами.
Ответ
Можно ли дробь \(\dfrac{7}{30}\) записать со знаменателем 45? А со знаменателем 90? Если можно, запишите.
Подсказка
Дробь можно привести к новому знаменателю, только если он делится на знаменатель несократимой дроби.
Решение
Дробь \(\dfrac{7}{30}\) несократима: у 7 и 30 нет общих делителей, кроме 1.
-
45 не делится на 30 (\(45 : 30 = 1{,}5\) — не натуральное число). Дополнительного множителя нет, и числитель получился бы \(7 \cdot 1{,}5 = 10{,}5\) — не натуральное число. Значит, со знаменателем 45 дробь записать нельзя.
-
90 делится на 30, множитель \(90 : 30 = 3\): \(\dfrac{7}{30} = \dfrac{7 \cdot 3}{30 \cdot 3} = \dfrac{21}{90}\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите две одинаковые полоски бумаги. Одну согните пополам и закрасьте половину, другую сложите втрое и закрасьте одну треть. Спросите, как сделать части одинаковыми. Сложите обе полоски ещё раз так, чтобы каждая оказалась разделена на 6 частей: станет видно, что \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\), а \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\). Число 6 — общий знаменатель, а 3 и 2 — дополнительные множители.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем наименьший общий знаменатель отличается от просто общего знаменателя? 2) Как найти дополнительный множитель дроби? 3) Можно ли дробь \(\dfrac{4}{9}\) записать со знаменателем 30? Почему?
На что обратить внимание. Дети часто умножают на дополнительный множитель только знаменатель и по привычке перемножают знаменатели вместо поиска НОК. Попросите ребёнка после ответа сократить каждую новую дробь: должна получиться исходная.