Какие преобразования не меняют корни уравнения?

Умножить обе части на −3

Перенести слагаемое в другую часть с противоположным знаком

Разделить обе части на 0,5

Умножить обе части на 0

Перенести слагаемое в другую часть, не меняя знака

Решение линейных уравнений — 6 класс, математика: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Подобные слагаемые

Коротко о главном

Линейное уравнение — это уравнение, которое можно привести к виду $$ax = b$$ , где $a \neq 0$ . Чтобы его решить, слагаемые с неизвестным переносят в левую часть, числа — в правую, меняя у перенесённых слагаемых знак на противоположный, приводят подобные слагаемые и делят обе части на коэффициент при неизвестном.

ax = b, \quad a \neq 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{b}{a}

Подробное объяснение

Уравнение как весы

Представьте чашечные весы в равновесии. На левой чашке 5 одинаковых пакетов неизвестной массы $$x$$ и гиря 2 кг, на правой — 3 таких же пакета и гиря 8 кг. Это уравнение $$5x + 2 = 3x + 8$$ .

Снимем с каждой чашки по 3 пакета. Равновесие не нарушится, ведь с обеих сторон убрали одно и то же. Останется $$2x + 2 = 8$$ . Теперь снимем с обеих чашек по 2 кг: $$2x = 6$$ . Два пакета весят 6 кг, значит, один — 3 кг.

Две пары весов в равновесии. Слева на чашах 5 пакетов x и гиря 2 против 3 пакетов x и гири 8, справа после снятия трёх пакетов с каждой чаши — 2 пакета и гиря 2 против гири 8. — Сняли с обеих чашек по три пакета — равновесие сохранилось: из 5x + 2 = 3x + 8 получилось 2x + 2 = 8.

Проверим: $5 \cdot 3 + 2 = 17$ и $3 \cdot 3 + 8 = 17$ . Весы действительно в равновесии.

Два свойства уравнений

Всё, что мы делали с весами, опирается на два свойства.

Свойство 1. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, получится уравнение с теми же корнями. Например, из $$4x = 20$$ делением на 4 получаем $$x = 5$$ , а из $\dfrac{x}{3} = 2$ умножением на 3 — $$x = 6$$ .

Делить на нуль нельзя вовсе, а умножать на нуль бесполезно: получится $$0 = 0$$ , и от уравнения ничего не останется.

Свойство 2. Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, получится уравнение с теми же корнями.

Почему знак меняется? Перенос — это сокращённая запись того, что мы прибавили к обеим частям одно и то же число. В уравнении $$2x + 2 = 8$$ прибавим к обеим частям $$-2$$ и получим $$2x + 2 + (-2) = 8 + (-2)$$ , то есть $$2x = 8 - 2$$ . Слагаемое $$+2$$ исчезло слева и появилось справа как $$-2$$ . Так же и с неизвестным: в уравнении $$5x = 3x + 6$$ прибавим к обеим частям $$-3x$$ и получим $$5x - 3x = 6$$ .

Что такое линейное уравнение

После переносов и приведения подобных слагаемых уравнение часто принимает вид $$ax = b$$ : слева — неизвестное с числовым коэффициентом, справа — число. Если $a \neq 0$ , корень находят делением: $$x = b : a$$ . Уравнение с одним неизвестным, которое можно привести к такому виду, называют линейным.

Число $$a$$ — коэффициент при неизвестном — может быть отрицательным или дробным. Тогда делить надо внимательно, по правилу знаков: из $$-5x = 35$$ получаем $$x = 35 : (-5) = -7$$ .

Если коэффициенты уравнения — дроби, удобно сначала умножить обе части на общий знаменатель. Из $\dfrac{x}{2} + 1 = \dfrac{x}{3} + 2$ после умножения на 6 получится уравнение без дробей: $$3x + 6 = 2x + 12$$ .

Как решать задачи

Если в уравнении есть скобки, раскройте их.
Если коэффициенты дробные, умножьте обе части на общий знаменатель — каждое слагаемое.
Перенесите слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую. У каждого перенесённого слагаемого поменяйте знак.
Приведите подобные слагаемые в каждой части — получится $$ax = b$$ .
Разделите обе части на коэффициент $$a$$ , следя за знаком.
Сделайте проверку: подставьте найденное число в исходное уравнение и посчитайте левую и правую части отдельно. Они должны совпасть.

Разобранные примеры

База

Неизвестное в обеих частях

Условие

Решите уравнение $$6x - 7 = 4x + 9$$ .

Решение

Переносим $$4x$$ в левую часть, а $$-7$$ — в правую, меняя знаки:

\[6x - 4x = 9 + 7.\]

Приводим подобные слагаемые: $$2x = 16$$ , откуда $$x = 16 : 2 = 8$$ .

Проверка: $6 \cdot 8 - 7 = 41$ и $4 \cdot 8 + 9 = 41$ . Верно.

Ответ:

\(x = 8\)

Средний

Уравнение со скобками

Условие

Решите уравнение $$5(x - 3) - 2 = 3x + 1$$ .

Решение

Раскрываем скобки: $$5x - 15 - 2 = 3x + 1$$ .

Переносим $$3x$$ влево, а $$-15$$ и $$-2$$ — вправо:

\[5x - 3x = 1 + 15 + 2.\]

Приводим подобные слагаемые: $$2x = 18$$ , откуда $$x = 9$$ .

Проверка: $5 \cdot (9 - 3) - 2 = 30 - 2 = 28$ и $3 \cdot 9 + 1 = 28$ . Верно.

Ответ:

\(x = 9\)

Сложный

Уравнение с дробными коэффициентами

Условие

Решите уравнение $\dfrac{2}{3}y + 5 = \dfrac{5}{6}y + 7$ .

Решение

Общий знаменатель дробей $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{5}{6}$ равен 6. Умножим на 6 обе части, то есть каждое слагаемое:

\[4y + 30 = 5y + 42.\]

Переносим $$5y$$ влево, а $$30$$ — вправо:

\[4y - 5y = 42 - 30.\]

Приводим подобные слагаемые: $$-y = 12$$ . Делим обе части на $$-1$$ : $$y = -12$$ .

Проверка: $\dfrac{2}{3} \cdot (-12) + 5 = -8 + 5 = -3$ и $\dfrac{5}{6} \cdot (-12) + 7 = -10 + 7 = -3$ . Верно.

Ответ:

\(y = -12\)

Типичные ошибки

Переносят слагаемое, не меняя знака

Почему неверно

Из $$7x - 4 = 3x + 8$$ ученик пишет $$7x + 3x = 8 - 4$$ . Слагаемые оказались в нужных частях, но со старыми знаками. Получается $$10x = 4$$ — совсем другое уравнение с другим корнем.

Как правильно

Каждое перенесённое слагаемое меняет знак: $$7x - 3x = 8 + 4$$ , $$4x = 12$$ , $$x = 3$$ . Удобно мысленно проговаривать: «перенёс — поменял знак». Проверка подстановкой сразу покажет ошибку.

Теряют минус при делении на коэффициент

Почему неверно

Из $$-3x = 12$$ ученик получает $$x = 4$$ , будто минуса нет. Или из $$-x = 5$$ пишет $$x = 5$$ . Но $-3 \cdot 4 = -12$ , а не $$12$$ .

Как правильно

Делите на коэффициент вместе с его знаком: $$x = 12 : (-3) = -4$$ . Если перед неизвестным стоит только минус, коэффициент равен $$-1$$ : из $$-x = 5$$ получаем $$x = -5$$ .

Умножают на знаменатель не все слагаемые

Почему неверно

В уравнении $\dfrac{x}{4} + 3 = 5$ ученик умножает на 4 только дробь и пишет $$x + 3 = 5$$ . Но по свойству 1 умножать нужно всю часть уравнения, а не одно слагаемое.

Как правильно

Умножайте на 4 каждое слагаемое обеих частей: $$x + 12 = 20$$ , откуда $$x = 8$$ . Проверка: $\dfrac{8}{4} + 3 = 5$ . Верно.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Решите уравнение $$8x + 5 = 6x + 17$$ .

Подсказка

Перенесите $$6x$$ в левую часть, а $$5$$ — в правую, не забыв поменять знаки.

Решение

Переносим слагаемые с неизвестным влево, числа — вправо, меняя знаки:

\[8x - 6x = 17 - 5.\]

Приводим подобные слагаемые: $$2x = 12$$ , откуда $$x = 12 : 2 = 6$$ .

Проверка: $8 \cdot 6 + 5 = 53$ и $6 \cdot 6 + 17 = 53$ . Верно.

Ответ

\(x = 6\)

База Задача 2

Решите уравнение $$-4y + 11 = -y - 10$$ .

Подсказка

После переноса слагаемых коэффициент при $$y$$ получится отрицательным — на него и делите.

Решение

Переносим $$-y$$ влево, а $$11$$ — вправо с противоположными знаками:

\[-4y + y = -10 - 11.\]

Приводим подобные слагаемые: $$-3y = -21$$ , откуда $$y = -21 : (-3) = 7$$ .

Проверка: $-4 \cdot 7 + 11 = -17$ и $$-7 - 10 = -17$$ . Верно.

Ответ

\(y = 7\)

Средний Задача 3

Решите уравнение $$4(a - 2) = 7a + 13$$ .

Подсказка

Сначала раскройте скобки.

Решение

Раскрываем скобки: $$4a - 8 = 7a + 13$$ .

Переносим $$7a$$ влево, а $$-8$$ — вправо:

\[4a - 7a = 13 + 8.\]

Приводим подобные слагаемые: $$-3a = 21$$ , откуда $$a = 21 : (-3) = -7$$ .

Проверка: $4 \cdot (-7 - 2) = 4 \cdot (-9) = -36$ и $7 \cdot (-7) + 13 = -49 + 13 = -36$ . Верно.

Ответ

\(a = -7\)

Средний Задача 4

Решите уравнение $$0{,}7z - 1{,}6 = 0{,}3z + 2$$ .

Подсказка

С десятичными коэффициентами действуют так же, как с целыми.

Решение

Переносим $$0{,}3z$$ влево, а $$-1{,}6$$ — вправо:

\[0{,}7z - 0{,}3z = 2 + 1{,}6.\]

Приводим подобные слагаемые: $$0{,}4z = 3{,}6$$ , откуда $$z = 3{,}6 : 0{,}4 = 9$$ .

Проверка: $0{,}7 \cdot 9 - 1{,}6 = 6{,}3 - 1{,}6 = 4{,}7$ и $0{,}3 \cdot 9 + 2 = 2{,}7 + 2 = 4{,}7$ . Верно.

Ответ

\(z = 9\)

Сложный Задача 5

Решите уравнение $\dfrac{3}{5}x + 4 = \dfrac{1}{2}x + 5$ .

Подсказка

Умножьте обе части уравнения на 10 — так дроби исчезнут.

Решение

Умножим обе части уравнения на 10 — общий знаменатель дробей $\dfrac{3}{5}$ и $\dfrac{1}{2}$ . На 10 умножаем каждое слагаемое:

\[6x + 40 = 5x + 50.\]

Переносим слагаемые: $$6x - 5x = 50 - 40$$ , откуда $$x = 10$$ .

Проверка: $\dfrac{3}{5} \cdot 10 + 4 = 6 + 4 = 10$ и $\dfrac{1}{2} \cdot 10 + 5 = 5 + 5 = 10$ . Верно.

Ответ

\(x = 10\)

Сложный Задача 6

В первой коробке карандашей в 3 раза больше, чем во второй. Если переложить 12 карандашей из первой коробки во вторую, карандашей в коробках станет поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?

Подсказка

Пусть во второй коробке $$x$$ карандашей. Запишите, сколько станет в каждой коробке после перекладывания, и приравняйте.

Решение

Дано

в первой коробке в 3 раза больше
чем во второй; после перекладывания 12 карандашей поровну

Найти

число карандашей в каждой коробке

Пусть во второй коробке $$x$$ карандашей, тогда в первой — $$3x$$ . После перекладывания в первой станет $$3x - 12$$ , во второй — $$x + 12$$ . Составим уравнение:

\[3x - 12 = x + 12.\]

Переносим слагаемые: $$3x - x = 12 + 12$$ , $$2x = 24$$ , $$x = 12$$ .

12 карандашей — во второй коробке.
$3 \cdot 12 = 36$ (карандашей) — в первой коробке.

Проверка: $$36 - 12 = 24$$ и $$12 + 12 = 24$$ — поровну. Верно.

Ответ

36 карандашей и 12 карандашей

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите кухонные весы или просто нарисуйте две чашки. Положите в одну сторону 4 одинаковые закрытые коробочки и 2 монеты, в другую — 2 такие же коробочки и 8 монет, и скажите, что весы в равновесии. Спросите: что можно убрать с обеих сторон, чтобы равновесие не нарушилось? Уберите по 2 коробочки, потом по 2 монеты — останется «2 коробочки = 6 монет», значит, одна коробочка весит как 3 монеты. Затем покажите ту же запись буквами: $$4x + 2 = 2x + 8$$ , и как каждое снятие превращается в «перенос с противоположным знаком».

Вопросы для проверки понимания: 1) Что происходит со знаком слагаемого, когда его переносят в другую часть уравнения? 2) Можно ли умножить обе части уравнения на 0? Почему? 3) Как проверить, что корень найден верно?

На что обратить внимание. Большинство ошибок — потерянные знаки: при переносе, при раскрытии скобок с минусом перед ними и при делении на отрицательный коэффициент. Приучайте ребёнка всегда делать проверку подстановкой в исходное уравнение — она занимает минуту и ловит почти все такие ошибки.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 6 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 40	5.95, 5.96, 5.97, 5.98, 5.99, 5.100, 5.101, 5.102, 5.103, 5.104, 5.105, 5.106, 5.107, 5.108, 5.109, 5.110, 5.111, 5.112, 5.113, 5.114, 5.115, 5.116, 5.117, 5.118, 5.119, 5.120, 5.121, 5.122, 5.123, 5.124, 5.125, 5.126, 5.127, 5.128, 5.129, 5.130, 5.131, 5.132, 5.133