Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если известно, сколько составляет часть величины, выраженная дробью, целое находят делением этого значения на дробь.
Подробное объяснение
Вы проехали 12 км, и навигатор сообщает: «Пройдено три четверти пути». Сколько всего ехать? Здесь неизвестно целое — весь путь, зато известно, сколько составляет его часть. Это задача на нахождение целого по его части.
Рассуждаем по долям
Три четверти пути — это 3 одинаковые доли из 4. На 3 доли приходится 12 км, значит, одна доля — \(12 : 3 = 4\) км. Целое состоит из 4 таких долей: \(4 \cdot 4 = 16\) км.
Мы разделили 12 на числитель 3 и умножили на знаменатель 4. Но ровно это и делает деление на дробь: \(12 : \dfrac{3}{4} = 12 \cdot \dfrac{4}{3} = 16\).
Правило
Чтобы найти целое по его части, выраженной дробью, нужно значение этой части разделить на дробь.
Если \(\dfrac{m}{n}\) целого равны числу \(a\), то целое равно \(a : \dfrac{m}{n}\).
Удобно записать это уравнением. Обозначим целое буквой \(x\). Часть целого находят умножением: \(\dfrac{m}{n}\) от \(x\) — это \(\dfrac{m}{n} \cdot x\). По условию она равна \(a\), поэтому \(\dfrac{m}{n} \cdot x = a\). Неизвестный множитель находим делением: \(x = a : \dfrac{m}{n}\).
Часть или целое?
Две похожие задачи решаются разными действиями:
- Известно целое, нужно найти его часть — умножаем на дробь. «В книге 120 страниц, прочитано \(\dfrac{3}{4}\). Сколько прочитано?» — \(120 \cdot \dfrac{3}{4} = 90\).
- Известна часть, нужно найти целое — делим на дробь. «Прочитано 90 страниц, это \(\dfrac{3}{4}\) книги. Сколько страниц в книге?» — \(90 : \dfrac{3}{4} = 120\).
Для самопроверки полезно помнить: если дробь правильная, целое больше своей части. Если после деления получилось число меньше части, где-то ошибка.
Когда часть надо сначала найти
Часто в условии дано не то число, которое соответствует дроби. «Потратили \(\dfrac{2}{7}\) денег, осталось 500 р.» Здесь 500 р. — это не \(\dfrac{2}{7}\), а оставшаяся часть: \(1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}\). Значит, всего было \(500 : \dfrac{5}{7} = 700\) р.
Так же в задачах про «на \(\dfrac{1}{5}\) больше»: новое количество составляет \(1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}\) старого.
Как решать задачи
- Определите, что принято за целое (весь путь, вся книга, первоначальная цена).
- Найдите, какой части целого соответствует известное число. Если нужно, вычислите эту долю: \(1 - \dfrac{m}{n}\), \(1 + \dfrac{m}{n}\) или по действиям.
- Разделите известное число на эту дробь.
- Сделайте проверку: найдите от ответа нужную часть — должно получиться данное число.
Разобранные примеры
Целое по данной части
В банку налили 6 стаканов воды, и она заполнилась на \(\dfrac{2}{3}\). Сколько стаканов воды вмещает банка?
6 стаканов — это \(\dfrac{2}{3}\) банки. Целое находим делением на дробь:
\(6 : \dfrac{2}{3} = 6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9\) стаканов.
Проверка: \(\dfrac{2}{3}\) от 9 — это \(9 : 3 \cdot 2 = 6\).
Известен остаток
За первую неделю сделали \(\dfrac{4}{11}\) ремонта, и осталось ещё 14 дней работы. Сколько дней займёт весь ремонт, если работа идёт равномерно?
-
Осталось \(1 - \dfrac{4}{11} = \dfrac{7}{11}\) ремонта.
-
\(\dfrac{7}{11}\) ремонта — это 14 дней, весь ремонт \(14 : \dfrac{7}{11} = \dfrac{14 \cdot 11}{7} = 22\) дня.
Часть от остатка
Мама разделила пирог: \(\dfrac{1}{4}\) отдала бабушке, \(\dfrac{2}{3}\) остатка съели дети, а оставшиеся 150 г убрали в холодильник. Сколько весил пирог?
-
После бабушки осталось \(1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) пирога.
-
Дети съели \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\) пирога.
-
В холодильник убрали \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\) пирога.
-
\(\dfrac{1}{4}\) пирога — это 150 г, весь пирог \(150 : \dfrac{1}{4} = 600\) г.
Проверка: 150 г бабушке, 300 г детям, 150 г в холодильник, всего 600 г.
Типичные ошибки
В задаче «\(\dfrac{3}{5}\) пути — это 30 км» пишут \(30 \cdot \dfrac{3}{5} = 18\) км. Но весь путь не может быть короче своей части. Умножение на дробь находит часть от известного целого, а здесь неизвестно именно целое.
Делим часть на дробь: \(30 : \dfrac{3}{5} = 50\) км. Проверка: \(\dfrac{3}{5}\) от 50 — это 30.
«Израсходовали \(\dfrac{2}{5}\) бензина, осталось 24 л» — и делят 24 на \(\dfrac{2}{5}\). Но 24 л — это не израсходованная часть, а остаток.
Сначала найдите долю остатка: \(1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\). Затем \(24 : \dfrac{3}{5} = 40\) л.
«Во второй день прошли \(\dfrac{1}{2}\) остатка» — и считают, что это \(\dfrac{1}{2}\) всего пути. Половина остатка меньше половины всего пути.
Переведите долю остатка в долю целого умножением: если остаток — \(\dfrac{3}{4}\) пути, то его половина — \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\) пути.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
\(\dfrac{3}{4}\) числа равны 12. Как найти само число?
Показать ответ
Ответ: Б) Разделить 12 на 3/4
Целое по его части находят делением части на дробь: \(12 : \dfrac{3}{4} = 16\).
-
\(\dfrac{2}{9}\) пути — это 10 км. Сколько километров весь путь?
Показать ответ
Ответ: 45
\(10 : \dfrac{2}{9} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\) км.
-
В каких задачах нужно искать целое по его части?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Вырезали 12 кружков, это 2/3 плана. Каков план?; В) Израсходовали 3/4 бака, это 45 л. Какова вместимость бака?
Если известно значение части и нужно всё количество — это целое по части (делим). Если известно целое и нужна его часть — умножаем на дробь.
-
Израсходовали \(\dfrac{3}{8}\) муки, осталось 10 кг. Какую часть всей муки составляют 10 кг?
Показать ответ
Ответ: Б) 5/8
Осталось \(1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\) муки, значит, 10 кг — это \(\dfrac{5}{8}\), а всего муки \(10 : \dfrac{5}{8} = 16\) кг.
-
Число уменьшили на \(\dfrac{1}{4}\) его величины и получили 60. Какое число было?
Показать ответ
Ответ: 80
60 — это \(\dfrac{3}{4}\) числа, поэтому число равно \(60 : \dfrac{3}{4} = 80\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Мальчик прочитал 40 страниц, это \(\dfrac{2}{5}\) книги. Сколько страниц в книге?
Подсказка
Целое находят делением известной части на дробь.
Решение
- 40 страниц — это \(\dfrac{2}{5}\) книги
- число страниц в книге
\(40 : \dfrac{2}{5} = 40 \cdot \dfrac{5}{2} = 100\) страниц.
Проверка: \(\dfrac{2}{5}\) от 100 — это \(100 : 5 \cdot 2 = 40\).
Ответ
В классе 12 девочек, это \(\dfrac{3}{7}\) всех учеников. Сколько учеников в классе?
Решение
\(12 : \dfrac{3}{7} = \dfrac{12 \cdot 7}{3} = 28\) учеников.
Ответ
Туристы прошли \(\dfrac{5}{8}\) маршрута, и им осталось пройти 9 км. Какова длина маршрута?
Подсказка
Сначала узнайте, какую часть маршрута составляют 9 км.
Решение
- пройдено \(\dfrac{5}{8}\) маршрута
- осталось 9 км
- длину маршрута
-
Осталось \(1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}\) маршрута.
-
\(\dfrac{3}{8}\) маршрута — это 9 км, значит, весь маршрут \(9 : \dfrac{3}{8} = \dfrac{9 \cdot 8}{3} = 24\) км.
Ответ
Масса пустого ящика 3 кг, это \(\dfrac{3}{20}\) массы ящика с яблоками. Какова масса яблок?
Решение
-
Масса ящика с яблоками: \(3 : \dfrac{3}{20} = 3 \cdot \dfrac{20}{3} = 20\) кг.
-
Масса яблок: \(20 - 3 = 17\) кг.
Ответ
В первый день прошли \(\dfrac{1}{3}\) пути, во второй — \(\dfrac{3}{4}\) остатка, в третий — последние 5 км. Найдите длину всего пути.
Подсказка
Узнайте, какая часть всего пути приходится на второй и третий день.
Решение
-
После первого дня осталось \(1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\) пути.
-
Во второй день прошли \(\dfrac{3}{4}\) от \(\dfrac{2}{3}\): \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\) пути.
-
На третий день осталось \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\) пути.
-
\(\dfrac{1}{6}\) пути — это 5 км, весь путь \(5 : \dfrac{1}{6} = 30\) км.
Проверка: 10 км, 15 км и 5 км — всего 30 км.
Ответ
Цену куртки снизили на \(\dfrac{1}{5}\), и она стала стоить 4800 р. Сколько стоила куртка до снижения?
Подсказка
После снижения на \(\dfrac{1}{5}\) новая цена составляет \(\dfrac{4}{5}\) старой.
Решение
-
Новая цена — это \(1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\) старой.
-
Старая цена: \(4800 : \dfrac{4}{5} = \dfrac{4800 \cdot 5}{4} = 6000\) р.
Проверка: \(\dfrac{1}{5}\) от 6000 — это 1200 р., \(6000 - 1200 = 4800\) р.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите плитку шоколада из 8 долек и незаметно отломите 2. Покажите ребёнку оставшиеся 6 долек и скажите: «Это \(\dfrac{3}{4}\) плитки. Сколько долек было?» Пусть рассуждает: 3 четверти — 6 долек, одна четверть — 2 дольки, вся плитка — 8. Затем покажите, что то же самое даёт деление \(6 : \dfrac{3}{4}\). Нарисуйте отрезок, поделённый на части, и подпишите известную часть — это помогает в любой задаче.
Вопросы для проверки понимания: 1) \(\dfrac{2}{3}\) числа равны 10. Больше это число, чем 10, или меньше? 2) Каким действием находят часть от числа, а каким — число по его части? 3) Потратили \(\dfrac{1}{3}\) денег, осталось 200 р. Какую часть всех денег составляют эти 200 р.?
На что обратить внимание. Главная трудность — понять, какой дроби соответствует данное число. Просите ребёнка перед вычислением сказать фразу «... — это ... всего». И приучайте к проверке: от найденного целого взять часть и сравнить с условием.