Деление дробей

Представьте, что у вас 3 пиццы и каждую режут на четыре равных куска. Сколько получится кусков по \(\dfrac{1}{4}\) пиццы? Ровно 12: в каждой пицце 4 четверти, а пицц три. Вопрос «сколько раз \(\dfrac{1}{4}\) помещается в 3» — это и есть деление \(3 : \dfrac{1}{4}\). Мы получили тот же ответ, что и при умножении \(3 \cdot 4\).

Оказывается, так бывает всегда: деление на дробь можно заменить умножением. Но на какое число умножать? Для этого нужны обратные числа.

Взаимно обратные числа

Возьмём дробь \(\dfrac{2}{5}\) и поменяем местами числитель и знаменатель: получится \(\dfrac{5}{2}\). Перемножим:

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. Число, обратное дроби, получают, «перевернув» её.

• Натуральное число \(n\) — это дробь \(\dfrac{n}{1}\), поэтому ему обратно \(\dfrac{1}{n}\). Например, числу 8 обратно \(\dfrac{1}{8}\).
• Смешанное число сначала записывают неправильной дробью: \(2\dfrac{3}{4} = \dfrac{11}{4}\), обратное число \(\dfrac{4}{11}\).
• Число 1 обратно само себе, а у нуля обратного числа нет: \(0\), умноженный на что угодно, даёт 0, а не 1.

Правило деления дробей

Деление — действие, обратное умножению: найти \(\dfrac{a}{b} : \dfrac{m}{n}\) — значит найти число, которое при умножении на \(\dfrac{m}{n}\) даёт \(\dfrac{a}{b}\). Если взять \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{n}{m}\) и умножить на \(\dfrac{m}{n}\), множители \(\dfrac{n}{m}\) и \(\dfrac{m}{n}\) дадут 1, и останется \(\dfrac{a}{b}\). Значит, частное равно \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{n}{m}\).

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на число, обратное делителю. Делимое остаётся как есть, переворачивается только делитель.

Частный случай — деление дроби на натуральное число: \(\dfrac{4}{9} : 2 = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{9}\). На практике это значит: знаменатель умножают на это число (или делят числитель, если он делится нацело).

Как решать задачи

1. Смешанные числа переведите в неправильные дроби, натуральные числа — в дроби со знаменателем 1.
2. Замените деление умножением: делимое оставьте, делитель переверните.
3. Запишите всё под одной чертой и сократите до умножения.
4. Перемножьте, ответ-неправильную дробь при необходимости переведите в смешанное число.
5. Проверьте умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

Деление на дробь меньше 1 увеличивает число (\(6 : \dfrac{1}{2} = 12\)), а на дробь больше 1 — уменьшает. Это удобная прикидка: если вы делили на \(\dfrac{2}{3}\), а ответ стал меньше делимого, где-то ошибка.

Где это пригодится: найти скорость, если путь и время заданы дробями; узнать, сколько порций по \(\dfrac{1}{4}\) кг выйдет из \(2\dfrac{1}{2}\) кг; найти сторону прямоугольника по площади и другой стороне; решить уравнение вида \(\dfrac{3}{5}x = 6\).