Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если знаменатель дробной части — 10, 100, 1000 и так далее, число можно записать без знаменателя: целую часть отделяют запятой, а после запятой ставят столько цифр, сколько нулей в знаменателе.
Подробное объяснение
Ценник в магазине: «89,90 р.». Мы сразу понимаем, что это 89 рублей и 90 копеек. Копейка — сотая часть рубля, значит, на ценнике написано \(89\dfrac{90}{100}\) рубля. Только записано это короче — через запятую. Такая запись и называется десятичной дробью.
Откуда берутся такие числа
Наши единицы измерения устроены «по десяткам»: в метре 10 дециметров и 100 сантиметров, в килограмме 1000 граммов, в тонне 1000 килограммов. Поэтому при переводе мелких единиц в крупные почти всегда получаются дроби со знаменателями 10, 100, 1000:
- 4 м 3 дм \(= 4\dfrac{3}{10}\) м;
- 6 р. 25 к. \(= 6\dfrac{25}{100}\) р.;
- 2 кг 375 г \(= 2\dfrac{375}{1000}\) кг.
Договорились такие числа писать без знаменателя: целую часть, потом запятую, потом числитель дробной части. Получаем \(4{,}3\) м, \(6{,}25\) р., \(2{,}375\) кг.
Главное правило
После запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей в знаменателе. Цифры после запятой называют десятичными знаками.
Если в числителе цифр меньше, чем нулей в знаменателе, недостающие места заполняют нулями сразу после запятой. Например, в числе \(8\dfrac{9}{1000}\) в знаменателе три нуля, а в числителе одна цифра. Пишем числитель как 009 — и получаем \(8{,}009\).
Если целой части нет (дробь правильная), перед запятой пишут 0: \(\dfrac{7}{10} = 0{,}7\).
Разряды после запятой
Каждая цифра после запятой стоит в своём разряде, и каждый следующий разряд в 10 раз мельче предыдущего:
- 1-я цифра — десятые;
- 2-я — сотые;
- 3-я — тысячные;
- 4-я — десятитысячные, дальше — стотысячные, миллионные.
В числе \(0{,}37\) — 3 десятых и 7 сотых, а вместе это 37 сотых.
Как читать десятичную дробь
Как смешанное число: сначала целые, потом дробная часть с названием разряда последней цифры.
- \(0{,}6\) — ноль целых шесть десятых;
- \(12{,}05\) — двенадцать целых пять сотых;
- \(3{,}125\) — три целых сто двадцать пять тысячных.
Обратный переход
Чтобы превратить десятичную дробь в обыкновенную, считаем знаки после запятой и ставим в знаменатель единицу с таким же числом нулей: \(2{,}35 = 2\dfrac{35}{100}\). Дробь стоит сократить, если можно: \(2\dfrac{35}{100} = 2\dfrac{7}{20}\).
Как решать задачи
- Найдите знаменатель дробной части и посчитайте в нём нули.
- Посчитайте цифры в числителе.
- Если цифр меньше, чем нулей, допишите нули слева к числителю.
- Запишите целую часть (или 0), запятую и числитель.
- При переводе величин сначала узнайте, какую часть крупной единицы составляет мелкая: 1 см — сотая метра, 1 г — тысячная килограмма, 1 ц — десятая тонны.
Разобранные примеры
Дробь с «нехваткой» цифр
Запишите десятичной дробью число \(15\dfrac{4}{1000}\).
В знаменателе 1000 три нуля — после запятой нужно три цифры. В числителе только одна цифра 4, поэтому дописываем два нуля слева: 004.
\(15\dfrac{4}{1000} = 15{,}004\).
Из величин в десятичную дробь
Рост Саши 1 м 4 см, а рюкзак весит 3 кг 60 г. Запишите рост в метрах, а массу — в килограммах.
1 см — сотая часть метра: 1 м 4 см \(= 1\dfrac{4}{100}\) м \(= 1{,}04\) м (в сотых нужно две цифры — пишем 04).
1 г — тысячная часть килограмма: 3 кг 60 г \(= 3\dfrac{60}{1000}\) кг \(= 3{,}060\) кг. Нуль в конце можно не писать: \(3{,}06\) кг.
Из десятичной дроби в обыкновенную
Представьте число \(6{,}125\) в виде смешанного числа с несократимой дробной частью.
После запятой три цифры — знаменатель 1000: \(6{,}125 = 6\dfrac{125}{1000}\).
Числитель и знаменатель делятся на 125: \(125 : 125 = 1\), \(1000 : 125 = 8\).
\(6\dfrac{125}{1000} = 6\dfrac{1}{8}\).
Типичные ошибки
Записывают \(3\dfrac{7}{100}\) как \(3{,}7\). Но \(3{,}7\) — это \(3\dfrac{7}{10}\), то есть 3 целых 7 десятых, а не 7 сотых. Число получилось в 10 раз «крупнее» в дробной части.
Сначала считаем нули в знаменателе: у 100 их два, значит, после запятой две цифры. Числитель 7 превращаем в 07: \(3\dfrac{7}{100} = 3{,}07\).
Пишут 5 кг 30 г \(= 5{,}30\) кг, будто в килограмме 100 граммов. На самом деле \(5{,}30\) кг \(= 5{,}3\) кг — это 5 кг 300 г.
В килограмме 1000 граммов, поэтому граммы занимают три знака после запятой: 5 кг 30 г \(= 5\dfrac{30}{1000}\) кг \(= 5{,}030\) кг \(= 5{,}03\) кг.
\(4{,}25\) читают как «четыре целых двадцать пять десятых». Двадцать пять десятых — это больше двух целых, а дробная часть всегда меньше единицы.
Название разряда берут по последней цифре: она стоит в сотых, поэтому «четыре целых двадцать пять сотых».
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Как записать десятичной дробью число \(5\dfrac{7}{100}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) 5,07
В знаменателе 100 — два нуля, значит, после запятой две цифры; числитель 7 дополняем нулём впереди — 07.
-
Какие числа можно сразу записать десятичной дробью, не меняя знаменатель?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 7/10; Б) 13/1000; Г) 3 1/100
Сразу записываются числа, у которых знаменатель дробной части — единица с нулями. У \(\dfrac{5}{7}\) знаменатель 7.
-
Сколько цифр будет стоять после запятой в десятичной записи числа \(17\dfrac{78}{100\,000}\)?
Показать ответ
Ответ: 5
В знаменателе 100 000 пять нулей, поэтому после запятой пять цифр — \(17{,}00078\).
-
Сколько сантиметров в \(0{,}6\) м?
Показать ответ
Ответ: Б) 60 см
\(0{,}6\) м — это \(\dfrac{6}{10}\) м, то есть 6 дм, или 60 см.
-
Выразите в тоннах массу 2 т 50 кг (ответ — десятичной дробью).
Показать ответ
Ответ: 2,05
50 кг — это \(\dfrac{50}{1000}\) т, поэтому 2 т 50 кг \(= 2\dfrac{50}{1000}\) т \(= 2{,}050\) т \(= 2{,}05\) т.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Запишите в виде десятичной дроби число \(4\dfrac{13}{100}\).
Подсказка
В знаменателе два нуля — значит, после запятой две цифры.
Решение
Целая часть 4, в знаменателе 100 — два нуля, в числителе две цифры: \(4\dfrac{13}{100} = 4{,}13\).
Ответ
Выразите в метрах длину 7 м 5 см.
Подсказка
1 см — сотая часть метра.
Решение
7 м 5 см \(= 7\dfrac{5}{100}\) м. В числителе одна цифра, а нужно две — дописываем нуль впереди: \(7{,}05\) м.
Ответ
Представьте \(0{,}045\) в виде обыкновенной дроби и сократите её.
Подсказка
Три знака после запятой — знаменатель 1000.
Решение
\(0{,}045 = \dfrac{45}{1000}\). Числитель и знаменатель делятся на 5: \(\dfrac{45}{1000} = \dfrac{9}{200}\).
Ответ
Выразите в килограммах массу 3 кг 8 г.
Подсказка
1 г — тысячная часть килограмма.
Решение
3 кг 8 г \(= 3\dfrac{8}{1000}\) кг. После запятой должно быть три цифры, поэтому дописываем два нуля: \(3{,}008\) кг.
Ответ
Запишите дробь \(\dfrac{3}{5}\) десятичной дробью.
Подсказка
Сначала сделайте знаменатель равным 10 по основному свойству дроби.
Решение
Знаменатель 5 не «единица с нулями», но \(5 \cdot 2 = 10\). Умножим числитель и знаменатель на 2: \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).
Ответ
Сколько всего сотых в числе \(2{,}4\)?
Подсказка
Допишите нуль в конце, чтобы получить сотые.
Решение
\(2{,}4 = 2{,}40 = 2\dfrac{40}{100} = \dfrac{240}{100}\). Значит, в числе \(2{,}4\) всего 240 сотых.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите чек из магазина или ценник: «45,80 р.» — это 45 рублей 80 копеек, а копейка — сотая доля рубля. Потом рулетка: 1 м 25 см — это 1,25 м, сантиметр тоже сотая доля. Попросите ребёнка самого записать в метрах длину стола, измеренную в сантиметрах.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему \(2\dfrac{3}{100}\) записывается как 2,03, а не 2,3? 2) Сколько граммов в 0,5 кг? 3) Как прочитать 0,008?
На что обратить внимание. Главная трудность — нули после запятой. Если ребёнок путается, пусть сначала всегда пишет обыкновенную дробь со знаменателем, считает в нём нули и только потом ставит запятую.