Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, число умножают на эту дробь. Например, \(\dfrac{3}{4}\) от 20 — это \(20 \cdot \dfrac{3}{4} = 15\).
Подробное объяснение
Мама испекла пирог и разрезала его на 8 одинаковых кусков. Гостям отдали \(\dfrac{3}{8}\) пирога — это 3 куска. А если в коробке 24 печенья и гостям отдали \(\dfrac{3}{8}\) коробки, сколько это печений? Здесь уже надо считать.
Сначала одна доля, потом несколько
Знаменатель показывает, на сколько равных частей делят целое. Числитель — сколько таких частей взяли.
- Делим 24 на 8 равных частей: \(24 : 8 = 3\) — это \(\dfrac{1}{8}\) коробки, 3 печенья.
- Берём 3 такие части: \(3 \cdot 3 = 9\) печений.
Итак, \(\dfrac{3}{8}\) от 24 равно 9. Мы сначала разделили на знаменатель, потом умножили на числитель.
Это то же самое, что умножение на дробь
Запишем наши действия одной строкой: \(24 : 8 \cdot 3 = \dfrac{24 \cdot 3}{8}\). Но ровно так и умножают число на дробь: \(24 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{24 \cdot 3}{8} = 9\).
Отсюда главное правило темы: чтобы найти от числа часть, выраженную дробью, нужно умножить число на эту дробь. Задачи такого вида называют задачами на нахождение части целого.
Считать можно в любом порядке — как удобнее. Если число делится на знаменатель нацело, сначала делите: \(\dfrac{5}{9}\) от 36 — это \(36 : 9 \cdot 5 = 20\). Если нет, умножайте и сокращайте: \(\dfrac{3}{10}\) от 15 — это \(\dfrac{15 \cdot 3}{10} = \dfrac{45}{10} = 4\dfrac{1}{2}\).
Часть от дроби
Целое не обязано быть натуральным числом. Если грядка занимает \(\dfrac{2}{3}\) огорода, а морковь — \(\dfrac{1}{2}\) грядки, то морковь занимает \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\) огорода. Правило то же: умножаем на дробь.
Часть от остатка
Самые частые задачи темы — в два шага. «В коробке 24 печенья. \(\dfrac{3}{8}\) отдали гостям, а \(\dfrac{1}{3}\) оставшихся съели дети». Слово «оставшихся» значит, что вторая дробь берётся не от всей коробки, а от того, что осталось:
- Отдали гостям \(24 \cdot \dfrac{3}{8} = 9\) печений.
- Осталось \(24 - 9 = 15\).
- Дети съели \(15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5\) печений.
Если в задаче нет ни одного числа, а только дроби («какая часть квартир не заселена?»), примите всё целое за 1 и считайте с дробями.
Как решать задачи
- Найдите, что в задаче целое: от чего берётся дробь («от всех», «от оставшихся», «от времени первого»).
- Если целое известно — умножьте его на дробь.
- Если в задаче «оставшиеся», сначала найдите остаток: вычтите найденную часть из целого.
- Если чисел нет, примите целое за 1.
- Проверьте ответ: правильная дробь от числа всегда меньше самого числа.
Разобранные примеры
Дробь от числа
В саду растёт 56 деревьев, \(\dfrac{3}{7}\) из них — яблони. Сколько яблонь в саду?
- всего 56 деревьев
- яблони — \(\dfrac{3}{7}\) всех
- число яблонь
\(56 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{56 \cdot 3}{7} = 8 \cdot 3 = 24\) (яблони).
Две части одного целого
Путь до дачи 90 км. На электричке проехали \(\dfrac{2}{3}\) пути, на автобусе — \(\dfrac{1}{5}\) пути, остальное прошли пешком. Сколько километров прошли пешком?
- путь 90 км
- электричка \(\dfrac{2}{3}\) пути
- автобус \(\dfrac{1}{5}\) пути
- путь пешком
-
\(90 \cdot \dfrac{2}{3} = 60\) (км) — на электричке.
-
\(90 \cdot \dfrac{1}{5} = 18\) (км) — на автобусе.
-
\(90 - 60 - 18 = 12\) (км) — пешком.
Часть от остатка
В ящике 150 кг яблок. В понедельник продали \(\dfrac{2}{5}\) всех яблок, во вторник — \(\dfrac{5}{6}\) оставшихся. Сколько килограммов яблок осталось?
- 150 кг
- в понедельник продали \(\dfrac{2}{5}\) всех
- во вторник \(\dfrac{5}{6}\) оставшихся
- остаток
-
\(150 \cdot \dfrac{2}{5} = 60\) (кг) — продали в понедельник.
-
\(150 - 60 = 90\) (кг) — осталось после понедельника.
-
\(90 \cdot \dfrac{5}{6} = 75\) (кг) — продали во вторник.
-
\(90 - 75 = 15\) (кг) — осталось.
Типичные ошибки
В задаче «\(\dfrac{2}{5}\) яблок продали в понедельник, \(\dfrac{5}{6}\) оставшихся — во вторник» ученик считает \(150 \cdot \dfrac{5}{6} = 125\) кг. Но во вторник в ящике было уже не 150 кг, а только 90 кг. Слово «оставшихся» меняет целое.
Сначала найдите остаток (\(150 - 60 = 90\) кг) и только потом берите от него дробь: \(90 \cdot \dfrac{5}{6} = 75\) кг.
Чтобы найти \(\dfrac{3}{4}\) от 20, пишут \(20 : \dfrac{3}{4}\) и получают больше 20. Но часть не может быть больше целого, если дробь правильная.
Часть от числа находят умножением: \(20 \cdot \dfrac{3}{4} = 15\). Прикидка: три четверти от 20 меньше 20.
Для \(\dfrac{2}{5}\) от 35 делят на числитель и умножают на знаменатель: \(35 : 2 \cdot 5\). Получается дробное число 87,5 — вместо части вышло больше целого.
Делят на знаменатель (на сколько частей режем), умножают на числитель (сколько частей берём): \(35 : 5 \cdot 2 = 14\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Как найти \(\dfrac{3}{4}\) от числа 48?
Показать ответ
Ответ: Б) Умножить 48 на 3/4
Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, число умножают на эту дробь, \(48 \cdot \dfrac{3}{4} = 36\).
-
Сколько минут составляют \(\dfrac{5}{6}\) часа?
Показать ответ
Ответ: 50
В часе 60 минут, \(60 \cdot \dfrac{5}{6} = 10 \cdot 5 = 50\) мин.
-
Какие записи дают \(\dfrac{2}{5}\) от 35?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 35 · 2/5; Б) 35 : 5 · 2
Можно умножить на дробь или найти одну пятую (\(35 : 5 = 7\)) и взять её дважды — в обоих случаях 14.
-
Из 40 конфет съели \(\dfrac{1}{4}\), потом \(\dfrac{1}{3}\) оставшихся. Сколько конфет съели во второй раз?
Показать ответ
Ответ: А) 10
После первого раза осталось \(40 - 10 = 30\) конфет, треть от них — \(30 \cdot \dfrac{1}{3} = 10\).
-
Какую часть всей работы сделали, если выполнили \(\dfrac{1}{2}\) от её \(\dfrac{3}{5}\)? Ответ дайте десятичной дробью.
Показать ответ
Ответ: 0,3
\(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}\), то есть \(0{,}3\) всей работы.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
В классе 30 учеников, \(\dfrac{2}{5}\) из них занимаются плаванием. Сколько учеников занимаются плаванием?
Подсказка
Умножьте число учеников на дробь.
Решение
\(30 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{30 \cdot 2}{5} = 6 \cdot 2 = 12\) учеников.
Ответ
Найдите \(\dfrac{3}{8}\) от 64 км.
Решение
\(64 \cdot \dfrac{3}{8} = 8 \cdot 3 = 24\) км.
Ответ
Найдите \(\dfrac{2}{3}\) от \(\dfrac{9}{10}\).
Подсказка
Часть от дроби тоже находят умножением.
Решение
\(\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 \cdot 2}{10 \cdot 3} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\).
Ответ
Велосипедист проехал в первый день \(\dfrac{5}{12}\) маршрута длиной 96 км, а во второй — остальное. Сколько километров он проехал во второй день?
Подсказка
Найдите путь первого дня, а затем вычтите его из всего маршрута.
Решение
-
\(96 \cdot \dfrac{5}{12} = 8 \cdot 5 = 40\) (км) — в первый день.
-
\(96 - 40 = 56\) (км) — во второй день.
Ответ
В библиотеке 360 книг. \(\dfrac{4}{9}\) всех книг — учебники, \(\dfrac{3}{5}\) остальных — художественные, остальное — справочники. Сколько справочников в библиотеке?
Подсказка
Вторая дробь — часть от остатка, а не от всех книг.
Решение
-
\(360 \cdot \dfrac{4}{9} = 40 \cdot 4 = 160\) (книг) — учебники.
-
\(360 - 160 = 200\) (книг) — остаток.
-
\(200 \cdot \dfrac{3}{5} = 120\) (книг) — художественные.
-
\(200 - 120 = 80\) (книг) — справочники.
Ответ
Утром продали \(\dfrac{3}{8}\) всех арбузов, днём — \(\dfrac{2}{5}\) оставшихся. Какая часть арбузов осталась к вечеру?
Подсказка
Примите все арбузы за 1.
Решение
-
\(1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\) — осталось после утра.
-
\(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}\) — продали днём.
-
\(\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}\) — осталось к вечеру.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 конфет (пуговиц, монет). Попросите ребёнка отдать вам \(\dfrac{3}{4}\) из них. Пусть разложит на 4 равные кучки по 3 и отдаст 3 кучки — 9 штук. Затем покажите, что тот же ответ даёт запись \(12 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{36}{4} = 9\). Главная мысль: «найти часть — значит умножить на дробь».
Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько минут в \(\dfrac{3}{4}\) часа? 2) Почему \(\dfrac{2}{3}\) от числа меньше самого числа? 3) В задаче сказано «\(\dfrac{1}{2}\) оставшихся» — от чего берём половину?
На что обратить внимание. В задачах с несколькими шагами проверьте, от чего ребёнок берёт каждую дробь: от всего целого или от остатка. Это самая частая ошибка темы. Полезна привычка прикидывать: правильная дробь от числа всегда меньше числа.