Сравнение натуральных чисел

Представь, что в очереди за билетами каждому дали номерок. Кто пришёл раньше, у того номер меньше. Натуральные числа устроены так же: \(1, 2, 3, 4, \ldots\) — каждое следующее на единицу больше предыдущего. Значит, из двух разных чисел одно обязательно стоит раньше, и оно меньше.

Натуральный ряд и координатная прямая

Самое маленькое натуральное число — \(1\). Самого большого нет: к любому числу можно прибавить единицу. Ноль натуральным числом не считают, но он меньше любого натурального.

На координатной прямой числа растут слева направо. Поэтому точка с большей координатой лежит правее. Например, \(B(9)\) правее \(A(4)\), значит, \(9 > 4\).

Знаки сравнения и неравенства

Результат сравнения записывают знаками: \(<\) — «меньше», \(>\) — «больше». Такая запись называется неравенством: \(12 > 5\), \(0 < 1\). Острие знака всегда смотрит на меньшее число, а раскрытая сторона — на большее.

Неравенство читают так: левое число — в именительном падеже, правое — в родительном. \(61 < 173\) — «шестьдесят один меньше ста семидесяти трёх».

Если число лежит между двумя другими, пишут двойное неравенство: \(3 < 4 < 7\). Его читают с середины: «четыре больше трёх и меньше семи».

Так же сравнивают и отрезки. Если отрезок \(AB\) — часть отрезка \(AC\), то \(AB < AC\).

Как сравнивать многозначные числа

Рисовать прямую для чисел вроде \(41\,907\) неудобно. Есть правило из двух шагов.

1. Посчитай цифры. Чем больше цифр, тем больше число: \(41\,907 > 89\), ведь пятизначное число больше двузначного. Любое четырёхзначное больше любого трёхзначного.
2. Если цифр поровну, сравнивай по разрядам слева направо. Ищи первый разряд, где цифры разные. У кого там цифра больше, то число и больше. Остальные разряды уже не важны.

Пример: \(41\,907\) и \(41\,927\). Десятки тысяч, тысячи и сотни совпадают, а в разряде десятков \(0 < 2\). Значит, \(41\,907 < 41\,927\). А \(41\,907 > 31\,907\), потому что уже в первом разряде \(4 > 3\).

Удобно подписать числа друг под другом, выровняв по правому краю, — тогда одинаковые разряды окажутся в одном столбике.

Как решать задачи

1. Сравнить два числа — сначала число цифр, потом разряды слева направо.
2. Точки на прямой — правее та, у которой координата больше; левее — у которой меньше.
3. Найти числа «между» — выписать подряд числа больше меньшего и меньше большего; сами границы не входят.
4. Упорядочить набор чисел — сначала развести по количеству цифр, потом внутри группы сравнить по разрядам.
5. Записать двойное неравенство — среднее число в середину, по краям меньшее и большее, знаки смотрят в одну сторону.