Какие равенства верны для любого натурального числа a?

Деление на 1 даёт то же число, a : 1 = a

Число, делённое на себя, даёт 1, a : a = 1

Нуль, делённый на число, даёт 0, 0 : a = 0

Число, делённое на нуль, даёт 0, a : 0 = 0

Чтобы найти неизвестный делитель, надо…

Делимое разделить на частное

Делимое умножить на частное

Частное разделить на делимое

Частное умножить на делитель

Почему нельзя вычислить 9 : 0?

Нет числа, которое при умножении на 0 даёт 9

Потому что получится 0

Потому что получится 9

Можно, получится 1

Деление натуральных чисел — 5 класс, математика: объяснение, примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Коротко о главном

Деление — действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой множитель. В записи $$a : b = c$$ число $$a$$ — делимое, $$b$$ — делитель, $$c$$ — частное. Делить на нуль нельзя.

a : b = c, \quad \text{если} \quad c \cdot b = a

Подробное объяснение

Представь, что у тебя 15 конфет и три друга. Как раздать всем поровну? Можно раскладывать по одной конфете каждому, пока конфеты не кончатся. У каждого окажется по 5. Это и есть деление: $$15 : 3 = 5$$ .

15 конфет разложены поровну в три коробки, в каждой по 5. Под ними запись 15 : 3 = 5 и проверка 5 · 3 = 15. — Делимое 15 делят на 3 равные части, частное 5 — сколько в каждой части.

Деление через умножение

Почему именно 5? Потому что $5 \cdot 3 = 15$ . Деление всегда можно свести к вопросу: «На какое число надо умножить делитель, чтобы получить делимое?» Поэтому говорят, что деление — действие, обратное умножению. По произведению $$15$$ и одному множителю $$3$$ мы нашли другой множитель $$5$$ .

Названия чисел

В записи $$a : b = c$$ :

$$a$$ — делимое, то, что делят;
$$b$$ — делитель, то, на что делят;
$$c$$ — частное, результат деления.

Саму запись $$a : b$$ тоже называют частным. Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя: $$15 : 3 = 5$$ значит, что $$15$$ больше $$3$$ в $$5$$ раз.

Особые случаи: 1 и 0

$$a : 1 = a$$ — деление на единицу число не меняет, ведь $a \cdot 1 = a$ .
$$a : a = 1$$ — число, делённое само на себя, даёт единицу (если $$a$$ не нуль).
$$0 : a = 0$$ — нуль, делённый на любое ненулевое число, даёт нуль, ведь $0 \cdot a = 0$ .

На нуль делить нельзя. Попробуй найти $$7 : 0$$ . Нужно число, которое при умножении на $$0$$ даёт $$7$$ . Но любое число, умноженное на $$0$$ , даёт $$0$$ . Такого числа нет. А $$0 : 0$$ не определено по другой причине: подходит любое число, и ответ нельзя выбрать однозначно.

Проверка деления

Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель, должно получиться делимое. Можно и делением: делимое делят на частное, должен получиться делитель. Например, $$96 : 8 = 12$$ , проверка $12 \cdot 8 = 96$ .

Неизвестные компоненты в уравнениях

Из связи деления с умножением получаются три правила.

Неизвестный множитель: произведение делят на известный множитель. $$7x = 91$$ , $$x = 91 : 7 = 13$$ .
Неизвестное делимое: делитель умножают на частное. $$x : 6 = 15$$ , $x = 15 \cdot 6 = 90$ .
Неизвестный делитель: делимое делят на частное. $$72 : x = 9$$ , $$x = 72 : 9 = 8$$ .

Деление многозначных чисел

Большие числа делят столбиком. Берут первое неполное делимое — самое маленькое число из первых цифр делимого, которое не меньше делителя. Подбирают цифру частного, умножают, вычитают, сносят следующую цифру. Если очередное неполное делимое меньше делителя, в частном пишут $$0$$ и сносят следующую цифру. Эти нули часто забывают.

При делении на $$10$$ , $$100$$ , $$1000$$ у делимого просто отбрасывают один, два или три нуля в конце: $45\,000 : 100 = 450$ .

Как решать задачи

Определи, что нужно найти: «сколько в одной части», «сколько частей» или «во сколько раз больше» — это деление.
Если неизвестное стоит в уравнении, назови его: множитель, делимое или делитель — и применяй нужное правило.
В уравнении со скобками сначала найди всю скобку как неизвестный компонент, потом само неизвестное.
Дели столбиком, следя за нулями в частном.
Проверь ответ умножением.

Разобранные примеры

База

Цена одной вещи

Условие

За 8 одинаковых карандашей заплатили 96 р. Сколько стоит один карандаш?

Дано

стоимость $$96$$ р.
количество $$8$$ шт

Найти

цену

Решение

Цена — стоимость, делённая на количество: $$96 : 8 = 12$$ р. Проверка: $12 \cdot 8 = 96$ .

Ответ: 12 р.

Средний

Деление столбиком с нулём в частном

Условие

Вычислите $$4256 : 14$$ .

Решение

Первое неполное делимое $$42$$ , делим $$42 : 14 = 3$$ , остаток $$0$$ . Сносим $$5$$ : число $$5$$ меньше $$14$$ , пишем в частном $$0$$ . Сносим $$6$$ , получаем $$56 : 14 = 4$$ . Частное $$304$$ .

Проверка: $304 \cdot 14 = 4256$ .

Ответ: 304

Сложный

Уравнение со скобками

Условие

Решите уравнение $$(x - 25) : 9 = 13$$ .

Решение

Выражение $$x - 25$$ — неизвестное делимое: $x - 25 = 13 \cdot 9 = 117$ . Теперь $$x$$ — неизвестное уменьшаемое: $$x = 117 + 25 = 142$$ .

Проверка: $$(142 - 25) : 9 = 117 : 9 = 13$$ .

Ответ: 142

Типичные ошибки

Теряют нуль в частном

Почему неверно

При делении $$2436 : 12$$ пишут $$23$$ : разделили $$24$$ на $$12$$ , получили $$2$$ , а потом сразу $$36 : 12 = 3$$ . Но цифру $$3$$ сносили отдельно, и она меньше $$12$$ — на этом шаге в частное должен был попасть $$0$$ .

Как правильно

Каждый раз, когда сносишь цифру и неполное делимое меньше делителя, пиши в частном $$0$$ . $$2436 : 12 = 203$$ . Проверка умножением сразу покажет ошибку: $23 \cdot 12 = 276$ , а не $$2436$$ .

Считают, что на нуль делить можно

Почему неверно

Пишут $$5 : 0 = 0$$ или $$5 : 0 = 5$$ . Но проверка умножением не проходит: $0 \cdot 0 = 0 \ne 5$ и $5 \cdot 0 = 0 \ne 5$ .

Как правильно

Деление на нуль не имеет смысла, такое выражение не имеет значения. А вот $$0 : 5 = 0$$ — верно: делить нуль можно.

Путают правила для делимого и делителя

Почему неверно

В уравнении $$48 : x = 6$$ пишут $x = 48 \cdot 6 = 288$ . Проверка: $$48 : 288$$ — это совсем не $$6$$ .

Как правильно

Неизвестный делитель находят делением: $$x = 48 : 6 = 8$$ . Умножают только для поиска неизвестного делимого: $$x : 6 = 8$$ , $$x = 48$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите частное и проверьте умножением: а) 144 : 12; б) 0 : 25; в) 37 : 37.

Подсказка

Подберите число, которое при умножении на делитель даёт делимое.

Решение

а) $$144 : 12 = 12$$ , так как $12 \cdot 12 = 144$ . б) $$0 : 25 = 0$$ , так как $0 \cdot 25 = 0$ . в) $$37 : 37 = 1$$ , так как $1 \cdot 37 = 37$ .

Ответ

а) 12; б) 0; в) 1

База Задача 2

За 6 одинаковых альбомов заплатили 546 р. Сколько стоит один альбом?

Решение

Цена — стоимость, делённая на количество: $$546 : 6 = 91$$ р.

Ответ

91 р.

Средний Задача 3

Решите уравнения: а) 24x = 1032; б) y : 15 = 64; в) 2808 : z = 36.

Подсказка

Определите, чем является неизвестное — множителем, делимым или делителем.

Решение

а) $$x = 1032 : 24 = 43$$ . б) $y = 64 \cdot 15 = 960$ . в) $$z = 2808 : 36 = 78$$ .

Ответ

а) 43; б) 960; в) 78

Средний Задача 4

Выполните деление столбиком 25 578 : 63.

Решение

Первое неполное делимое $$255$$ , делим $$255 : 63 = 4$$ , остаток $$3$$ . Сносим $$7$$ — получаем $$37$$ , это меньше $$63$$ , в частном $$0$$ . Сносим $$8$$ — $$378 : 63 = 6$$ . Частное $$406$$ . Проверка: $406 \cdot 63 = 25\,578$ .

Ответ

406

Сложный Задача 5

Два насоса вместе откачали 5040 л воды. Первый откачивает 180 л в минуту, второй — 240 л. Сколько литров откачал каждый, если они работали одновременно?

Подсказка

Сначала найдите, сколько минут работали насосы.

Решение

Вместе за минуту: $$180 + 240 = 420$$ л. Время: $$5040 : 420 = 12$$ мин. Первый: $180 \cdot 12 = 2160$ л, второй: $240 \cdot 12 = 2880$ л.

Ответ

2160 л и 2880 л

Сложный Задача 6

Задумали число, разделили его на 8, к частному прибавили 17 и получили 45. Какое число задумали?

Решение

Пусть число $$x$$ . Тогда $$x : 8 + 17 = 45$$ , $$x : 8 = 28$$ , $x = 28 \cdot 8 = 224$ .

Ответ

224

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите 12 пуговиц или орехов и попросите ребёнка разложить их поровну на 3 тарелки, по одной штуке по кругу. Получится по 4 — это $$12 : 3 = 4$$ . Потом соберите их обратно: три тарелки по 4 — снова 12, это проверка умножением. Спросите, можно ли разложить 12 пуговиц на 0 тарелок, — пусть сам объяснит, почему нет.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как проверить, что $$672 : 16 = 42$$ ? 2) Чему равны $$35 : 1$$ , $$35 : 35$$ и $$0 : 35$$ ? 3) Как найти $$x$$ в уравнении $$90 : x = 15$$ ?

На что обратить внимание. Главная трудность — деление столбиком многозначных чисел: следите, чтобы ребёнок не пропускал нули в частном и всегда делал проверку умножением. Важно, чтобы он не путал правила для неизвестного делимого (умножаем) и неизвестного делителя (делим). Фраза «на нуль делить нельзя» должна быть объяснена, а не просто заучена.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 13	3.69, 3.70, 3.71, 3.72, 3.73, 3.74, 3.75, 3.76, 3.77, 3.78, 3.79, 3.80, 3.81, 3.82, 3.83, 3.84, 3.85, 3.86, 3.87, 3.88, 3.89, 3.90, 3.91, 3.92, 3.93, 3.94, 3.95, 3.96, 3.97, 3.98, 3.99, 3.100, 3.101, 3.102, 3.103, 3.104, 3.105, 3.106, 3.107, 3.108, 3.109, 3.110, 3.111, 3.112, 3.113, 3.114, 3.115, 3.116, 3.117, 3.118, 3.119, 3.120, 3.121, 3.122, 3.123, 3.124, 3.125, 3.126, 3.127, 3.128, 3.129, 3.130, 3.131, 3.132, 3.133, 3.134, 3.135, 3.136, 3.137, 3.138, 3.139, 3.140, 3.141