Сложение отрицательных чисел

Вниз и ещё раз вниз

Утром было −3 °C, а к вечеру похолодало ещё на 5 °C. Температура опустилась ниже, чем была, — на 5 делений шкалы. Стало −8 °C. Изменение «похолодало на 5 °C» записывают отрицательным числом −5, а новую температуру — суммой старой температуры и изменения:

Так же устроен лифт, который едет с третьего подземного этажа ещё на пять этажей вниз, или долг, к которому добавился новый долг. Если двигаться вниз, а потом ещё вниз, оказываешься ещё ниже.

На координатной прямой

Вспомним, как складывают на координатной прямой: прибавить отрицательное число — значит сдвинуть точку влево на столько единичных отрезков, каков модуль этого числа. Чтобы найти \(-3 + (-5)\), возьмём точку \(-3\) и сдвинем её на 5 единичных отрезков влево. Попадём в точку \(-8\).

Посмотрите на рисунок. От нуля до точки \(-3\) — 3 единичных отрезка, потом ещё 5. Всего мы ушли от нуля влево на \(3 + 5 = 8\) отрезков. Число 3 — это модуль \(-3\), а 5 — модуль \(-5\). Значит, расстояние от нуля до суммы равно сумме модулей, а сама сумма лежит левее нуля, то есть отрицательна.

Правило

Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, надо:

1. найти сумму их модулей;

2. поставить перед полученным числом знак «−».

Например, \(-14 + (-26) = -(14 + 26) = -40\), \(-0{,}7 + (-1{,}35) = -(0{,}7 + 1{,}35) = -2{,}05\).

Рисовать координатную прямую каждый раз больше не нужно: правило делает то же самое, но быстрее, и работает для любых чисел — больших, десятичных, дробных.

Что можно сказать о сумме заранее

Ещё до вычислений про сумму двух отрицательных чисел кое-что известно:

• она отрицательна — нулём или положительным числом быть не может;
• её модуль больше модуля каждого слагаемого;
• поэтому сама сумма меньше каждого слагаемого: \(-8 < -3\) и \(-8 < -5\).

Это удобно для самопроверки. Если сложили два отрицательных числа и получили положительное или число «между» слагаемыми — где-то ошибка.

Если отрицательных слагаемых три и больше, правило то же: складывают все модули и ставят минус. Модули можно складывать в любом порядке и группировать так, как удобнее: \(-1{,}3 + (-4{,}2) + (-0{,}7) = -(1{,}3 + 0{,}7 + 4{,}2) = -6{,}2\).

Дробные слагаемые

Модуль числа \(-2\dfrac{1}{3}\) — это \(2\dfrac{1}{3}\), целиком, вместе с дробной частью. Минус относится ко всему смешанному числу. Поэтому складывают смешанные числа как обычно, а минус ставят перед ответом. Скобки после минуса помогают не потерять его:

Как решать задачи

1. Убедитесь, что все слагаемые отрицательные. Если среди них есть положительное число, это правило не подходит.
2. Выпишите модули слагаемых — числа без минуса.
3. Если слагаемых несколько, поищите модули, которые вместе дают круглое число, и сгруппируйте их.
4. Сложите модули. Для обыкновенных дробей и смешанных чисел сначала приведите дроби к общему знаменателю.
5. Поставьте перед суммой знак «−».
6. Проверьте: ответ отрицательный и меньше каждого слагаемого.
7. В текстовой задаче запишите понижение, спуск, расход как отрицательное изменение и сложьте его с начальным значением.