Какие утверждения верны?

Две пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку

Лучи OA и AO — это один и тот же луч

Плоскость, прямая, луч, угол — 5 класс, математика

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Отрезок и его длина. Ломаная. Многоугольник

Коротко о главном

Прямая бесконечна в обе стороны, и через любые две точки проходит только одна прямая. Точка делит прямую на два луча — у луча есть начало, но нет конца. Угол — это фигура из точки (вершины) и двух лучей, выходящих из неё (сторон); букву вершины пишут в середине названия.

\angle ABC = \angle CBA = \angle B

Подробное объяснение

Представьте гладкое зеркало катка или экран телефона — ровная поверхность без толщины. Если мысленно продолжить её во все стороны без конца, получится плоскость. У настоящих поверхностей есть края, а у плоскости границ нет. Все фигуры этой темы мы рисуем на плоскости.

Прямая

Проведите по линейке отрезок $$MN$$ , а затем продолжите его за обе точки — и дальше, дальше, без остановки. Так получается прямая. Нарисовать её целиком нельзя: прямая бесконечна, на бумаге мы видим только её кусочек.

Прямую обозначают двумя её точками: «прямая $$MN$$ » или «прямая $$NM$$ » — это одна и та же прямая. Иногда прямую называют одной маленькой буквой, например прямая $$a$$ .

Главное свойство: через любые две точки проходит только одна прямая. Поэтому, чтобы провести прямую по линейке, хватает двух отметок.

Две прямые могут пересекаться — тогда у них ровно одна общая точка. Больше одной общей точки у двух разных прямых быть не может: иначе через две точки прошли бы две прямые.

Луч

Отметим на прямой точку $$O$$ . Она делит прямую на две части, каждая из которых — луч. Точка $$O$$ — начало луча, а конца у луча нет: он уходит в бесконечность в одну сторону. Похоже на луч фонарика: начинается у лампочки и светит вдаль.

При записи луча первой всегда пишут букву начала, второй — любую другую точку луча. Луч $$OC$$ начинается в точке $$O$$ и идёт через $$C$$ . А луч $$CO$$ — совсем другой: он начинается в $$C$$ .

Два луча, на которые точка делит прямую, называют дополнительными: у них общее начало, они направлены в разные стороны и вместе составляют всю прямую.

Три фигуры. Отрезок AB с двумя концами; луч OC, который начинается в точке O и уходит стрелкой вправо; прямая MN со стрелками в обе стороны. — У отрезка два конца, у луча только начало, у прямой нет ни начала, ни конца.

Сравните три фигуры: у отрезка два конца, у луча только начало, у прямой нет ни начала, ни конца. Поэтому отрезок можно измерить, а луч и прямую — нет.

Угол

Проведём из одной точки $$B$$ два разных луча, $$BA$$ и $$BC$$ . Получилась фигура, которая называется углом. Точка $$B$$ — вершина угла, лучи $$BA$$ и $$BC$$ — его стороны.

Угол записывают значком $\angle$ и тремя буквами: $\angle ABC$ или $\angle CBA$ . Буква вершины всегда в середине. Если у вершины только один угол, можно написать коротко: $\angle B$ .

Из точки B выходят два луча, BA вверх-вправо и BC вправо; точка B подписана как вершина, лучи как стороны угла. Внизу запись угол ABC = угол CBA = угол B. — Буква вершины в названии угла всегда стоит посередине.

Стороны угла — лучи, поэтому они бесконечны. Длина нарисованных «палочек» на величину угла не влияет — это пригодится, когда будете учиться измерять углы.

Лежит или не лежит

Точка может лежать на прямой (луче, отрезке) или не лежать на ней. Будьте внимательны: на рисунке прямая обрывается, но на самом деле продолжается. Точка за концом нарисованного кусочка всё равно лежит на прямой, если попадает на её продолжение. Проверяйте линейкой.

Как решать задачи

Сделайте рисунок: отметьте точки и проведите прямые, лучи, отрезки ровно так, как сказано в условии.
Помните, какая фигура бесконечна: прямая — в обе стороны, луч — в одну сторону от начала, отрезок ограничен концами.
Чтобы решить, пересекаются ли фигуры, мысленно продолжите прямые и лучи линейкой.
Называя луч, первой ставьте букву начала; называя угол — букву вершины в середину.
Когда считаете отрезки, лучи или углы, перебирайте их по порядку, чтобы ничего не пропустить и не посчитать дважды.

Разобранные примеры

База

Обозначения прямой

Условие

На прямой отмечены точки $$K$$ , $$L$$ и $$P$$ . Запишите все обозначения этой прямой двумя буквами.

Решение

Прямую можно назвать любыми двумя её точками, порядок букв не важен. Пары точек: $$K$$ и $$L$$ , $$K$$ и $$P$$ , $$L$$ и $$P$$ . Каждую пару можно записать двумя способами.

Получаем: $$KL$$ , $$LK$$ , $$KP$$ , $$PK$$ , $$LP$$ , $$PL$$ — шесть обозначений одной и той же прямой.

Ответ: KL, LK, KP, PK, LP, PL

Средний

Лучи на прямой

Условие

На прямой отмечены точки $$A$$ , $$B$$ и $$C$$ именно в таком порядке. Назовите лучи с началом в точке $$B$$ . Какие из точек $$A$$ и $$C$$ лежат на луче $$BC$$ ?

Решение

Точка $$B$$ делит прямую на два дополнительных луча. Один идёт от $$B$$ через $$A$$ — луч $$BA$$ , другой от $$B$$ через $$C$$ — луч $$BC$$ .

Луч $$BC$$ начинается в $$B$$ и уходит в сторону $$C$$ . Точка $$C$$ на нём лежит. Точка $$A$$ находится по другую сторону от $$B$$ , поэтому на луче $$BC$$ не лежит.

Ответ: Лучи BA и BC; на луче BC лежит только точка C.

Сложный

Сколько углов

Условие

Из точки $$O$$ проведены четыре луча: $$OA$$ , $$OB$$ , $$OC$$ и $$OD$$ , никакие два не лежат на одной прямой. Сколько всего углов с вершиной $$O$$ образуют эти лучи? Выпишите их.

Решение

Угол образует каждая пара лучей. Перебираем по порядку.

С лучом $$OA$$ : $\angle AOB$ , $\angle AOC$ , $\angle AOD$ — 3 угла.

С лучом $$OB$$ (угол $$AOB$$ уже есть): $\angle BOC$ , $\angle BOD$ — 2 угла.

С лучом $$OC$$ : $\angle COD$ — 1 угол.

Всего $$3 + 2 + 1 = 6$$ углов.

Ответ: 6 углов: AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD.

Типичные ошибки

Ставят начало луча на второе место

Почему неверно

Луч $$OA$$ и луч $$AO$$ — разные лучи: у первого начало $$O$$ , у второго $$A$$ , и направлены они в противоположные стороны. Запись «луч $$AO$$ » вместо «луч $$OA$$ » — это другая фигура.

Как правильно

Первой всегда пишите букву начала луча, второй — любую другую точку этого луча.

Пишут вершину угла не в середине

Почему неверно

Запись $\angle BAC$ означает угол с вершиной $$A$$ , а не $$B$$ . Если вершина угла — $$B$$ , то $\angle BAC$ — совсем другой угол.

Как правильно

Буква вершины — всегда средняя: $\angle ABC$ или $\angle CBA$ . Если угол у вершины один, можно писать $\angle B$ .

Считают, что прямая кончается там, где кончился рисунок

Почему неверно

На бумаге прямую рисуют кусочком, но сама прямая бесконечна. Поэтому ученики ошибаются, отвечая, что точка не лежит на прямой или что две прямые не пересекаются, хотя на продолжении линий всё иначе.

Как правильно

Продолжайте прямые (в обе стороны) и лучи (от начала) линейкой. Отрезки не продолжайте — у них есть концы.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

На прямой отмечены точки $$A$$ и $$B$$ . Запишите все обозначения этой прямой двумя буквами.

Подсказка

Прямую называют по любым двум её точкам в любом порядке.

Решение

Точек две, поэтому обозначений два — $$AB$$ и $$BA$$ .

Ответ

Прямая AB или прямая BA

База Задача 2

Угол обозначен $\angle KOT$ . Какая точка — вершина угла? Какие лучи — его стороны?

Подсказка

Буква вершины стоит в середине названия.

Решение

Средняя буква — $$O$$ , значит, $$O$$ — вершина. Стороны угла — лучи, выходящие из вершины, $$OK$$ и $$OT$$ .

Ответ

Вершина O, стороны — лучи OK и OT

Средний Задача 3

На прямой отмечены точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ (именно в таком порядке). Сколько различных отрезков с концами в этих точках получилось?

Подсказка

Выпишите отрезки, начиная с точки $$A$$ , потом с $$B$$ и так далее, не повторяясь.

Решение

С концом $$A$$ : $$AB$$ , $$AC$$ , $$AD$$ — три отрезка. С концом $$B$$ (без $$BA$$ ): $$BC$$ , $$BD$$ — два. С концом $$C$$ : $$CD$$ — один.

Всего $$3 + 2 + 1 = 6$$ отрезков.

Ответ

6 отрезков

Средний Задача 4

Из точки $$O$$ проведены три луча $$OA$$ , $$OB$$ и $$OC$$ , никакие два из которых не лежат на одной прямой. Сколько углов с вершиной $$O$$ получилось? Назовите их.

Подсказка

Угол образует любая пара лучей.

Решение

Пары лучей — $$OA$$ и $$OB$$ , $$OA$$ и $$OC$$ , $$OB$$ и $$OC$$ . Получаются углы $\angle AOB$ , $\angle AOC$ , $\angle BOC$ .

Ответ

3 угла — AOB, AOC, BOC

Сложный Задача 5

На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые? А три прямые, которые попарно пересекаются в трёх разных точках?

Подсказка

Нарисуйте. Каждая новая прямая разрезает несколько уже имеющихся частей на две.

Решение

Одна прямая делит плоскость на 2 части. Вторая прямая, пересекая первую, проходит через обе части и разрезает каждую — получается $$2 + 2 = 4$$ части.

Третья прямая пересекает две прямые в двух разных точках, эти точки делят её на 3 куска. Каждый кусок разрезает одну часть на две — добавляется 3 части: $$4 + 3 = 7$$ .

Ответ

4 части и 7 частей

Сложный Задача 6

Из точки $$O$$ выходят 5 лучей. Сколько всего углов с вершиной $$O$$ образуют эти лучи?

Подсказка

Каждый луч образует угол с каждым из остальных, но каждый угол при таком счёте попадётся дважды.

Решение

Каждый из 5 лучей образует угол с каждым из 4 остальных: $5 \cdot 4 = 20$ . Но угол из лучей $$OA$$ и $$OB$$ мы посчитали дважды — от $$OA$$ и от $$OB$$ .

Значит, углов $$20 : 2 = 10$$ .

Ответ

10 углов

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги, линейку и фонарик. Отметьте две точки и попросите ребёнка провести через них две разные прямые — не получится, прямая одна. Скажите, что прямая на самом деле тянется за края листа без конца. Включите фонарик: свет начинается у лампочки и уходит вдаль — это луч. Сложите два карандаша концами в одной точке — получится угол: место соединения — вершина, карандаши — стороны. Попросите назвать угол тремя буквами.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем луч отличается от отрезка и от прямой? 2) Почему лучи $$OA$$ и $$AO$$ — разные? 3) Какая буква стоит в середине записи $\angle PQR$ и что она означает?

На что обратить внимание. Чаще всего путают порядок букв: у луча первой идёт начало, у угла в середине — вершина. Вторая трудность — «рисунок кончился, значит, и прямая кончилась». Приучайте продолжать прямые и лучи линейкой, прежде чем отвечать на вопросы «лежит ли» и «пересекаются ли».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Математика. 5 класс (Виленкин, Жохов, Чесноков)	§ 4	1.92, 1.93, 1.94, 1.95, 1.96, 1.97, 1.98, 1.99, 1.100, 1.101, 1.102, 1.103, 1.104, 1.105, 1.106, 1.107, 1.108, 1.109, 1.110, 1.111, 1.112, 1.113, 1.114, 1.115, 1.116, 1.117, 1.118, 1.119, 1.120, 1.121, 1.122, 1.123, 1.124, 1.125